高考数学分类汇编数列 9页

www.gkstk.com ‎2016年高考数学试题分类汇编 数列 一、选择题 ‎1、（2016年浙江高考）如图，点列分别在某锐角的两边上，且 ‎，‎ ‎.‎ ‎(P≠Q表示点P与Q不重合)‎ 若，为的面积，则（ ）‎ A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列 ‎【答案】A 二、填空题 ‎1、（2016年江苏省高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎2、（2016年上海高考）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为 .‎ ‎【答案】4‎ 三、解答题 ‎1、（2016年北京高考）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.‎ 解：（I）等比数列的公比，‎ 所以，．‎ 设等差数列的公差为．‎ 因为，，‎ 所以，即．‎ 所以（，，，）．‎ ‎（II）由（I）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎．‎ ‎2、（2016年江苏省高考）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若 ‎，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎（1）由已知得.‎ 于是当时，.‎ 又，故，即.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，.‎ ‎3、（2016年山东高考）已知数列的前n项和，是等差数列，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式； ‎ ‎（II）令.求数列的前n项和. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，解得，得到。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而 ‎ 利用“错位相减法”即得 试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即 ‎，所以，以上两式两边相减得。‎ 所以 ‎4、（2016年上海高考）对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且 ‎，则称{}与{}是无穷互补数列.‎ ‎（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；‎ ‎ （2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；‎ ‎ （3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.‎ 解析：（1）因为，，所以，‎ 从而与不是无穷互补数列．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 数列的前项的和为 ‎．‎ ‎（3）设的公差为，，则．‎ 由，得或．‎ 若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；‎ 若，则，，．‎ 综上，，．‎ ‎5、（2016年四川高考）已知数列{an}的首项为1， Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+‎ ‎(Ⅰ)若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，‎ 解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等差数列，可得，所以，故.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率.‎ 由解得.所以，‎ ‎6、（2016年天津高考）已知是等比数列，前n项和为，且.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.‎ 解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.‎ ‎（Ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 设数列的前项和为，则 ‎7、（2016年全国I卷高考）已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求的前n项和.‎ 解：（I）由已知，得得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.‎ ‎（II）由（I）和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎8、（2016年全国II卷高考）等差数列{}中，.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ 解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，‎ 当1,2,3时，；‎ 当4,5时，；‎ 当6,7,8时，；‎ 当9,10时，，‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎9、（2016年全国III卷高考）已知各项都为正数的数列满足，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎10、（2016年浙江高考）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.‎ ‎（I）求通项公式；‎ ‎（II）求数列{}的前项和.‎ 解析：（1）由题意得：，则，‎ 又当时，由，‎ 得，‎ 所以，数列的通项公式为.‎ ‎（2）设，，.‎ 当时，由于，故.‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，，‎ 所以，.‎