备战高考数学专题高考全国试题分类解析圆锥曲线 32页

‎2005年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）‎ 一、选择题：‎ ‎1重庆卷) 若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2+2y的最大值为(A )‎ ‎ (A) ； (B) ；‎ ‎ (C) ； (D) 2b。‎ ‎2. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎3. （天津卷）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为（B ） ‎ ‎ A．43 B． 72 C． 86 D． 90‎ ‎5. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎6. （山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ B ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎7 (全国卷Ⅰ)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.(全国卷II) 双曲线的渐近线方程是( C)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9. (全国卷II)已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为(C )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D )‎ ‎(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5‎ ‎11. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ B ）‎ ‎ A．2+ B． C． D．21‎ ‎13 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)‎ ‎ ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0‎ ‎14. （江苏卷）(11)点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )‎ ‎ ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) ‎ ‎15.（湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　 （D ）‎ ‎　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º ‎16. （湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　 （ D　）‎ ‎　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º ‎17. （湖北卷）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （ A ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎18. （福建卷）已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．5‎ ‎19. （福建卷）设的最小值是 （ ）‎ ‎ A． B． C．－3 D．‎ ‎20. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=(B)‎ ‎（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）‎ ‎21. (全国卷III)已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎22.（福建卷）已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ D ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎1．（江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎ ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎ ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎ ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎ ④双曲线有相同的焦点.‎ ‎ 其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）‎ ‎ 2. (重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为。‎ ‎3. (浙江) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__2_______．‎ ‎4. （上海）4．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4。则点P的轨迹方程是 x+2y-4=0 ．‎ ‎5. （上海）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是 ‎6. （上海）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。‎ ‎7. （山东卷）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.‎ 三、解答题：‎ O A B E F M ‎1. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. ‎ ‎ （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；‎ ‎ （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)‎ 则直线MF的斜率为－k，方程为 ‎∴由，消 解得 ‎∴(定值)‎ 所以直线EF的斜率为定值 ‎（2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得 ‎2．（江西卷） O A B P F ‎　‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎ 3. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。‎ ‎ (1) 求双曲线C的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而 于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎4. (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1‎ 的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。‎ ‎ (1) 求双曲线C2的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为 ‎（II）将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.‎ 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 ‎5. (浙江) 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．‎ O F2‎ F1‎ A2‎ A1‎ P M 解：（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则 ‎,,‎ 由题意，得 ,解得 ‎ 故椭圆方程为 ‎（II）设P(‎ 当时，‎ 当时, ‎ 只需求的最大值即可。‎ 直线的斜率，直线的斜率 当且仅当=时，最大，‎ ‎6. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；‎ ‎（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为 ‎，准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．‎ 点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③‎ 又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．‎ 由已知得，，则．　　⑥‎ 设点的坐标为，由，则．‎ 将③式和⑥式代入上式得，即．‎ ‎∴线段的中点在轴上．‎ ‎（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．‎ 由③式知，代入得．‎ 将代入⑥式得，代入得．‎ 因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎，．‎ 于是，，‎ ‎．‎ 因为钝角且、、三点互不相同，故必有．‎ 求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足 ‎，故当时，；当时，．即 ‎7. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎ (1)求抛物线方程;‎ ‎ (2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;‎ ‎ (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ ‎[解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.‎ ‎ ∴抛物线方程为y2=4x.‎ ‎ (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),‎ ‎ 又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,‎ ‎ 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,‎ ‎ ∴N的坐标(,).‎ (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,‎ 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.‎ 当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,‎ 圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1‎ ‎∴当m>1时, AK与圆M相离;‎ ‎ 当m=1时, AK与圆M相切;‎ ‎ 当m<1时, AK与圆M相交.‎ ‎8. （上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。‎ ‎ [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)‎ ‎ 设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得 ‎ ‎ ‎ 则2+9－18=0, =或=－6.‎ ‎ 由于>0,只能=,于是=.‎ ‎ ∴点P的坐标是(,)‎ ‎ (2) 直线AP的方程是－+6=0.‎ ‎ 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.‎ ‎ 于是=,又－6≤≤6,解得=2.‎ ‎ 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ‎ ,‎ 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 ‎9. （山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.‎ ‎（I）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ 解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线 的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；‎ ‎（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①‎ ‎（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点 ‎（2）当时，由，得==‎ 将①式代入上式整理化简可得：，所以，‎ 此时，直线的方程可表示为即 所以直线恒过定点 所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.‎ ‎10. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。‎ 解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为，代入，化简得 ‎.‎ 令A（），B），则 由与共线，得 又，‎ 即，所以，‎ 故离心率 ‎（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为 设，由已知得 ‎ 在椭圆上，‎ 即①‎ 由（1）知 又，代入①得 故为定值，定值为1.‎ ‎11. (全国卷Ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.‎ ‎ （1）求椭圆的离心率；‎ ‎ （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.‎ ‎ 解：设椭圆方程为 ‎ 则直线AB的方程为 ‎ 化简得.‎ ‎ 令则 ‎ ‎ 共线，得 又 ‎∴‎ ‎∴即，∴‎ ‎∴‎ 故离心率为 ‎（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.‎ 设，由已知得 ‎ 在椭圆上， ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ 由（I）知 ‎∴‎ ‎ ∴‎ 又又，代入①得 ‎ 故为定值，定值为1‎ ‎12. (全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．‎ 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1‎ 将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0‎ 设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则‎ ‎ Q P N M F O 从而 亦即 ‎(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得 ‎ 故四边形面积 令=得 ‎∵=≥2‎ 当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数 ‎∴‎ ‎②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2‎ 综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。‎ ‎13．(全国卷III) 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，‎ ‎ （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；‎ ‎ （Ⅱ）当时，求直线的方程.‎ 解：（Ⅰ）∵抛物线，即，‎ ‎∴焦点为………………………………………………………1分 ‎（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分 ‎（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线：y=kx+b 由已知得：‎ ‎……………5分 ‎ ‎……………7分 ‎ 即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分 ‎（Ⅱ）当时，‎ 直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得：‎ ‎ ………………………11分 ‎…………………………………………13分 所以直线的方程为 ‎14、(全国卷III)‎ ‎ 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。‎ ‎（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。‎ ‎21．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，‎ ‎ ∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0‎ ‎∴上述条件等价于 ‎∵‎ ‎∴上述条件等价于 即当且仅当时，经过抛物线的焦点。‎ ‎（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 ‎ 得 ‎ 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即 设的中点的坐标为，则 ‎，‎ 由，得，于是 即得在轴上截距的取值范围为 ‎15.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得，即 ‎ 由，所以…………………………3分 ‎（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，，‎ ‎ 由，‎ ‎ ，‎ ‎ ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分 ‎16．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.‎ ‎ （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；‎ ‎ （Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.‎ ‎ 所以点M的坐标是（）. 由 即 ‎ 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 ‎ 即 ‎ 解得 ‎ （Ⅱ）当时，，所以 由△MF1F2的周长为6，得 ‎ 所以 椭圆方程为 ‎ （Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 ‎ 设点F1到l的距离为d，由 ‎ 得 所以 ‎ 即当△PF1F2为等腰三角形.‎ 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，‎ 设点P的坐标是，‎ 则 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2，化简得 从而 于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形.‎ ‎17．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.‎ ‎ （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；‎ ‎ （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.‎ ‎ 所以点M的坐标是（）. 由 即 ‎ 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 ‎ 即 ‎ 解得 ‎ （Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 ‎ 设点F1到l的距离为d，由 ‎ 得 所以 ‎ 即当△PF1F2为等腰三角形.‎ 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，‎ 设点P的坐标是，‎ 则 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2，化简得 从而 于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形.‎ ‎18.．（湖北卷）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB 的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.‎ ‎ （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.‎ ‎（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ‎ ①‎ 设①的两个不同的根，‎ ‎ ②‎ 是线段AB的中点，得 解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.‎ 于是，直线AB的方程为 解法2：设 依题意，‎ ‎（II）解法1：代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ ‎③的两根，‎ 于是由弦长公式可得 ‎ ④‎ 将直线AB的方程 ‎ ⑤‎ 同理可得 ‎ ⑥‎ 假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 ‎ ⑦‎ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.‎ ‎（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：‎ A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角 ‎ ⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边=‎ 由④和⑦知，⑧式右边=‎ ‎ ‎ ‎∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆 解法2：由（II）解法1及.‎ 代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得 ‎　　　⑤‎ 解③和⑤式可得 ‎ 不妨设 ‎∴‎ 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.‎ 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.‎ ‎（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）‎ ‎19. （福建卷）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot ‎ ∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（I）解法一：直线， ① ‎ 过原点垂直的直线方程为， ②‎ 解①②得 ‎∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ 解法二：直线.‎ ‎ 设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.‎ ‎∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎ ‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ ‎（II）解法一：设M（），N（）.‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 点O到直线MN的距离 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 当直线m垂直x轴时，也满足.‎ ‎ 故直线m的方程为 ‎ 或或 ‎ 经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为 ‎ 或或 解法二：设M（），N（）.‎ ‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，‎ ‎ ∴|MN|=|ME|+|NE|‎ ‎=‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ 解法三：设M（），N（）.‎ ‎ 设直线，代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴=，整理得 ‎ ‎ 解得或 ‎ 故直线m的方程为或或 ‎ 经检验上述直线均满足 ‎ 所以所求直线方程为或或 ‎20.（北京卷）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．‎ ‎（I）分别用不等式组表示W1和W2；‎ ‎（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．‎ 解：（I）W1={(x, y)| kx0}，‎ ‎ （II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得 ‎ , 即，‎ ‎ 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，‎ ‎ 所以 ，即,‎ ‎ 所以动点P的轨迹C的方程为；‎ ‎ （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，‎ ‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．‎ ‎ 由，得 ‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 ‎△=>0‎ 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，‎ 则, , ‎ 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， ‎ 由得 从而，‎ 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,‎ ‎ 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．‎ ‎（21）（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．‎ ‎（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ x y O A B 解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）‎ ‎∵OA⊥OB ∴,即，……(2)‎ 又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得 ‎∴‎ 所以重心为G的轨迹方程为 ‎（II）‎ 由（I）得 当且仅当即时，等号成立。‎ 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；‎