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1
2015-2017 三角函数高考真题
1、(2015 全国 1 卷 2 题) =( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】原式= = = ,故选 D.
2、(2015 全国 1 卷 8 题)函数 = 的部分图像如图所示,则 的单调递
减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】由五点作图知, ,解得 , ,所以 ,
令 ,解得 < < , ,故单调减区间为
( , ), ,故选 D.
考点:三角函数图像与性质
3、(2015 全国 1 卷 12 题)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值
范围是 .
【答案】( , )
【解析】如图所示,延长 BA,CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合与 E 点时,AB 最长,在△BCE
中 , ∠ B= ∠ C=75° , ∠ E=30° , BC=2 , 由 正 弦 定 理 可 得 , 即
,解得 = ,平移 AD ,当 D 与 C 重合时,AB 最短,此时与 AB
o o o osin 20 cos10 cos160 sin10−
3
2
− 3
2
1
2
− 1
2
o o o osin 20 cos10 cos20 sin10+ osin30 1
2
( )f x cos( )xω ϕ+ ( )f x
1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈
1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈
1 +4 2
5 3+4 2
πω ϕ
πω ϕ
=
=
=ω π = 4
πϕ ( ) cos( )4f x x
ππ= +
2 2 ,4k x k k Z
ππ π π π< + < + ∈ 12 4k − x 32 4k + k Z∈
12 4k − 32 4k + k Z∈
6 2− 6+ 2
sin sin
BC BE
E C
=∠ ∠
o o
2
sin30 sin 75
BE= BE 6+ 2
2
交于 F,在△BCF 中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知, ,
即 , 解 得 BF= , 所 以 AB 的 取 值 范 围 为 ( ,
).
考点:正余弦定理;数形结合思想
4、(2015 全国 2 卷 10 题)如图,长方形 的边 , , 是 的中点,
点 沿着边 , 与 运动,记 .将动 到 、 两点距离之和表示为
的函数 ,则 的图像大致为( )
【 解 析 】 由 已 知 得 , 当 点 在 边 上 运 动 时 , 即 时 ,
;当点 在 边上运动时,即 时,
,当 时, ;当点
在 边上运动时,即 时, ,从点 的运动过
程可以看出,轨迹关于直线 对称,且 ,且轨迹非线型,故选 B.
sin sin
BF BC
FCB BFC
=∠ ∠
o o
2
sin30 sin 75
BF = 6 2− 6 2−
6+ 2
ABCD 2AB = 1BC = O AB
P BC CD DA BOP x∠ = P A B
x ( )f x ( )y f x=
D P C
B OA
x
P BC 0 4x
π≤ ≤
2tan 4 tanPA PB x x+ = + + P CD 3 ,4 4 2x x
π π π≤ ≤ ≠
2 21 1( 1) 1 ( 1) 1tan tanPA PB x x
+ = − + + + +
2x
π= 2 2PA PB+ = P
AD 3
4 x
π π≤ ≤ 2tan 4 tanPA PB x x+ = + − P
2x
π= ( ) ( )4 2f f
π π>
3
考点:函数的图象和性质.
5、(2015 全国 2 卷 17 题) 中, 是 上的点, 平分 , 面积是
面积的 2 倍.
(Ⅰ) 求 ; (Ⅱ)若 , ,求 和 的长.
【 解 析 】(Ⅰ ) , , 因 为
, ,所以 .由正弦定理可得 .
(Ⅱ)因为 ,所以 .在 和 中,由余弦定
理得
, .
.由(Ⅰ)知 ,所以 .
考点:1、三角形面积公式;2、正弦定理和余弦定理.
6、(2016 全国 1 卷 12 题)已知函数 为
的零点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
【答案】B
考点:三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考
查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① 的
单调区间长度是半个周期;②若 的图像关于直线
ABC∆ D BC AD BAC∠ ABD∆
ADC∆
sin
sin
B
C
∠
∠ 1AD = 2
2DC = BD AC
1 sin2ABDS AB AD BAD∆ = ⋅ ∠ 1 sin2ADCS AC AD CAD∆ = ⋅ ∠
2ABD ADCS S∆ ∆= BAD CAD∠ = ∠ 2AB AC= sin 1
sin 2
B AC
C AB
∠ = =∠
: :ABD ADCS S BD DC∆ ∆ = 2BD = ABD∆ ADC∆
2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC+ = + + = 2AB AC= 1AC =
( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x
π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −, ( )f x
4x
π= ( )y f x= ( )f x 5
18 36
π π
, ω
( ) ( )( )sin 0, 0f x A x Aω ϕ ω= + ≠ ≠
( ) ( )( )sin 0, 0f x A x Aω ϕ ω= + ≠ ≠
4
对称,则 或 .
7、(2016 全国 1 卷 17 题) 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
(I)求 C; (II)若 的面积为 ,求 的周长.
试题分析:(I)先利用正弦定理进行边角代换化简得得 ,故 ;(II)根据
.及 得 .再利用余弦定理得 .再根据
可得 的周长为 .
考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,
,就是常用的结论,另外
利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角
化边.”
0x x= ( )0f x A= ( )0f x A= −
ABC∆
2cos ( cos cos ) .C a B+b A c=
7,c ABC= ∆ 3 3
2 ABC
1cosC 2
= C 3
π=
1 3 3sin C2 2ab = C 3
π= 6ab = ( )2 25a b+ =
7c = C∆ΑΒ 5 7+
( ) ( )sin sin ,cos cos ,A B C A B C+ = + = − ( )tan tanA B C+ = −
5
8、(2016 全国 2 卷 7 题)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图
象的对称轴为
(A) (B)
(C) (D)
解析:平移后图像表达式为 ,
令 ,得对称轴方程: ,
故选 B.
9、(2016 全国 2 卷 9 题)若 ,则 =
(A) (B) (C) (D)
【解析】D
∵ , ,
10、(2016 全国 2 卷 13 题) 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若
, , ,则 .
【解析】
∵ , ,
, ,
,
由正弦定理得: 解得 .
11、(2016 全国 3 卷 5 题)若 ,则 ( )
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
π2sin 2 12y x = +
π π2 π +12 2x k + =
( )π π
2 6 Zkx k= + ∈
3cos 4 5
π α − =
2π π 7sin 2 cos 2 2cos 12 4 25
α α α = − = − − =
21
13
4cos 5A = 5cos 13C =
3sin 5A = 12sin 13C =
( ) 63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C= + = + =
sin sin
b a
B A
= 21
13b =
π
12
( )π π
2 6
kx k= − ∈Z ( )π π
2 6
kx k= + ∈Z
( )π π
2 12 Zkx k= − ∈ ( )π π
2 12 Zkx k= + ∈
π 3cos 4 5
α − = sin 2α
7
25
1
5
1
5
− 7
25
−
ABC△
4cos 5A = 5cos 13C = 1a = b =
3tan 4
α = 2cos 2sin 2α α+ =
64
25
48
25
16
25
6
试 题 分 析 : 由 , 得 或 , 所 以
,故选 A.
考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.
【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去
非特殊角,进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联
系.
12、(2016全国3卷8题)在 中, , 边上的高等于 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 : 设 边 上 的 高 线 为 , 则 , 所 以
, . 由 余 弦 定 理 , 知
,故选 C.
考点:余弦定理.
13、(2016 全国 3 卷 14 题)函数 的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.
【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也
经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母
而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.
14、(2017 年全国 1 卷 9 题)
9、已知曲线 , ,则下面结论正确的是()
A.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
3tan 4
α = 3 4sin ,cos5 5
α α= = 3 4sin ,cos5 5
α α= − = −
2 16 12 64cos 2sin 2 425 25 25
α α+ = + × =
ABC△ π
4B = BC 1
3 BC cos A =
3 10
10
10
10
10
10-
3 10
10-
BC AD 3BC AD=
2 2 5AC AD DC AD= + = 2AB AD=
2 2 2 2 2 22 5 9 10cos 2 102 2 5
AB AC BC AD AD ADA AB AC AD AD
+ − + −= = = −⋅ × ×
sin 3 cosy x x= − sin 3 cosy x x= +
3
2π
x
1 : cosC y x= 2
2π: sin 2 3C y x = +
1C 2
π
6 2C
7
B.把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
C.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
D.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
【答案】D
【解析】 ,
首先曲线 、 统一为一三角函数名,可将 用诱导公式处理.
.横坐标变换需将 变成 ,
即
.
注意 的系数,在右平移需将 提到括号外面,这时 平移至 ,
根据“左加右减”原则,“ ”到“ ”需加上 ,即再向左平移 .
15、(2017 年全国 1 卷 17 题)
17、 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 的面积为 .
(1)求 ;
(2)若 , ,求 的周长.
【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.
(1) 面积 .且
由正弦定理得 ,
由 得 .
(2)由(1)得 ,
1C 2
π
12 2C
1C 1
2
π
6 2C
1C 2
π
12 2C
1 : cosC y x= 2
2π: sin 2 3
= + C y x
1C 2C 1 : cosC y x=
π π πcos cos sin2 2 2
= = + − = + y x x x 1=ω 2=ω
1
1
2π π πsin sin 2 sin22 2 4
= + → = + = +
C 上各 坐 短它原
y x y x x点横 标缩 来
2π πsin 2 sin23 3
→ = + = + y x x
ω 2=ω π
4
+x π
3
+x
π
4
+x π
3
+x π
12
π
12
ABC△ A B C a b c ABC△
2
3sin
a
A
sin sinB C
6cos cos 1B C = 3a = ABC△
∵ ABC△
2
3sin
aS A
= 1 sin2S bc A=
∴
2 1 sin3sin 2
a bc AA
=
∴ 2 23 sin2a bc A=
∵ 2 23sin sin sin sin2A B C A=
sin 0A ≠ 2sin sin 3B C =
2sin sin 3B C = 1cos cos 6B C =
∵ πA B C+ + =
8
又
, ,
由余弦定理得 ①
由正弦定理得 ,
②
由①②得
,即 周长为
16、(2017 年全国 2 卷 14 题)
函数 ( )的最大值是 .
【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值,意在考查考生转化与化归思
想和运算求解能力
【解析】∵ ,
∴
设 , ,∴
函数对称轴为 ,∴
17 、( 2017 年 全 国 2 卷 17 题 ) 的 内 角 的 对 边 分 别 为 , 已 知
.
(1)求
(2)若 , 面积为 2,求
【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.
【 试 题 分 析 】 在 第 ( Ⅰ ) 中 , 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 , 将
转化为角 的方程,思维方向有两个:①利用降幂公式化简 ,
结合 求出 ;②利用二倍角公式,化简 ,两边约去
,求得 ,进而求得 .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和
∴ ( ) ( ) 1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C= − − = − + = − =
∵ ( )0 πA∈ ,
∴ 60A = ° 3sin 2A = 1cos 2A =
2 2 2 9a b c bc= + − =
sinsin
ab BA
= ⋅ sinsin
ac CA
= ⋅
∴
2
2 sin sin 8sin
abc B CA
= ⋅ =
33b c+ =
∴ 3 33a b c+ + = + ABC△ 3 33+
( ) 2 3sin 3 cos 4f x x x= + − 0, 2x
π ∈
( ) 2 3sin 3cos 0,4 2f x x x x
π = + − ∈
2 2sin cos 1x x+ =
( ) 2 1cos 3cos 4f x x x= − + +
cost x= [ ]0,1t ∈ ( ) 2 13 4f x t t= − + +
[ ]3 0,12t = ∈ ( )max 1f x =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2sin( ) 8sin 2
BA C+ =
cos B
6a c+ = ABC∆ .b
A C Bπ+ = −
2sin8)sin( 2 BCA =+ B 2sin 2
B
2 2sin cos 1B B+ = cos B 2sin8sin 2 BB =
2sin B
2tan B Bcos
9
面积公式求出 ,从而求出 .
(Ⅰ)
【基本解法 1】
由题设及 ,故
上式两边平方,整理得
解得
【基本解法 2】
由题设及 ,所以 ,又 ,
所以 ,
(Ⅱ)由 ,故
又
由余弦定理及 得
所以 b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角
形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的
边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意 三者的关系,这样的题目
小而活,备受老师和学生的欢迎.
18、(2017全国3卷6题)设函数 ,则下列结论错误的是()
A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线 对
称
C. 的一个零点为 D. 在 单调递减
【答案】D
a c ac+ 、 b
2sin8sin, 2 BBCBA ==++ π
sin 4 -cosBB = (1 )
217cos B-32cosB+15=0
15cosB= cosB 171(舍去), =
2sin8sin, 2 BBCBA ==++ π
2sin82cos2sin2 2 BBB = 02sin ≠B
4
1
2tan =B
17
15
2tan1
2tan1
cos
2
2
=
+
−
=
B
B
B
15 8cosB sin B17 17
== 得 1 4a sin2 17ABCS c B ac∆ = =
17=2 2ABCS ac∆ =,则
a 6c+ =
2 2 2
2
b 2 cos
a 2 (1 cosB)
17 1536 2 (1 )2 17
4
a c ac B
ac
= + −
= − +
= − × × +
=
( +c)
2 2, ,a c ac a c+ +
π( ) cos( )3f x x= +
( )f x 2π− ( )y f x= 8π
3x =
( )f x π+ π
6x = ( )f x π( , π)2
10
【解析】函数 的图象可由 向左平移 个单位得到,
如图可知, 在 上先递减后递增,D选项错误,故选D.
19 、( 2017 全 国 3 卷 17 题 ) 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知
, , .
(1)求c;
(2)设 为 边上一点,且 ,求 的面积.
【解析】(1)由 得 ,
即 ,又 ,
∴ ,得 .
由余弦定理 .又∵ 代入并整理
得 ,故 .
(2)∵ ,
由余弦定理 .
∵ ,即 为直角三角形,
则 ,得 .
由勾股定理 .
又 ,则 ,
.
( ) πcos 3f x x = + cosy x= π
3
( )f x π ,π2
π2
3
π5
3-
π
3 6
π x
y
O
ABC∆
sin 3cos 0A A+ = 2 7a = 2b =
D BC AD AC⊥ ABD△
sin 3cos 0A A+ = π2sin 03A + =
( )π π3A k k+ = ∈Z ( )0,πA∈
π π3A + = 2π
3A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅ 12 7, 2,cos 2a b A= = = −
( )21 25c + = 4c =
2, 2 7, 4AC BC AB= = =
2 2 2 2 7cos 2 7
a b cC ab
+ −= =
AC AD⊥ ACD△
cosAC CD C= ⋅ 7CD =
2 2 3AD CD AC= − =
2π
3A = 2π π π
3 2 6DAB∠ = − =
1 πsin 32 6ABDS AD AB= ⋅ ⋅ =△