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  • 2021-05-13 发布

全国高考数学试题及答案江苏卷

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绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数 学 本试卷分第I卷(填空题)和第II卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.‎ ‎2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.‎ ‎5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ 参考公式:‎ 锥体体积公式 其中为底面积,为高 球的表面积、体积公式 ‎,‎ 其中R为球的半径 样本数据,,,的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面积,为高 一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1.的最小正周期为,其中,则= ▲ .‎ ‎2.一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 ▲ .‎ ‎3.表示为,则= ▲ .‎ ‎4.A=,则A Z 的元素的个数 ▲ .‎ ‎5.,的夹角为,, 则 ▲ .‎ ‎6.在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投的点落入E 中的概率是 ▲ .‎ ‎7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随即选择了50为老人进行调查,下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。‎ 序号 ‎(i)‎ 分组 ‎(睡眠时间)‎ 组中值 ‎(Gi)‎ 频数 ‎(人数)‎ 频率 ‎(Fi)‎ ‎1‎ ‎[4,5]‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5,6]‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6,7]‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7,8]‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8,9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S的值是 ▲ 。‎ ‎8.设直线是曲线的一条切线,则实数b= ▲ .‎ ‎9在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点P(0,p)在线段AO 上的一点(异于端点),设a,b,c, p 均为非零实数,直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ,某同学已正确求得OE的方程:,请你完成直线OF的方程:( ▲ ).‎ ‎10.将全体正整数排成一个三角形数阵:‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4 5 6‎ ‎7 8 9 10‎ ‎ 11 12 13 14 15‎ ‎. . . . . . . ‎ 按照以上排列的规律,数阵中第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 ▲ .‎ ‎11.已知,满足,则的最小值是 ▲ .‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆1( 0)的焦距为2c,以点O为圆心,为半径作圆M,若过点P 所作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为= ▲ . ‎ ‎13.满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ▲ .‎ ‎14.设函数(x∈R),若对于任意,都有≥0 成立,则实数= ▲ .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点,已知A、B 的横坐标分别为.‎ ‎(Ⅰ)求tan()的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎16.如图,在四面体ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,点E 、F分别是AB、BD 的中点,‎ 求证:(Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ;‎ ‎(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD .‎ ‎17.如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处,已知AB=20km, CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形ABCD 的区域上(含边界),且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为km.‎ ‎(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:‎ ‎①设∠BAO=(rad),将表示成的函数关系式;‎ ‎②设OP(km) ,将表示成的函数关系式.‎ ‎(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.‎ ‎18.设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.‎ ‎(Ⅰ)求实数b 的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求圆C 的方程;‎ ‎(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.‎ ‎19.(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列(),且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:‎ ‎①当n =4时,求的数值;②求的所有可能值;‎ ‎(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.‎ ‎20.若,,为常数,函数f (x)定义为:对每个给定的实数x,‎ ‎(Ⅰ)求对所有实数x成立的充要条件(用表示);‎ ‎(Ⅱ)设为两实数,满足,且∈,若,求证:在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为).‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学参考答案 一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1. 【答案】10‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的周期公式.‎ ‎2.【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故 ‎3. 【答案】1‎ ‎【解析】本小题考查复数的除法运算.∵ ,∴=0,=1,因此 ‎4. 【答案】0‎ ‎【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由得,∵Δ<0,∴集合A 为 ,因此A Z 的元素不存在.‎ ‎5. 【答案】7‎ ‎【解析】本小题考查向量的线性运算.‎ ‎=,7‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此.‎ ‎7. 【答案】6.42‎ ‎8. 【答案】ln2-1‎ ‎【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. ,令得 ‎,故切点(2,ln2),代入直线方程,得,所以b=ln2-1.‎ ‎9【答案】‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填.事实上,由截距式可得直线AB:,直线CP: ,两式相减得,显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程.‎ ‎10.【答案】‎ ‎【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个,即为.‎ ‎11. 【答案】3‎ ‎【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由得,代入得 ‎,当且仅当=3 时取“=”.‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=,则AC= ,‎ 根据面积公式得=,根据余弦定理得 ‎,代入上式得 ‎=‎ 由三角形三边关系有解得,‎ 故当时取得最大值 ‎14. 【答案】4‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若x=0,则不论取何值,≥0显然成立;当x>0 即时,≥0可化为,‎ 设,则, 所以 在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此,从而≥4;‎ 当x<0 即时,≥0可化为,‎ ‎ 在区间上单调递增,因此,从而≤4,综上=4‎ 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.‎ 解:由已知条件及三角函数的定义可知,,‎ 因为,为锐角,所以=‎ 因此 ‎(Ⅰ)tan()= ‎ ‎(Ⅱ) ,所以 ‎∵为锐角,∴,∴=‎ ‎16.【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定.‎ 解:(Ⅰ)∵ E,F 分别是AB,BD 的中点,‎ ‎∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,‎ ‎∵EF面ACD ,AD 面ACD ,∴直线EF∥面ACD .‎ ‎(Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD.‎ ‎∵CB=CD, F 是BD的中点,∴CF⊥BD.‎ 又EFCF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD面BCD,∴面EFC⊥面BCD .‎ ‎17.【解析】本小题主要考查函数最值的应用.‎ 解:(Ⅰ)①延长PO交AB于点Q,由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=(rad) ,则, 故 ‎,又OP=10-10ta,‎ 所以, ‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ,则OQ=10-,所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎(Ⅱ)选择函数模型①,‎ 令0 得sin ,因为,所以=,‎ 当时, ,是的减函数;当时, ,是的增函数,所以当=时,。这时点P 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边 km处。‎ ‎18.【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.‎ 解:(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);‎ 令,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.‎ ‎(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 令=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=.‎ 令=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).‎ 证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0+1+2×0-(b+1)+b=0,右边=0,‎ 所以圆C 必过定点(0,1).‎ 同理可证圆C 必过定点(-2,1).‎ ‎19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识,考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力,满分16分。‎ 解:首先证明一个“基本事实”:‎ 一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差d0=0‎ 事实上,设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列,则 a2=(d-d0)(a+d0)‎ 由此得d0=0‎ ‎(1)(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知,删去的项只可能为a2或a3‎ ‎①若删去,则由a1,a3,a4 成等比数列,得(a1+2d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0,故由上式得a1=-4d,即=-4,此时数列为-4d, -3d, -2d, -d,满足题设。‎ ‎②若删去a3,则由a1,a2,a4 成等比数列,得(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0,故由上式得a1=d,即=1,此时数列为d, 2d, 3d, 4d,满足题设。‎ 综上可知,的值为-4或1。‎ ‎(ii)若n≥6,则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“基本事实”知,数列a1,a2,……,an的公差必为0,这与题设矛盾,所以满足题设的数列的项数n≤5,又因题设n≥4,故n=4或5.‎ 当n=4时,由(i)中的讨论知存在满足题设的数列。‎ 当n=5时,若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5,则由“基本事实”知,删去的项只能是a3,从而a1,a2,a4,a5成等比数列,故 ‎(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 及 ‎ (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)‎ 分别化简上述两个等式,得a1d=d2及a1d=-5d,故d=0,矛盾。因此,不存在满足题设的项数为5的等差数列。‎ 综上可知,n只能为4.‎ ‎(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,……,b1+(n-1) d′(b1 d′≠0),其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列,这里0≤m1