湖北省高考数学试题答案理数 16页

‎2009年高考数学湖北理科及详细解答 一、选择题（本大题共10小题，共0分）‎ ‎1．（2009湖北理1）已知是两个向量集合，则=（ ）‎ A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝‎ ‎【答案】A ‎【解题关键点】因为代入选项可得故选A.‎ ‎【结束】‎ ‎2．（2009湖北理2）设a为非零实数，函数（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】由原函数是，从中解得即原函数的反函数是，故选择D ‎【结束】‎ ‎3．（2009湖北理3）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解题关键点】因为为实数 所以故则可以取1、26，共6种可能，所以 ‎【结束】‎ ‎4．（2009湖北理4）函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解题关键点】直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，。‎ ‎【结束】‎ ‎5．（2009湖北理5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解题关键点】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是 ‎【结束】‎ ‎6．（2009湖北理6）设，则（ ）‎ A.-1 B.0 C.1 D.‎ ‎【答案】B ‎【解题关键点】令得 令时 令时 两式相加得：‎ 两式相减得：‎ 代入极限式可得，故选B ‎【结束】‎ ‎7．（2009湖北理7）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解题关键点】易得准线方程是 ‎ 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A ‎【结束】‎ ‎8．（2009湖北理8）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）‎ A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 ‎【答案】B ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎9．（2009湖北理9）设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）‎ A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C ‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，‎ 所以，‎ 即，故选D ‎【结束】‎ ‎10．（2009湖北理10）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) ‎ A.289 B.1024 C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ 二、填空题（本大题共5小题，共0分）‎ ‎11．（2009湖北理11）已知关于的不等式＜0的解集是.则 .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解题关键点】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于 由解集特点可得 ‎【结束】‎ ‎12．（2009湖北理12）样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 .‎ ‎【答案】64 0.4‎ ‎【解题关键点】由于在范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64‎ 同样在范围内的频数为16，所以在范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4‎ ‎【结束】‎ ‎ ‎ ‎13．（2009湖北理13）如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).‎ ‎【答案】‎ ‎【解题关键点】如图所示，可得AO=42400，则在 Rt△ABO中可得cos∠AOB=‎ 所以 ‎【结束】‎ ‎14．（2009湖北理14）已知函数则的值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解题关键点】因为所以 故 ‎【结束】‎ ‎15．（2009湖北理15）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。‎ ‎【答案】4 5 32‎ ‎【解题关键点】（1）若为偶数，则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时， 故 ‎②当为奇数时，‎ 故得m=4。‎ ‎（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ‎，所以=1可得m=5‎ ‎【结束】‎ 三、解答题（本大题共6小题，共0分）‎ ‎16．（2009湖北理16）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。‎ ‎【答案】依题意，可分别取、6、11取，则有 的分布列为 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎17．（2009湖北理17）已知向量 ‎（Ⅰ）求向量的长度的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的值。‎ ‎【答案】（1）解法1：则 ‎，即 ‎ 当时，有所以向量的长度的最大值为2.‎ 解法2：，，‎ 当时，有，即，‎ 的长度的最大值为2.‎ ‎（2）解法1：由已知可得 ‎。‎ ‎，，即。‎ 由，得，即。‎ ‎,于是。 ‎ 解法2：若，则，又由，得 ‎，，即 ‎，平方后化简得 ‎ 解得或，经检验，即为所求 ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎18．（2009湖北理18）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且 ‎（Ⅰ）求证：对任意的，都有 ‎（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。‎ ‎ SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ‎（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,‎ ‎ SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。‎ ‎ 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.‎ 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，‎ 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。‎ 在Rt△BDE中，BD=2a，DE=‎ 在Rt△ADE中, ‎ 从而 在中， ‎ 由，得.‎ 由，解得，即为所求.‎ 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 ‎ 图2所示的空间直角坐标系，则 ‎ D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 即。‎ 解法2：‎ 由（I）得.‎ 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得 ‎。‎ ‎ 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.‎ ‎ . ‎ ‎ 0<，，‎ ‎ .‎ ‎ 由于，解得，即为所求。‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎19．（2009湖北理19）已知数列的前n项和（n为正整数）。‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。‎ ‎【答案】（I）在中，令n=1，可得，即 当时，，‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ ‎ 于是.‎ ‎(II)由（I）得，所以 由①-②得 ‎ 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 ‎ 可猜想当证明如下：‎ 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。‎ ‎（2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎20．（2009湖北理20）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。 ‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】依题意，可设直线MN的方程为，则有 由消去x可得 ‎ 从而有 ①‎ 于是 ②‎ 又由，可得 ③‎ ‎（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线 此时 ①可得 证法1：‎ 证法2：‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：‎ 证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有 ‎ ‎ 将①、②、③代入上式化简可得 上式恒成立，即对任意成立 ‎ 证法2：如图2，连接,则由可得 ‎,所以直线经过原点O，‎ 同理可证直线也经过原点O 又设则 ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎21．（2009湖北理21）在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，.令.‎ 如果函数在处有极值,试确定b、c的值；‎ 求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；‎ 记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ （I） 解：，由f(x)在x=1处有极值，‎ 可得 当x变化时，f(x)、f’(x)的变化情况入下表：‎ ‎(II) (反证法)：因为|b|>1,所以所以函数y=f’(x)的对称轴x=b位于区间[-1,1]之外，‎ ‎ 所以f’(x)在[-1,1]上的最值在两端点处取得。‎ ‎ 故M应是g(1)和g(-1)中较大的一个。‎ 假设M<=2,则g(-1)=|-1-2b+c|<=2‎ ‎ g(1)=|-1+2b+c|<=2‎ ‎ 将上述两式相加得：‎ ‎ 4>=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|>=4|b|>4，导致矛盾，所以M>2‎ ‎（III）证法： 当得对称轴x=b位于区间之外 此时 由 若 于是 若，则，‎ 于是 综上，对任意的b、c都有 而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 ‎ ‎ ‎