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  • 2021-05-13 发布

2014年版高考数学理二模试题目上海市浦东区

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上海市浦东新区2014年高考预测(二模)‎ 数学(理)试题 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1. 已知全集,若集合,则=_____‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎3.函数的最大值为__5_____‎ ‎4.已知直线和,若,则.‎ ‎5.函数的反函数为,如果函数的图像过点,那么函数的图像一定过点______.‎ ‎6. 已知数列为等差数列,若,,则的前项的和_____.‎ ‎7.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为,则球的体积为 ____ .‎ ‎8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床,在一小时内,甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8,则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98‎ ‎9.设,的二项展开式中含项的系数为7,则____.‎ ‎10.(理)在平面直角坐标系中,若直线(为参数)过椭圆(为参数)的右顶点,则常数=_3__. ‎ ‎11.(理)已知随机变量的分布列如右表,若,则=__1 .‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ n ‎0.2‎ ‎0.3‎ m ‎12.在中, 角所对的边长,的面积为,外接圆半径,则的周长为_______‎ ‎13.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值为 .‎ ‎14.(理)已知函数的定义域为,值域为集合的非空真子集,设点,,,的外接圆圆心为M,且,则满足条件的函数有_12_个.‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15. “”是“”的( A ) ‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎16. (理)已知,, 是虚数单位.若复数是实数,则的最小值为( D )‎ ‎(A)0 (B) (C ) 5 (D)‎ ‎17.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆的“可分函数”为( D )‎ ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎18. (理)方程的解的个数为( B )‎ ‎ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.‎ ‎(理)如图,在直三棱柱中,,,,、、分别是、、的中点.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的大小;‎ E ‎(2)求点到平面之间的距离.‎ 解:(1)设的中点为,连接,则,且,所以或其补角即为异面直线与 所成的角。…………………………………………3分 连接ME,在中,………………………………5分 所以异面直线与所成的角为。……………………………………6分 ‎(2),, ‎ 以点为坐标原点,分别以、、所在直线为轴,如图建立空间直角坐标系,则:‎ ‎, ………………8分 设平面的一个法向量为 则 所以平面的一个法向量为. …10分 又,‎ 所以点到平面的距离.………………………12分 B D C A Q P ‎20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.‎ 如图,ABCD是边长为‎10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在处同时出发,沿直线、向前联合搜索,且(其中点、分别在边、上),搜索区域为平面四边形围成的海平面.设,搜索区域的面积为.‎ ‎(1)试建立与的关系式,并指出的取值范围;‎ ‎(2)求的最大值,并求此时的值.‎ 解:(1) ……………………………………………………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ …………………………………6分 ‎(2)令 …………………………………………………………8分 ‎ ……………10分 ‎,(当且仅当时,即,等号成立)…12分 当时,搜索区域面积的最大值为(平方海里)‎ 此时, …………………………………………………………14分 ‎21. (本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.‎ ‎(理)已知定义在R上的函数,对任意实数都有,且.‎ ‎(1)若对任意正整数,有,求、的值,并证明为等比数列;‎ ‎(2)设对任意正整数,有.若不等式 对任意不小于2的正整数都成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)令,得,‎ 则, …………………………………………………………1分 令,得,‎ 则, ……………………………………………………2分 令,得,‎ 即, ……………………………………………………4分 则,‎ 所以,数列是等比数列,公比,首项. ………………………6分 ‎(2)令,得,即 则是等差数列,公差为2,首项, ‎ 故, ………………………………………………8分 ‎. …………………………………………………………………9分 ‎ 设,则 ‎,‎ 所以是递增数列,,…………………………11分 从而,即………………………………………12分 则,解得. ………………………………………………14分 ‎22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.‎ ‎(理)已知中心在原点,左焦点为的椭圆的左顶点为,上顶点为,到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 过点作直线,使其交椭圆于、两点,交直线于点. 问:是否存在这样的直线,使是、的等比中项?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ x y Rx S Q P O ‎(3) 若椭圆方程为:(),椭圆方程为:(,且),则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆的倍相似椭圆,若直线与两椭圆、交于四点(依次为、、、),且,试研究动点的轨迹方程.‎ 解:(1)设椭圆方程为:(),‎ 所以直线方程为:………………………………………………1分 ‎∴到直线距离为…… 2分 又,解得:,………………………………………………3分 故:椭圆方程为:.………………………………………………… 4分 ‎(2) 当直线与轴重合时,,而,所以 若存在直线,使是、的等比中项,‎ 则可设直线方程为: ………………………………………………… 5分 代人椭圆的方程,得:即:‎ ‎∴ ‎ 记,, ∴,……… 7分 ‎∵,即,∴‎ ‎∴,解得:,符合,所以…………… 9分 故存在直线,使是、的等比中项,其方程为 ‎,即:………………………………… 10分 ‎ (3) 椭圆的倍相似椭圆的方程为: ………………………………11分 设、、、各点坐标依次为、、、‎ ‎ 将代人椭圆方程,得:‎ ‎ ∴ (*)‎ ‎ 此时:,‎ ‎…………………………13分 ‎ 将代人椭圆方程,得:‎ ‎ ∴,………14分 ‎∴,可得线段、中点相同,所以 由,所以,可得:‎ ‎∴(满足(*)式).‎ 故:动点的轨迹方程为. ……………………………………16分 ‎23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.‎ ‎(理)定义区间,,,的长度均为,其中.‎ ‎(1)已知函数的定义域为,值域为,写出区间长度的最大值与最小值.‎ ‎(2)已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集) . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和. ‎ ‎(3)定义函数,判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和.‎ 解:(1),‎ 解得或,…………………1分 ‎,解得, …………………2分 画图可得:区间长度的最大值为,‎ 最小值为.………………………………4分 ‎(2) …………………………………………………………6分 当,, ……………………………………………7分 当,, ……………………………………………………………8分 所以时,………………………………………………9分 所以值域区间长度总和为。 ……………………………………………………………10分 ‎(3)由于当时,取,,‎ 取,, ‎ 所以方程在区间内有一个解 …………………………………12分 考虑函数,由于当时,,故在区间内,不存在使的实数;‎ 对于集中的任一个,由于当时,‎ 取,,取,‎ 又因为函数在区间内单调递减,‎ 所以方程在区间内各有一个解;‎ 依次记这个解为,‎ 从而不等式的解集是,故得所有区间长度的总和为 ‎ ………① ……………………………………………15分 对进行同分处理,分子记为 ‎ ‎ 如将展开,其最高项系数为,设 ‎ ……②‎ 又有 …………③‎ 对比②③中的系数,‎ 可得: ……………………………………………18分