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- 2021-05-13 发布
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
时间120分钟,满分150分
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.行列式的值为_________.
2.双曲线的渐近线方程为_________.
3.在的二项展开式中,项的系数为_________.(结果用数值表示)
4.设常数,函数。若的反函数的图像经过点,则
_________.
5.已知复数满足(是虚数单位),则_________.
6.记等差数列的前项和为,若,,则_________.
7.已知。若幂函数为奇函数,且在上递减,则
_________.
8.在平面直角坐标系中,已知点,,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个。从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.(结果用最简分数表示)
10.设等比数列的通项公式为(),前项和为。若,则_________.
11.已知常数,函数的图像经过点、。若,则_________.
12.已知实数、、、满足:,,,则的最大值为_________.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
(A) (B) (C) (D)
14.已知,则“”是“”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设是正六棱柱的一条侧棱,如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
(A) (B) (C) (D)
16.设是含数1的有限实数集,是定义在上的函数。若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,的可能取值只能是( )
(A) (B) (C) (D)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为,底面圆心为,半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设,、是底面半径,且,为线段的中点,如图,求异面直线与所成的角的大小。
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
设常数,函数。
(1)若为偶函数,求的值;
(2)若,求方程在区间上的解。
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示:当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
(单位:分钟)
而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义。
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
设常数,在平面直角坐标系中,已知点,直线:,曲线
:(,),与轴交于点,与交于点。、分别是曲线与线段上的动点。
(1)用表示点到点的距离;
(2)设,,线段的中点在直线上,求的面积;
(3)设,是否存在以、为邻边的矩形,使得点在上?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由。
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
给定无穷数列,若无穷数列满足:对任意,都有,则称与“接近”。
(1)设是首项为1,公比为的等比数列,,。判断数列是否与接近,并说明理由;
(2)设数列的前四项为:,,,,是一个与接近的数列,记集合,求中元素的个数;
(3)已知是公差为的等差数列。若存在数列满足:与接近,且在,,…,中至少有100个为正数,求的取值范围。
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