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- 2021-05-13 发布
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专题02 复数与平面向量小题(文)
一.复数小题
(一)命题特点和预测:分析近8年的高考题,8年8考,每年1题,主要考查复数实部、虚部、共轭复数、复数的模等概念、复数的点表示、复数加减乘除运算,偶尔与其他知识交汇,当总体难度较小,一般为选择题前3中或填空题13题位置,难度较小,为送分题.19年的高考考查知识点、题型、难度仍将保持稳定,可能适当度创新.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
2018
(2)设,则
A. B. C. D.
C
2017年
(3)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
C
2016年
(2)设的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=
(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3
A
2015年
(3)已知复数满足,则( )
(A) (B) (C) (D)
C
2014年
(3)设,则( )
A. B. C. D. 2
B
2013年
(2)=( ).
A. B. C. D.
B
2012年
(2)复数z=的共轭复数是
(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i
2011年
(1)复数( )
(A) (B) (C) (D)
C
【解析与点睛】
(2018年)【解析】因为,所以,故选C.
(2017年)【解析】由为纯虚数知选C.
(2016年)【解析】,由已知,得,解得,选A.
(2015年)【解析】∴,∴,故选C.
(2014年)【解析】根据复数运算法则可得:,由模的运算可得:.
(2013年)【解析】=.
(2012年)【解析】∵==,∴的共轭复数为,故选D.
(2011年)【解析】解法一:
解法二:验证法 验证每个选项与1-2i的积正好等于5i的便是答案,故选C.
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
已知复数满足,则复数的共轭方式在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.
已知复数满足,则()
A. B. C. D.
3
已知复数z=(i是虚数单位),则复数z的虚部为( )
A. B. C. D.
4
已知复数,则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5
已知x,,i为虚数单位,且,则
A.2 B. C. D.2i
6
若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中,为虚数单位,则实数取值范围为( )
A. B. C. D.
7
若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为( )
A. B.2 C. D.
8
已知复数,则下面结论正确的是( )
A. B.
C.一定不是纯虚数 D.在复平面上,对应的点可能在第三象限
9
欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10
设,是虚数单位,已知集合,,若,则的取值范围是________.
【详细解析】
1.【答案】A
【解析】由题意知,,所以,在复平面内与复数对应的点为,在第一象限,故选A.
2.【答案】B
【解析】,,∴,∴,故选B.
3.【答案】A
【解析】复数z=,复数的虚部为,故选A.
4.【答案】A
【解析】因为,所以,对应点的坐标为,故选A.
5.【答案】B
【解析】由,得:,所以,,所以,故选B.
6.【答案】B
【解析】∵在复平面内对应的点在第三象限,∴,解得a<0,故选B
7.【答案】D
【解析】在复平面内所对应的点在虚轴上,,即,故选D.
8.【答案】B
【解析】的共轭复数为,所以A错误;,所以B正确;当时,是纯虚数,所以C错误;对应的点为(,1),因为纵坐标y=1,所以,不可能在第三象限,D也错误,故选B.
9.【答案】D
【解析】由欧拉公式,可得,∴ 表示的复数位于复平面中的第四象限,故选D
10.【答案】
【解析】由题意,集合A表示的点的轨迹是以(0,1)为圆心,半径为2的圆及内部;
集合B表示点的轨迹为以(1,1+b)为圆心,半径为2的圆及内部,∵A∩B≠∅,说明,两圆面有交点,∴,可得:,
二.平面向量小题
(一)命题特点和预测:分析近8年平面向量部分考题,发现8年8考,每年1题,主要考查向量的概念、线性运算、平面向量基本定理、平面向量数量积的概念、性质及应用平面数量积研究平行、垂直、长度问题,试题多选择题在前8题或填空题13、14题位置,为基础题,少数年份与平面几何图形为载体考查平面向量基本定理或数量积,难度较大,为中档题.19年高考在考查知识点、题型、难度方面将保持稳定,可能适度创新.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
2018年
(7)在△中,为边上的中线,为的中点,则( )
A. B. C. D.
A
2017年
(13)已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
7
2016年
(13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x= .
2015年
(2)已知点,向量,则向量( )
(A) (B) (C) (D)
A
2014年
(6)设分别为的三边的中点,则
A. B. C. D.
A
2013年
(13)已知两个单位向量,的夹角为60°,=,若=0,则=_____.
2
2012年
(15)已知向量a,b夹角为45° ,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=
2011年
(11)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则 .
1
【解析与点睛】
(2018年)【解析】根据向量的运算法则,可得,所以,故选A.
(2017年)【解析】由题得,因为,所以,解得.
(2016年)【解析】由题意,
(2015年)【解析】∵=(3,1),∴=(-7,-4),故选A.
(2014年)【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得:在中,,同理,则.
(2013年)【解析】=====0,解得=.
(2012年)【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)
(2011年)【解析】由题意知,即,所以,因为与不共线,所以,即k=1.
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
若向量满足条件与共线,则x的值为( )
A.1 B.-3 C.-2 D.-1
2.
已知向量满足,与的夹角为,则向量的模为( )
A.4 B. C.2 D.
3
已知,,则在上的投影为__________.
4
已知向量,若,则实数的值是( )
A. B. C. D.
5
如图所示,在梯形中,,,点是的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
6
中,A,B,C的对边分别记a,b,c,若,,BC边上的中线,则( )
A.15 B.-15 C. D.
7
已知是两个单位向量,且夹角为,则与数量积的最小值为( )
A. B. C. D.
8
已知△ABC外接圆的圆心为O,若AB=3,AC=5,则的值是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
9
在直角三角形中,,,,在斜边的中线上,则的最大值为( )
A. B. C. D.
10
如图,在平行四边形OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且BC=3BF,若=m,其中m,n∈R,则m+n的值为( )
A.1 B. C. D.
【详细解析】
1.【答案】D
【解析】由题知,∵与共线;∴,∴,故选D.
2.【答案】D
【解析】题知,∴,故选D.
3.【答案】
【解析】因为,所以在上的投影为
4.【答案】A
【解析】由题意:,, ,故选
5.【答案】A
【解析】,, ,故选A
6.【答案】D
【解析】如图所示,根据平面向量的加法平行四边形法则可知,,,,所以,故选D.
7.【答案】A
【解析】由题意:
,当时,最小值为:,故选
8.【答案】C
【解析】如图,取AC中点D,AB中点E,并连接OD,OE,则,,,故选C.
9.【答案】B
【解析】以A为坐标原点,以AB,AC方向分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,则B(2,0),C(0,4),中点D(1,2),设 ,所以 , ∴,当时,最大值为,故选B.
10.【答案】C
【解析】在平行四边形中,因为E是AC中点,所以,所以,因为,所以,所以,因为
,所以,,解得,所以 ,故选C