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- 2021-05-13 发布
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2018全国课标卷文科数学模拟试题(三)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(14辽宁文理). 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≤0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|00,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).
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①ab≤1; ②≤; ③ a2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ⑤≥2
解析:令a=b=1,排除②④;由2=a+b≥2,命题①正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确;
=(a+b)/ab=2/ab≥2,命题⑤正确。答案:.①,③,⑤
三、解答题:(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12四川文)已知函数f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)= ,求sin2α的值.
解:(1)由已知,f(x)= cos2-sincos-=(1+cosx)- sinx-=cos(x+)
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,]
(2)由(1)知,f(α)= cos(α+)=
所以cos(α+)=. 所以sin2α=-cos(+2α)=-cos2(α+)=1-2cos2(α+)=
考点定位:本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.
18. (14天津文15)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
解:(1)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、(X,Z )、(Y,Z) 共计15个结果.
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,
则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,
故事件M发生的概率为 =
19. (11湖南文19)如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙OD的直径AB=2,点C在AB弧上,且∠CAB=30°,D为AC的中点.
(1)证明:AC⊥平面POD;(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
解:(1)因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O,AC底面⊙O 所以AC⊥PO,而OD,PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
(2)由(1)知,AC⊥平面POD,又AC平面PAC
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所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC
连接CH,则CH是OC在平面上的射影,所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中,OD=OA.sin30°= 在Rt△POD中,OH== 在Rt△OHC中,sin∠OCH =0H/OC=
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,空间直线与平面所成角的求解,考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20.(12湖南文21)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
解:(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点(2,0)
从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)其焦距为2c,
由题设知c=2,a=2c=4,b2=12 故椭圆E的方程为:
(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜分率分别为k1,k2
则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0);l2:y-y0=k2(x-x0)且k1k2=
由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切,得=,即[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0
同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0.
从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根,于是k1k2==
联立得5x02-8x0-36=0解得x0=-2或x0=18/5
由x0=-2得y0=±3,由x0=18/5得y0=±/5它们满足①式,
故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或(18/5,/5),或(18/5,-/5).
21. (14课标1文21)
设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,
(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.
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解:(1)f′(x)=+(1-a)x-b(x>0),∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,
∴f′(1)=a+(1﹣a)×1﹣b=0,解得b=1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)可知:f(x)=alnx+x2-x,
∴f′(x)= +(1-a)x-1=(x- )(x-1)
①当a≤时,则≤1,则当x>1时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,
∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是f(1)< ,即-1<,解得:- -11,
则当x∈(1, )时,f′(x)<0,函数f(x)在(1, )上单调递减;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.
∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是f()<,
而f()=aln ++<,不符合题意,应舍去.
③若a>1时,f(1)=-1<,成立.
综上可得:a的取值范围是(--1,-1) ∪(1,+ ∞).
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(10辽宁文理)选修4—1 几何证明选讲
如图,∆ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
(1)证明:∆ABE∽∆ADC (2)若∆ABC的面积S=AD×AE,求∠BAC的大小。
证明:(1)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC,所以AB:AE=AD:AC,即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.
23.(13课标1文理23)选修4—4 极坐标与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2
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的极坐标方程为=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(≥0,0≤θ<2π).
解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由C1,C2联立方程组解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
24. 选修4—4 不等式选讲
设函数f(x)=|2x+1|-|x- 4| (1)解不等式f(x)>2 (2)求函数y=f(x)的最小值.
(1)解:因为f(x)=|2x+1|-|x- 4|,所以
作出函数f(x)的图象如图所示,它与直线y=2的交点为(-7,2)和,
所以的解集为.
(2)由函数的图象可知,当时,函数取得最小值.
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