山东省高考理科数学试题详解 13页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.‎ ‎2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。‎ ‎3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.‎ 圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.‎ 球的体积公式, 其中R是球的半径.‎ 球的表面积公式：,其中R是球的半径.‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .‎ 如果事件互斥，那么.‎ 第1卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解得，则，故选A。‎ ‎ (2)复数(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( D ) ‎ ‎（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.‎ ‎ (3)若点在函数的图象上，则的值为( D )‎ ‎（A）0 (B) 　(C) 1 　 (D) ‎ ‎【解析】由题意知:,解得=2,所以,故选D.‎ ‎4.不等式的解集为（ ）‎ A． B。 C. D。‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一：零点分段讨论（略）；法二：由不等式的几何意义，不等式表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确。‎ ‎ (5)对于函数，“的图象关于轴对称” 是“是奇函数”的 ( B )‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C) 充要条件 (D)既不充分又不必要条件 ‎【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确.‎ ‎ (6)若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( C )‎ ‎ (A)8 (B)2 (C) (D) ‎ ‎【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以,. 故选C.‎ ‎7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ‎ ( B )‎ ‎(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 ‎【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为． 令x=6得65.5,选B.‎ ‎ (8)已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为( A )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.‎ ‎ (9)函数的图象大致是 ( C )‎ ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.‎ ‎(10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为( B )‎ ‎(A)6 　 (B)7 (C)8 (D)9‎ ‎【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B．‎ ‎(11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：‎ ‎①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 ( A )‎ ‎(A)3 (B)2 (C)1 (D)0‎ ‎【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.‎ ‎ (12)设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且, 则称调和分割已知点调和分割点．则下面说法正确的是( D )‎ ‎(A)C可能是线段AB的中点 　　　 　(B)D可能是线段AB的中点 ‎(C)C，D可能同时在线段AB上 　　 　(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【解析】由，,知四点，，，在同一条直线上．因为调和分割点,所以四点在同一直线上, 且, 故选D.‎ 第II卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎ (13)执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是68．‎ ‎【解析】第一次计算得出y=278,第二次得新的y=173; 第三次得新的y=68<105, 输出 ‎(14)若展开式的常数项为则常数的值为4 ．‎ ‎【解析】因为,所以, 常数项为 60,解得.‎ ‎ (15)设函数，观察：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当且时， ‎ ‎【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.‎ ‎（16）已知函数．当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 ．2‎ ‎【解析】,‎ ‎．由零点判定定理知，‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在中，内角的对边分别为. 已知．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 所以=,‎ 即,‎ 化简可得 ．‎ 又 所以,‎ 因此 ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知: , 即．‎ 由余弦定理得：，及, ‎ 得, 解得．‎ 从而． ‎ 又因为　且　‎ 所以，‎ 故的面积为．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为．假设各盘比赛结果相互独立．‎ ‎（I）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望．‎ 解:（Ⅰ）设甲胜A为事件, 乙胜B为事件, 丙胜C为事件,‎ ‎ 则分别表示甲不胜A, 乙胜不B, 丙不胜C的事件．‎ 红队至少两名队员获胜的事件有 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，‎ 因此红队至少两名队员获胜的概率为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）由题意知可能的取值为0,1,2,3,则 ‎ ‎++‎ ‎．‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 数学期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是平行四边形， ,平面，，，，．‎ ‎（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的大小． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ)证明：因为 所以．‎ 由于 因此．‎ 连接 ‎ 由于,,‎ 在中,是线段的中点,‎ 则,且，‎ 因此,且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 因此．‎ 又平面,　因为平面,‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：因为所以 又平面，‎ 所以两两垂直．‎ ‎ 分别以所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎ 不妨设则由题意得 ‎ 所以 ‎ 又,‎ ‎ 所以．‎ 设平面的法向量为，‎ 则,‎ 所以 取，得，‎ 所以．‎ 设平面的法向量为，‎ 则,‎ 所以 取，得，‎ 则．‎ 所以 因此二面角的大小为．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列[K]‎ 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4[‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）当时，不合题意；当时，不合题意；‎ 当时，且当时，符合题意．‎ 因此 ．‎ 因为是等比数列,所以公比．‎ 所以数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 　　　　　‎ ‎,‎ 所以 ‎.‎ 所以，当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ ‎．‎ 综上所述，‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 千元．设该容器的建造费用为千元．‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．‎ 解：（Ⅰ）设容器的容积为 ‎ 由题意知 ，又，‎ 所以，‎ 解得．‎ 由于 因此 ‎ 所以建造费用 ‎，‎ 因此 ， 定义域为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，‎ 由于 当时，．‎ 令，则．‎ 所以 ．‎ ‎(1)当，即时，‎ 当时，；当时，．‎ 所以是函数的极小值点，也是最小值点．‎ ‎(2)当，即时，‎ 当时，,函数单调递减．‎ 所以是函数的最小值点．‎ 综上所述，当时，建造费用最小时的；‎ 当时，建造费用最小时的．‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知动直线与椭圆交于两不同点，且的面积, 其中为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）证明：和均为定值； ‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点为,求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆上是否存在三点,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由．‎ ‎（Ⅰ）解：（1）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，‎ ‎ 所以 ，‎ 在椭圆上， ‎ 又   ‎ 由得 ‎ 此时,．‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知，将其代入得 ‎，‎ 其中， ‎ 即 ‎ ‎ 又 ‎ 所以 ．‎ 因为点到直线的距离为 所以 又   ‎ 整理得 ， 且符合式．‎ 此时 ‎ 综上所述，,，结论成立．‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎ (1 )当直线的斜率不存在时，‎ 由（Ⅰ）知 ,‎ 因此 ‎ ‎ （2）当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）：‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 所以，当且仅当，即时，等号成立．‎ 综合得的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）解法二：‎ 即，当且仅当时，等号成立．‎ 因此的最大值为．‎ ‎（Ⅲ）椭圆上不存在三点,使得．‎ ‎　　　证明：假设存在满足 ‎ 由（Ⅰ）得 ‎ ‎ ‎ 解得 因此只能从中选取，只能从中选取．‎ 因此只能在这四点中选取三个不同点，‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点，‎ 与矛盾，‎ 所以椭圆上不存在满足条件的三点．‎