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- 2021-05-13 发布
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2018届高三数学一模卷(宝山)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,前6题每题4分,后6题每题5分.)
1. 设集合,则______.
2. _______.
3. 函数的最小正周期为________.
4. 不等式的解集为_______.
5. 若(其中为虚数单位),则_________.
6. 若从五个数中任选一个数,则使得函数在上单调递增的概率为________.(结果用最简分数表示)
7. 在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为1024,则常数项的值等于______.
8. 半径为的圆内接三角形的面积是,角所对应的边依次为,则的值为________.
9. 已知抛物线的顶点为坐标原点,双曲线的右焦点是的焦点.若斜率为,且过的直线与交于两点,则________.
10. 直角坐标系内有点,将绕轴旋转一周,则所得几何体的体积为_______.
11. 给出函数,,这里,若不等式()恒成立,为奇函数,且函数恰有两个零点,则实数的取值范围为_______.
1. 若(,)个不同的点满足:,则称点按横序排列.设四个实数使得成等差数列,且两函数图象的所有交点、、按横序排列,则实数的值为_______.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分).
2. 关于的二元一次方程组的增广矩阵为()
()()
()()
3. 设为空间中的四个不同点,则“中有三点在同一条直线
上”是“在同一个平面上”的( )
()充分非必要条件()必要非充分条件
()充要条件()既非充分又非必要条件
4. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称,则
( )
()() ()()
5. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积.设:
数列甲:为递增数列,且();
数列乙:满足().
则在甲、乙的所有内积中( )
()当且仅当时,存在个不同的整数,它们同为奇数;
()当且仅当时,存在个不同的整数,它们同为偶数;
()不存在个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数;
()存在个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(本题满分14分,6+8)
如图,在长方体中,
已知,,为棱的中点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
18. (本题满分14分,6+8)
已知函数.
(1)求在上的单调递减区间;
(2)设的内角所对应的边依次为,若
且,求面积的最大值,并指出此时为何种类型的三角形.
19. (本题满分14分,6+8)
设数列及函数(),().
(1)若等比数列满足,,求数列的前()项和;
(2)已知等差数列满足(均为常数,,且),().试求实数对,使得成等比数列.
18. (本题满分16分,4+6+6)
设椭圆:()过点,且直线过的左焦点.
(1)求的方程;
(2)设为上的任一点,记动点的轨迹为,与轴的负半轴,轴
的正半轴分别交于点,的短轴端点关于直线的对称点分别为.当点
在直线上运动时,求的最小值;
(3)如图,直线经过的右焦点,并交于两点,且,在直线上的射影依次为,.当绕转动时,直线与是否相交于定点?若是,求出定点的坐标;否则,请说明理由.
19. (本题满分18分,4+6+8)
设,且.
(1)已知(),求的值;
(2)设()与均不为零,且().若存在,使得
,求证:;
(3)若(),().是否存在,使得数列满足(为常数,且)对一切正整数均成立?若存在,试求出所有的;若不存在,请说明理由.
宝山区2017学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷
参考答案
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)
题号
答案
2
题号
答案
405
1
104
1
题号
答案
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.解:(1)因为长方体,所以点到平面的距离就是,故四棱锥
的体积为.
(2)(如图)联结,,因为长方体,且,
所以平面,故直线与平面所成角就是,
在中,由已知可得,,
因此,,即 直线与平面所成角的正切值为.
18.解:(1)由题意可得,故在上的单调递减区间为.
(2)由已知可得,,,又,.故,当时取等号,即面积的最大值为,此时是边长为2的正三角形.
19.解:(1)由已知可得(),故(),所以(),从而是以为首项,为公比的等比数列,故数列的前项和为().
(2)依题意得(),所以(),故
(),令,解得(舍去),因此,存在,使得数列成等比数列,且().
20. 解:(1)依题意可得,半焦距,从而, 因此,椭圆的方程为.
(2)因为点在上,所以,故轨迹:. 不妨设
,,,则,.易得直线:,故
,所以当,即点的坐标为时, 取得最小值.(或这样:因为点在直线上运动,所以当时,取得最小值,故也取得
最小值,此时,易得对应点为垂足,从而,的最小值为
.)
(3)易得,设:(),,,则,,
由得,显然,且,.将代入直线的方程:,并化简可得
,将,
代入可得,即 直线的方程为,因为任意,所以直线过定点.同理可得直线也过定点.
综上,当绕转动时,直线与相交于定点.
21.解:(1)设(),则.
若,则,由已知条件可得,,,解得,.
若,则,由已知条件可得,,,解得,但,故舍去.
综上,得.
(2)证明如下:令,则().
假设,即,因(),故(),于是,即
(),亦即,故数列单调递增.又,故,即,于是,.所以,对任意的,均有,与题设条件矛盾.因此,假设不成立,即成立.
(3)设存在满足题设要求,令().易得对一切,均有
,且 (※).
(i)若,则显然为常数数列,故满足题设要求.
(ⅱ)若,则用数学归纳法可证:对任意,.
证明:当时,由,可知.
假设当时,.
那么,当时,
若,则,.故,.(※※)
如果,那么由可知,这与(※※)矛盾.
如果,那么由(※※)得,即,故,与(※※)矛盾.
因此,.
综上可得,对任意,.
记(),注意到
,即,当且仅当,亦即时等号成立.于是,有(),进而对任意,,均有,所以.从而,此时的不满足要求.
综上,存在,使得数列满足(为常数,且)对一切成立.