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- 2021-05-13 发布
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新课标双曲线历年高考题精选
1.(05上海理5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(,0), 则双曲线的方程为————
2.(07福建理6以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
3.(07上海理8)以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是
4.(07天津理4)设双曲线的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )A. B.C. D.
5.(04北京春理3)双曲线的渐近线方程是( ) A. B. C. D.
6.(2009安徽卷理)下列曲线中离心率为的是 A. B. C. D.
7.(2009宁夏海南卷理)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
8.(2009天津卷文)设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
9.(2009湖北卷文)已知双曲线(b>0)的焦点,则b=( )
10. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 (C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
11.(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1
,则双曲线方程为 .
112.(2008山东文)已知圆.以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述
条件的双曲线的标准方程为
13.(2008安徽文)已知双曲线的离心率是。则= 4
14、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为( D )A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
15. (2008重庆理)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为 (C )
(A)-=1 (B) (C) (D)
16.(2009辽宁卷理)以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为
17.(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则( D )A.1B.2C.3 D.4
18.(04湖南文4)如果双曲线上一点P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是( )
17.(2008四川文) 已知双曲线的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于( C )(A) (B) (C) (D)
19.(04天津理4)设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点,若,则 A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9
20.(05全国Ⅱ理6)已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为
21(05全国Ⅲ理9)已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且,则点到轴的距离为( )
22.(05湖南理7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两渐近线的夹角为()A、30º B、45º C、60º D、90º
23.(07福建理6以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A. B.C. D.
30.(07辽宁理11)设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )A. B. C. D.
24.(07四川理5)如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是
25(07陕西理7)已知双曲线C:(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是
A. B. C.a D.b
26.(07重庆理16)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为______.
27.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).
28.(2009四川卷文、理)已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则·=( )
29.(2009全国卷Ⅱ理)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为 ( )
30.(2009江西卷文)设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
31.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点,则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. B. C. D.
32.(2009全国卷Ⅰ理)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( )
33.(2009全国卷Ⅱ文)双曲线的渐近线与圆相切,则r= ( )
34.(2009福建卷文)若双曲线的离心率为2,则等于( )
35.(2009全国卷Ⅰ文)设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于( )
36.(2009重庆卷理)已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
37.(2009湖南卷文)过双曲线C:的一个焦点作圆的两条切线,
切点分别为A,B,若(O是坐标原点),则双曲线线C的离心率为 2 .
38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,则双曲线C的离心率为
39.(2008湖南文) 双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线
的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( C )A. B. C. D.
40.(2008浙江文、理)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是( )
41. (2008湖南理)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B. )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 、(2008海南、宁夏理)过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为______________
42.(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为,若P为其上的一点,且,则双曲线离心率的取值范围为( B )A. B. C. D.
43.(2008全国Ⅱ卷文)设是等腰三角形,,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为( )
44.(2008全国Ⅱ卷理)设,则双曲线的离心率的取值范围是A.B C.D.
45.(2008陕西文、理) 双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( B )A. B. C. D.
46.(04全国Ⅲ理7)设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则双曲线的离心率( )
47.(04江苏5)若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则双曲线离心率为 ( )
48.(04重庆理10)已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为:( )
49.(05福建理10)已知F1、F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.
50.(05浙江13)过双曲线(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.
51.(06福建理10)已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)
52..(06湖南理7)53(06山东文7)在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为
54.(07安徽理9) 如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为(A) (B)(C)(D)
55.(06陕西理7)已知双曲线 - =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.
56.(07全国2理11)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为(A) (B) (C) (D)
57.(07浙江理9)已知双曲线的左、右焦点分别为,,是准线上一点,且,,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.
58(2009浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是 ( )
59.(06天津文22)双曲线的离心率为.分别为左、右焦点,为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设和是轴上的两点,过点作斜率不为0的直线,使得交双曲线于两点,作直线交双曲线于另一点.证明直线垂
22.(06安徽理22)如图,F为双曲线C:的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点。已知四边形为平行四边形,。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式;
(Ⅱ)当时,经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程。
2.(04Ⅳ理21)双曲线的焦点距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
3.(04全国Ⅰ理21)设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
5(04上海春理22)已知倾斜角为的直线过点和点,在第一象限,.(1) 求点的坐标;
(2) 若直线与双曲线相交于、两点,且线段的中点坐标为,求的值;
(3)对于平面上任一点,当点在线段上运动时,称的最小值为与线段距离. 已知点在轴上运动,写出点到线段的距离关于的函数关系式.
6.(04湖北理20)直线的右支交于不同的两点A、B.
(I)求实数k的取值范围;
(II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
27.(07湖南理20)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
28.(07江苏3)在平面直角坐标系中,双曲线中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线方程为,则它的离心率为( )
A. B. C. D.
29.(07江西理21)设动点到点和的距离分别为和,,且存在常数,使得.
(1)证明:动点的轨迹为双曲线,并求出的方程;
(2)过点作直线双曲线的右支于两点,试确定的范围,使,其中点为坐标原点.
5.解:(1) 直线方程为,设点,由及,得,,点的坐标为
(2)由得,设,则,得
(3)(解法一)设线段上任意一点坐标为,,
记,
当时,即时,,
当,即时,在上单调递减,∴;
当,即时,在上单调递增,
综上所述,
(解法二) 过、两点分别作线段的垂线,交轴于、,
当点在线段上,即时,由点到直线的距离公式得:;
当点的点在点的左边,时,;
当点的点在点的右边,时,
综上所述,
6.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力,满分12分.
解:(Ⅰ)将直线
……①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故
(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为、,则由①式得
……②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
则由FA⊥FB得:
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
11.解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵
即.
∵
∴
解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为
由
得.
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此,(不妨设P在第一象限)
直线PQ方程为
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得,
所以所求双曲线方程为
即
22.解:∵四边形是,∴,作双曲线的右准线交PM于H,则,又,。
(Ⅱ)当时,,,,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:,
又,由得:,解得,则,所以为所求。
27.解:由条件知,,设,.
解法一:(I)设,则则,,
,由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
因为是与无关的常数,所以,即,此时=.
当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,
此时.
故在轴上存在定点,使为常数.
解法二:(I)同解法一的(I)有
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点点,使为常数,
当不与轴垂直时,由(I)有,.
以上同解法一的(II).
29.解法一:(1)在中,,即,
,即(常数),
点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线.
方程为:.
(2)设,
①当垂直于轴时,的方程为,,在双曲线上.
即,因为,所以.
②当不垂直于轴时,设的方程为.
由得:,
由题意知:,
所以,.
于是:.
因为,且在双曲线右支上,所以
.
由①②知,.
解法二:(1)同解法一
(2)设,,的中点为.
①当时,,
因为,所以;
②当时,.
又.所以;
由得,由第二定义得
.
所以.
于是由得
因为,所以,又,
解得:.由①②知.
38.(00北京安徽)(3)双曲线的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是
(A)2 (B) (C) (D)
.过双曲线的左顶点作斜率为1的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点、,且,则双曲线的离心率是A. B. C. D.