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- 2021-05-13 发布
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高考数学应用题归类解析
富源六中 樊加虎
类型一：函数应用题
1.1 以分式函数为载体的函数应用题
例 1. 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为：
（c 为常数， 且 0 03
2
2
3)3
2(3 =⋅−−= xxxy
−
−
=∴
0
)6(2
)29(3 2
x
xx
y
cx
cx
>
≤<0
cx ≤<0 22
2
'
)6(
)9)(3(3))6(
)1)(29()6)(49(
2
3
x
xx
x
xxxxy −
−−=−
−−−−−⋅=
30 ≤< c 0' >y ( ]c,0 )6(2
)29(3,
2
max c
ccycx −
−==∴
63 << c )3,0( ),3( c
C
x ( ) ( 0,20 100
kC x x kx
= ≥+
F
1 0 ,6
2
3
x cxp
x c
< ≤ −=
>
3=x 2
9
max )3( == fy
30 ≤< c 63 << c
（1）试解释 的实际意义, 并建立 关于 的函数关系式；
（2）当 为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？
【解】（1） 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用，
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由 ,得 ，
所以 ；
（2）因为 .
当且仅当 ， 时取等号，所以当 为 55 平方米时, 取得最小值为 59.75
万元.
1.2 以分段函数为载体的函数应用题
例 3. 在等边 中, =6cm，长为 1cm 的线段 两端点 都在边 上，且由点
向点 运动（运动前点 与点 重合）， ,点 在边 或边 上； ,点
在边 或边 上，设 .
（1）若 面积为 ,由 围成的平面图形面积为 ，分别求
出函数 的表达式；
（2）若四边形 为矩形时 ，求当 时, 设 ，求函数 的取值范
围 .
解：（1）① 当 时，F 在边 AC 上， ， ；
当 时，F 在边 BC 上， ,
，
② 当 时，F、G 都在边 AC 上， ，
；
(0)C F x
x F
(0)C
(0) 24100
kC = = 2400k =
2400 180015 0.5 0.5 , 020 100 5F x x xx x
= × + = + ≥+ +
1800 0.5( 5) 0.25 2 1800 0.5 0.25 59.755F xx
= + + − ≥ × − =+
1800 0.5( 5)5 xx
= ++ 55x = x F
ABC∆ AB DE ,D E AB
A B D A FD AB⊥ F AC BC GE AB⊥ G
AC BC AD xcm=
ADF∆ 1 ( )S f x= , , ,DE EG GF FD 2 ( )S g x=
( ), ( )f x g x
DEGF 0x x= 0x x≥ ( )( ) ( )
f xF x g x
= ( )F x
0 3x< ≤ 0tan 60 3FD x x= = 23( ) 2f x x∴ =
3 5x< ≤ 0(6 ) tan 60 3(6 )FD x x= − = −
3( ) (6 )2f x x x∴ = −
23 ,0 32( )
3 (6 ),3 52
x x
f x
x x x
< ≤∴ =
− < ≤
0 2x< ≤ 0tan 60 3FD x x= =
3( 1)EG x= + 3 3( 1) 3( ) 1 32 2
x xg x x
+ +∴ = ⋅ = +
当 时，F 在边 AC 上，G 在边 BC 上, , ；
当 时，F、G 都在边 BC 上, ,
.
（2） ① 当 时，
② 当 时，
例 4. 如图，长方体物体 在雨中沿面 （面积为 ）的垂直方向作匀速移动，速度为 v
（v＞0），
雨速沿 移动方向的分速度为 ， 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）
或 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 ×S 成正比，比例系数为 1；
（2）其他面的淋雨量之和，其值为 . 记 为 移动过程中的总淋雨量，当移动距离
，面积 S= .
（1）写出 的表达式；
（2）设 0＜v≤10,0＜c≤5，试根据 的不同取值范围，确定移动速度 ，使总淋雨量 最少.
2 3x< ≤ 3FD x= 3(5 )EG x= − 5 3( ) 2g x∴ =
3 5x< ≤ 3(6 )FD x= − 3(5 )EG x= − 11( ) 3 32g x x∴ = − +
33 ,0 22
5 3( ) ,2 32
113 3,3 52
x x
g x x
x x
+ < ≤
∴ = < ≤
− + < ≤
0
5
2x = 5 32 x≤ ≤
2 5 9( ) , ( )5 4 5
xF x F x= ∴ ≤ ≤
3 5x≤ ≤ ( )
2 2
'
2
6 5 33( ) , ( ) 4 02 11 2 11
x x x xF x F xx x
− − += = >− −
5 18( ) ,5 ,104 5F x ∴ ∪ 的取值范围为
E P S
E ( )c c R∈ E P
P v c−
1
2 y E
100=d 2
3=S 3
2
y
c v y
1.3 以二次函数为载体的函数应用题
例 5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道 ABC 是一
段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上
E 处，飞行的轨迹是一段抛物线 CDE（抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内），D 为这段
抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系， 轴在地
面上，助跑道一端点 A(0，4)，另一端点 C(3，1)，点 B(2，0)，单位：米．
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线，为使运动员安全
和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间（包括 4 米和 6 米），试求运动员
飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离，即这
两点横坐标差的绝对值．）
【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为 ，
依题意： 解得， ， ， ，
∴助跑道所在的抛物线方程为 ．
（2）设飞行轨迹所在抛物线为 （ ），
依题意： 得 解得
x
2
4
y
O x
E
D
C
B
A
2
0 0 0( )f x a x b x c= + +
0
0 0 0
0 0 0
4,
4 2 0,
9 3 1,
c
a b c
a b c
=
+ + =
+ + =
0 1a = 0 4b = − 0 4c =
2( ) 4 4f x x x= − +
2( )g x ax bx c= + + 0a <
(3) (3),
'(3) '(3),
f g
f g
=
=
9 3 1,
6 2,
a b c
a b
+ + =
+ =
2 6 ,
9 5,
b a
c a
= −
= −
∴ ，
令 得， ，∵ ，∴ ，
当 时， 有最大值为 ，则运动员的飞行距离 ，
飞行过程中距离平台最大高度 ，依题意， ，得 ，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间．
例 6. 某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元．为了增加企业竞争力，
决定优化产业结构，调整出 x (x∈ )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利
润为 万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调
整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总
利润，则 a 的取值范围是多少？
【解】（1）由题意，得 10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即 －500x≤0，又 x＞0，所以 0＜
x≤500．即最多调整 500 名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，从事原来产业的员工的
年总利润为 万元，则 ≤ ，所以 ax－
≤1000＋2x－x－ ，所以 ax≤ ＋1000＋x，即 a≤ ＋ ＋1 恒成立．
因为 ＋ ≥ ＝4，当且仅当 ＝ ，即 x＝500 时等号成立，所以 a≤5，
又
a＞0，所以 0＜a≤5．所以 a 的取值范围为(0， ．
类型二：三角测量应用题
2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题
2 23 1 1( ) (2 6 ) 9 5 ( ) 1ag x ax a x a a x a a
−= + − + − = − + −
( ) 1g x = 2
2
3 1 1( )ax a a
−− = 0a < 3 1 1 23ax a a a
−= − = −
3 1ax a
−= ( )g x 11 a
− 2 23 3d a a
= − − = −
1 11 1h a a
= − − = − 24 6a
≤ − ≤ 12 3a
≤ − ≤
∗N
310 500
xa −
2x
310 500
xa x −
110(1000 ) 1 500x x − +
310 500
xa x −
110(1000 ) 1 500x x − +
23
500
x
21
500 x
22
500
x 2
500
x 1000
x
2
500
x 1000
x
2 10002 500
x
x
⋅ 2
500
x 1000
x
5]
例 7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮 的半径为 （ 为常数），小飞轮 的
半径为 ，
.在大飞轮的边缘上有两个点 ， ， 满足 ，在小飞轮的边缘上有点
．设大飞轮逆时针 旋转一圈，传动开始
时，点 ， 在水平直线 上．m]
（1）求点 到达最高点时 ， 间的距离；
（2）求点 ， 在传动过程中高度差的最
大值.
【解】（1）以 为坐标系的原点， 所在直线为 轴，如图所示建立直角坐标系．当点 A
到 达 最 高 点 时 ， 点 A 绕 O1 转 过 ， 则 点 C 绕 O2 转 过 ． 此 时 A （ 0 ， 2r ），
C ．
∴ ．
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为 θ，则小飞轮转过的角度为 2θ，其中 ．
此时 B（2r ，2r ），C（4r + r ，r ）．
记点 高度差为 ，则 ．
即 ． 设 ， ， 则
．
令 ，得 或 1．则 ， ，0 或 2π．
列表：
0 2π
1O r2 r 2O
r
rOO 421 = A B 31
π=∠ ABO
C
B C 21OO
A A C
B C
1O 1 2O O x
π
6
π
3
9 3( , )2 2r r
2 29 3( ) (2 ) 25 2 32 2AC r r r r= + − = −
[0,2π]θ ∈
cosθ sinθ cos2θ sin 2θ
,B C d | 2 sin sin 2 |d r rθ θ= −
2 | sin sin cos |d r θ θ θ= − ( ) sin sin cosf θ θ θ θ= − [0,2π]θ ∈
( ) (1 cos )(2cos 1)f θ θ θ′ = − +
( ) (1 cos )(2cos 1) 0f θ θ θ′ = − + = 1cos 2
θ = − 2 π3
θ = 4 π3
θ
2(0, π)3 2 π3
2 4( π, π)3 3 4 π3
4( π,2π)3
A
O
Z
O
Z
C
Z
B
Z
1 2
．
．
．
．
．
x
y
+ 0 − 0 +
0 极大值 f( ) 极小值 f( ) 0
∴当 θ = 时，f(θ)取得极大值为 ；当 θ = 时，f(θ)取得极小值为 ．
答：点 B，C 在传动中高度差的最大值 ．
2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题
例 8. 如图，摩天轮的半径为 ，点 距地面的高度为 ，摩天轮做匀速转动，每
转一圈，摩天轮上的点 的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻 时点 距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 距离地面超过 ？
（3）求证：不论 为何值， 是定值.
2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例 9 不含分式结构的解三角形问题；例 10 和例 11
含有分式结
构的解三角形问题，方法略有不同）
例 9. 在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直，灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，
且
，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，
路宽 米，设灯柱高 （米），
（ ）.
（1）求灯柱的高 （用 表示）；
（2）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料
长度和为 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最
( )f θ′
( )f θ 2 π3
4 π3
2 π3
3 3
4
4 π3
3 3
4
−
max
3 3
2d r=
m40 O m50 min3
P
(min)t P
P m70
t )2()1()( ++++ tftftf
AB BC AB
120ABC∠ = C 60ACD∠ =
24AD = AB h= ACB θ∠ =
30 45θ≤ ≤
h θ
BC AB
S S θ S
C
B
A D
小值．
例 10. 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转α (0＜α＜π
2)得到正方形
A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE＝α；
②对任意α (0＜α＜π
2)，△EAL，△EA′F，△GBF，
△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L 均是全等三角形．
（1）设 A′E＝x，将 x 表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面
积．
【解】（1）在 Rt△EA′F 中，因为∠A′FE＝α，A′E＝x，
所以 EF＝ x
sinα，A′F＝ x
tanα ．
由题意 AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝ x
tanα，
所以 AB＝AE＋EF＋BF＝x＋ x
sinα＋ x
tanα＝3．
所以 x＝ 3sinα
1＋sinα＋cosα，α∈(0，π
2)
（ 2 ） S△A′EF ＝ 1
2•A′E•A′F ＝ 1
2•x• x
tanα＝ x2
2tanα＝ ( 3sinα
1＋sinα＋cosα)2• cosα
2sinα＝
9sinαcosα
2(1＋sinα＋cosα)2
．
令 t＝sinα＋cosα，则 sinαcosα＝t2－1
2
．
因为α∈(0，π
2)，所以α＋π
4
∈(π
4
，3π
4 )，所以 t＝ 2sin(α＋π
4)∈(1， 2]．
S△A′EF＝9(t2－1)
4(1＋t)2
＝9
4(1－ 2
t＋1)≤9
4(1－ 2
＋1)．
正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积
L
K
J I
H
G
FE
C'
D'
A'
B'
O
A
D
B
C
L
K
J I
H
G
FE
C'
D'
A'
B'
O
A
D
B
C
S＝S 正方形 A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－ 2
＋1)＝18( 2－1)．
当 t＝ 2，即α＝π
4
时等号成立．
例 11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD， m， m，现用
钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定
在地面的 F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则 BE 多长时钢丝绳最短？
（2）如图（2）设两根钢管相距 m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固
定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在 D 处、B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图
中虚线所示）．则 BE 多长时钢丝绳最短？
【解】（1）设钢丝绳长为 ym， ，则
（其中 ， ），
当 时，即 时，
（2）设钢丝绳长为 ym， ，则
（其中 ， ）………9 分
令 得 ，当 时，即 时 ………12 分
例 12. 海岸线 ， 现用长为 的拦网围成一养殖场，其中 ．
（1）若 , 求养殖场面积最大值；
10 3AB = 3 3CD =
3 3
A
E
D
C
BF
A
E
D
C
BF
图 1 图 2
CFD θ∠ =
3 3 1 3 3 1tan
cos sin cosy θ
θ θ θ
+
= = + 00 2
πθ θ< < < 0tan 7θ =
2 2
3 3cos sin
sin cos
y θ θ
θ θ
−′ = +
tan 3θ = 34=BE min 8y =
CFD θ∠ =
( )3 3 3 3 1 cos sinsin cosy θ θθ θ
= + + + 00 θ θ< < 0
12 3 3 3tan 3
3 3
θ −= =
( ) ( )2 2
3 3 3 3cos sin3 3 1 sin cos cos sinsin cossin cos
y θ θ θ θ θ θθ θθ θ
−′ = + + + + + −
0y′ = sin cosθ θ= π
4
θ = 36=BE ( )min 6 3 2 2y = +
MAN 2 ,A θ∠ = l ,B MA C NA∈ ∈
BC l=
（2）若 、 为定点， ，在折线 内选点 ，使 ，求四边形养殖场
DBAC 的最大面积；
（3）若(2)中 B、C 可选择，求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值.
【解】（1）设 ，
， ，
所以，△ 面积的最大值为 ，当且仅当 时取到．
（2）设 为定值)． (定值) ，[由 ，a =1
2l，知点 在
以 、 为焦点的椭圆上， 为定值．只需 面积最大,需此时点 到
的 距 离 最 大 , 即 必 为 椭 圆 短 轴 顶 点 ． 面 积 的 最 大 值 为
，
因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 ．
（3）先确定点 B、C，使 . 由(2)知 为等腰三角形时，四边形 ACDB 面积最大.确
定△BCD 的形状，使 B、C 分别在 AM、AN 上滑动，且 BC 保持定值，由(1)知 AB=AC 时四
边 形 ACDB 面 积 最 大 . △ACD≌△ABD ， ∠CAD=∠BAD=θ ， 且 CD=BD= .[ 来 S=
.
由(1)的同样方法知，AD=AC 时，三角形 ACD 面积最大，最大值为 .
, , 0, 0.AB x AC y x y= = > > 2 2 2 2 cos2 2 2 cos2l x y xy xy xyθ θ= + − ≥ −
2 2
22 2cos2 4sin
l lxy θ θ≤ =−
2 2
2
1 1 cossin 2 2sin cos2 2 4sin 4sin
l lS xy
θθ θ θθ θ= ≤ ⋅ ⋅ =
ABC
2 cos
4sin
l θ
θ x y=
, (AB m AC n m n= = ， 2BC c= 2DB DC l a+ = = D
B C 1 sin22ABCS mn θ∆ = DBC∆ D BC
D
2
2 2 2 ,4 BCD
lb a c c S∆= − = −
2
21 22 4
lc b c c⋅ ⋅ = ⋅ −
2
21 sin 22 4
lm n c cθ⋅ ⋅ + ⋅ −
BC l< DBC∆
2
l
θsin2
122 ⋅⋅⋅⋅=∆ ADACS ACD
2tan
4
22
1
θ
l
l ⋅⋅
B C BC l< MBCN D BD DC l+ =
所以，四边形 ACDB 面积最大值为 .
2.4 以立体几何为载体的三角应用题
例 13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆
柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 ．假设该容器
的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每
平方米建造费用为 千元，设该容器的建造费用 为
千元．
（1）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义 域；
（2）求该容器的建造费用最小时的 ．
【解】（I）设容器的容积为 V，
由题意知 故
由于 ，因此 所以建造费用
因此
（2）由（1）得
由于 当
令 ，所以
（1）当 时，易得 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。
（2）当 即 时，当 函数单调递减，
所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 时，建造费用最小时
当 时，建造费用最小时
2tan8
2
θ
l
80
3
π
2l r≥
( 3)c c＞ y
y r
r
2 34 80, ,3 3V r l r V
ππ π= + =又
3
2 2 2
4
80 4 4 203 ( )3 3 3
V r
l r rr r r
π
π
−
= = − = −
2l r≥ 0 2.r< ≤ 2 2
2
4 202 3 4 2 ( ) 3 4 ,3y rl r c r r r cr
π π π π= × + = × − × +
2 1604 ( 2) ,0 2.y c r rr
ππ= − + < ≤
3
2 2
160 8 ( 2) 20' 8 ( 2) ( ),0 2.2
cy c r r rr r c
π ππ −= − − = − < <−
3, 2 0,c c> − >所以 3 320 200 , .2 2r rc c
− = =− −时
3 20 ,2 mc
=− 则 0m > 2 2
2
8 ( 2)' ( )( ).cy r m r rm mr
π −= − + +
90 2 2m c< < >即 r m=
2m ≥ 93 2c< ≤ (0,2) , ' 0,r y∈ <时
93 2c< ≤ 2;r =
9
2c > 3 20 .2r c
= −
例 14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为 ，半径为 R（米）的球形
灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托 所在圆的
圆心都是 、半径都是 R（米）、圆弧的圆心角都是 θ（弧度）；灯杆 EF 垂直于地面，杆顶 E
到地面的距离为 h（米），且 ；灯脚 FA1，FB1，FC1，FD1 是正四棱锥 F − A1B1C1D1 的四
条侧棱，正方形 A1B1C1D1 的外接圆半径为 R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 θ
（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米 （元），灯托造价是每米 （元），其中 都为常
数．设该灯架的总造价为 （元）．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）当 取何值时， 取得最小值？
【解】（1）延长 与地面交于 ，由题意： ，且
， 从而 ， ，
. ，
（2）设 ，
令 . .
当 时， ； 时， ，
设 ，其中 ，∴ .
， 时， 最小.
答：当 时，灯架造价取得最小值.
例 15. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总
高度和圆柱底面半径相等，都为 米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米 元，圆锥侧面
用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所
成角为 （弧度），总费用为 （元）.
（1）写出 的取值范围；
（2）将 表示成 的函数关系式；
r a
θ y
θ
y θ
O
EDECEBEA ,,,
O
h R>
a 3
a , ,R h a
y
y θ
θ y
EF 1O 1 1A FO θ∠ =
1 tan
RFO θ=
tan
REF h θ= − 1 sin
RA F θ=
44 ( )3 tan sin
a R Ry R h aθ θ θ= + − + 4 4 cos( )3 siny Ra ha
θ θ
θ
−= + +
4 4 cos( ) 3 sinf
θ θθ θ
−= +
2
2
4sin 3 12cos( ) 3sinf
θ θθ θ
+ −′ = 2
(1 2cos )(7 2cos )= 03sin
θ θ
θ
− + =
3
πθ∴ =
(0, )3
πθ ∈ ' 0y < ( , )3 2
π πθ ∈ ' 0y >
0 , )2
πθ θ∈（ 0tan 1R
h
θ = < 0 4
πθ <
0, )3 2
π πθ∴ ∈（
3
πθ∴ = y
3
πθ =
O
A
B
C D
E
F
A1
D C
B
1 1
1
（3）当 为何值时，总费用 最小?
【解】设圆锥的高为 米，母线长为 米,圆柱的高为 米；圆柱的侧面用料单价为每平方米 2
元，圆锥的侧面用料单价为每平方米 4 元.
（1）
（2）圆锥的侧面用料费用为 ,圆柱的侧面费用为 ,圆柱的地面费用为 ,
则
= = , =
= .
（3）设 ,其中 则 ，
当 时，
当 时， 当 时，
则当 时， 取得最小值，则当 时，费用 最小.
2.5 以追击问题为载体的三角应用题
例 16. 如图， 是沿太湖南北方向道路, 为太湖中观光岛屿, 为停车场，
km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场 Q,已知游船以 km/h 的速度沿方位角 的方
向行驶， ．游船离开观光岛屿 3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲
为了及时赶到停车地点 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道 M 处，然后乘出
租汽车到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角
是 ，出租汽车的速度为 66km/h．
（1）设 ，问小船的速度为多少 km/h 时，游客甲才能
和游船同时到达点 Q；
（2）设小船速度为 10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方
θ y
1h l 2h
a a
(0, ).4
πθ ∈
4a rlπ 22a rhπ 22a rπ
2
24 2 2y a rl a rh a rπ π π= + +
22 (2 )a r l h rπ + + 1
22 [ 2( ) ]cos
ra r r h rπ θ + − + 22 [ 2( tan ) ]cos
ra r r r rπ θθ + − +
2 22 [( tan ) 3]cosa rπ θθ − +
2( ) tancosf θ θθ= − (0, ).4
πθ ∈ 2
2sin 1( ) cosf
θθ θ
−′ =
6
πθ = 2
2sin 1( ) 0;cosf
θθ θ
−′ = =
(0, )6
πθ ∈ 2
2sin 1( ) 0;cosf
θθ θ
−′ = < ( , )6 4
π πθ ∈ 2
2sin 1( ) 0;cosf
θθ θ
−′ = >
6
πθ = ( )f θ
6
πθ = y
AB P Q 5.2PQ =
13 θ
13
5sin =θ
Q
α
5
4sin =α
位角 ，当角 余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达 ．
【解】(1) 如图，作 , 为垂足． ， ，
在 △ 中， (km), = (km)．
在 △ 中， (km)
设游船从 P 到 Q 所用时间为 h，游客甲从 经 到 所用时间为 h，小船的速度为
km/h，则 (h), （h）．
由已知得： ， ，∴ ．
∴小船的速度为 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达 ．
（2）在 △ 中， (km), (km)．
∴ (km) ． ∴ ＝
．
∵ ,
∴令 得： ．当 时， ；当 时， ．
∵ 在 上是减函数，
∴当方位角 满足 时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达 ．
例 17. 已知岛 南偏东 方向，距岛 海里的 处有一缉私艇，一艘走私船正从
处以 海
里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以 海里每小时的航速匀速行
驶，经过 小时截住该走私船.
（1）为保证缉私艇在 30 分钟内（含 30 分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小
值；
（2）是否存在 ，使得缉私艇以 海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向
截住该走私船？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由.
α α Q
PN AB⊥ N
13
5sin =θ 4sin 5
=a
Rt PNQ θsinPQPN = 55.2 213
= × = θcosPQQN = 125.2 4.813
× =
Rt PNM 2 1.54tan
3
PNMN
a
= = =
1t P M Q 2t 1v
1
26
25
13 13 5
PQt = = = 2
1 1 1
2.5 3.3 5 1
66 66 2 20
PM MQt v v v
= + = + = +
2 1
1
20t t+ =
1
5 1 1 2
2 20 20 5v
+ + = 1
25
3v =
25
3 Q
Rt PMN 2
sin sin
PNPM = =
a a
2cos
tan sin
PNMN = = a
a a
2cos4.8 sinQM QN MN= − = − a
a
1 4 cos
10 66 5sin 55 33sin
PM QMt a
a a
= + = + −
1 33 5cos 4
165 sin 55
a
a
−× +
2
2 2
1 5sin (33 5cos )cos 5 33cos
165 sin 165sint a a a a
a a
− − −′ = × =
0t′ = 5cos 33a = 5cos 33a < 0t′ > 5cos 33a > 0t′ <
cosa )2,0(
πα ∈
a
5cos 33a = Q
A 30 A 20 B A
30
v
t
v v
v
【解】（1）最小速度为 海里每小时；（2）
2.6 以米勒问题为载体的三角应用题
例 18. 如图，有一壁画，最高点 处离地面 ，最低点 处离地面 .若从离地高
的 处观赏它，则离墙多远时，视角 最大？
例 19. 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC
的高度 h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）该小组已经测得一组 α、β 的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出 H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使
α 与 β 之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，α-β
最大？
类型三：数列应用题
例 20. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在
一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)，并使剩余的圆钢尽可
能地少,则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层，
1310 ( )30,315∈v
A m4 B m2 m5.1
C θ
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选择
哪个方案，最能节省堆放场地？
【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放 层,则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1
为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于 根，从而由 且 得，当
时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了 56 根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放 层,则从上到下每层圆钢根数是以 为首项、1
为公差的等差数列，从而 ，即 ，因
与 的奇偶性不同，所以 与 的奇偶性也不同，且 ，从而由上述等
式得：
或 或 或 ，共有 4 种方案可供选
择.
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若 ，则
，说明最上层有 29 根圆钢，最下层有 69 根圆钢，此时如图所示，两腰之长为 400 cm，
上下底之长为 280 cm 和 680cm，从而梯形之高为 cm，
而 ，所以符合条件；
若 ，则 ，说明最上层有 17 根圆钢，最下层有 65 根圆钢，此时如图所示，两腰
之长为 480 cm，上下底之长为 160 cm 和 640cm，从而梯形之高为 cm，显然大于 4m，
不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放 41 层这个方案，最能节省堆放场地.高考
例 21. 某啤酒厂为适应市场需要，2011 年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，
2011 年啤酒生产量为 16000 吨，葡萄酒生产量 1000 吨．该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生
产量比上一年减少 50%，葡萄酒生产量比上一年增加 100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从 2011 年起（包括 2011 年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒
n
n
≤+
<+−
20092
)1(
2
)1(2009
nn
nnn
*Nn ∈
62=n
n x
2009)1(2
1 =−+ nnnx 4177220092)12( ×××=×=−+ nxn
1−n n 12 −+ nx n 12 −+< nxn
=−+
=
57412
7
nx
n
=−+
=
28712
14
nx
n
=−+
=
9812
41
nx
n
=−+
=
8212
49
nx
n
41=n
29=x
3200
40010103200 <++
49=n 17=x
3240
生产总量之和的 ？（生产总量是指各年年产量之和）
【解】设从 2011 年起，该车第 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 吨和 吨，经过 年后啤
酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为 吨和 吨．
（1）设第 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为 吨，根据题意，得
= ， = ，（ ），
则 = + = ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为 吨．
（2）依题意， ，得 ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．
答：从第 6 年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之
和的 ．
类型四：线性规划应用题
例 22. 某公司计划 2010 年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过 300 分钟的广告，广
告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和 200 元/分钟，规
定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2
万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收
益是多少万元？
【解】设公司在甲电视台和乙电视台做 广告的时间分
别为 分钟和 分钟，总收益为 元，
500
2
3
n na nb n
nA nB
n nD
116000(1 50%)n
na −= − 32000
2n
11000(1 100%)n
nb −= + 500 2n× *n N∈
n n nD a b= + 32000
2n 500 2n× 64500( 2 )2
n
n
+ 64500 2 2 80002
n
n
≥ × × =
64 22
n
n
= 3n =
2013 8000
2
3
n
n n
B
A B
≥+ 2n nB A≥
116000[1 ( ) ] 2 12 320001 21 2
n
n
n nA
− −= = ⋅
−
1000[1 2 ] 1000(2 1)1 2
n
n
nB
−= = −−
1000(2 1)n − ≥ 2 132000 22
n
n
−⋅ × 2 1 0n − > 62 64 2n ≥ = 6n ≥
2
3
x y z
由题意得 ，
即 ，
目标函数为 ，
作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域．
如图，作直线 ，即 ．平移直线 ，从图中可知，当直线 过
点时，目标函数 取得最大值．联立方程 解得 ． 点 的坐标
为 ．
（元）．
答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最
大收益是 70 万元．
类型五：解析几何应用题
例 23. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中 是过抛物线
焦点 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为 ，通径长为 4．记 ， 为锐
角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）
（1）用 表示 的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积 关于 的
函数关系式，并设计 的大小，使“蝴蝶形图案”
的面积最小．
【解】（1）由抛物线的定义知， ，解得 ， ．
（2）据（1）同理可得 ，
， ．
:3000 2000 0l x y+ = 3 2 0x y+ = l l M
300
5 2 900.
x y
x y
+ =
+ =
，
100 200x y= =， ∴ M
(100 200)，
max 3000 2000 700000z x y∴ = + =
300
500 200 90000
0, 0
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
≥ ≥
300
5 2 900
0, 0
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
≥ ≥
3000 2000z x y= +
z
,AC BD
F EF EFA α∠ = α
α AF
S α
α
cos 2AF AF α= ⋅ + 2
1 cosAF α= −
π0, 2
α ∈
2 2
π 1 sin1 cos 2
BF αα
= = + − +
( )
2 2
1 cos π 1 cosCF α α= =− + +
2 2
3π 1 sin1 cos 2
DF αα
= = − − +
E
FB C
A D
α
所以“蝴蝶形图案”的面积
， 即 ， ．
令 ，则 ，所以当 ，即 时， 的最小值为 8．
答：当 时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小．
例 24. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧
道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？
（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为 ）
【解】（1）如图建立直角坐标系，则点 ，椭圆方程为 .
将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 此时 .因此隧道的拱宽
约为 33.3 米.
（ 2 ） 由 椭 圆 方 程 ， 得 因 为 即 且
所 以 当 取 最 小 值 时 ， 有 得
此时
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时，土方工程量最小.
例 25. 如图所示，有两条道路 与 ， ，现要铺设三条下水管道 ，
1 2 2 1 2 2
2 1 cos 1 sin 2 1 cos 1 sinS α α α α= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− + + −
( )
2 2
4 1 sin cos
sin cosS
α α
α α
−= π0, 2
α ∈
1
sin cost α α= ( ) [ )24 , 2,S t t t= − ∈ +∞ 2t = π
4
α = S
π
4
α =
lhS 4
π=
(11,4.5)P 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
44 7 ,7a = 88 72 33.37l a= = ≈
12
2
2
2
=+
b
y
a
x .15.411
2
2
2
2
=+
ba
2 2
2 2
11 4.5 2 11 4.5
a b ab
× ×+ ≥ 99,ab ≥
2 , ,l a h b= = 99 .4 2 2
abS lh
π π π= = ≥ S
2 2
2 2
11 4.5 1 ,2a b
= =
9 211 2, 2a b= = 2 22 2 31.1, 6.4l a h b= = ≈ = ≈
OM ON 060MON∠ = OA
， （其中 ， 分别在 ， 上），若下水管道的总长度为 ，设 ，
．
（1）求 关于 的函数表达式，并指出 的取值范
围；
（2）已知点 处有一个污水总管的接口，点 到
的 距 离 为 ，到 点 的 距 离 为
，问下水管道 能否经过污水总管的接口
点 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
（2014 年高考江苏卷 第 18 题）
如图,为了保护河上古桥 ,规划建一座新桥 BC,同
时设立
一个圆形保护区.规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂直;
保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的
圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少
于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点
C 位 于 点 O 正 东 方 向 170m 处 (OC 为 河 岸 ),
.
（1）求新桥 BC 的长；
（2）当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
【解法探究】
（1）解法 1：（两角差的正切）连结 ，由题意知 ，则由两角差的正切公式
可得： ，故
答：新桥 的长度为 m.
OB AB A B OM ON 3km ( )OA a km=
( )OB b km=
b a a
P P
OM PH 3
4 km O PO
7
4 km AB
P a
OA
3
4tan =∠BCO
AC 6tan 17ACO∠ =
2tan tan( ) 3ACB BCO ACO∠ = ∠ − ∠ = cos 150BC ACB AC m= ∠ ⋅ =
BC 150
B
A
b
O
P
a M
N
H
170
m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
解法 2：（解析法）由题意可知 ；由 可知直线 的斜率 ，
则直线 所在直线的方程为 ；又由 可知， 所在的直线方程为
；联立方程组 ，解得 ；
即点 ，那么 . 答：新桥 的长度为 m.
解法 3：（初中解法）延长 交 所在直线 于点 ，
由 可得 ， ， ，
，故
，在 中，由
勾股定理得 ，故
答：新桥 的长度为 m.
（2）解法 1：（解析法） 由题意设 ，圆 的方程为 ，且
由题意可知 . 又古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于
80m，那么 ，解得 ；由函数 为区间 上的减函数，
故当 时，半径取到最大值为 .
综上可知，当 时，圆形保护区的面积最大，且
最大值为 .
解法 2：（初中解法）设 与圆切于点 ，连接
，过点 作 交 于点 .
设 ，则 ，由古桥两端 O 和 A 到该圆上
(0,60), (170,0)A B 3
4tan =∠BCO BC 4
3k = −
BC 4 ( 170)3y x= − − AB BC⊥ AB
3 604y x= +
4 ( 170)3
3 604
y x
y x
= − −
= +
80, 120x y= =
(80,120)B 2 2(80 170) 120 150BC = − + = BC 150
CB OA G
3
4tan =∠BCO 680
3OG = 850
3CG = 500
3AG =
4cos sin 5CGO GCO∠ = ∠ =
400cos 3BG CGO AG= ∠ ⋅ = OCG∆
850
3CG = 150BC m=
BC 150
(0, )M a (0 60)a≤ ≤ M 2 2 2( )x y a r+ − =
2
680
680 33
541 ( )3
a ar
− −= =
+ −
80
(60 ) 80
r a
r a
− ≥
− − ≥ 10 35a≤ ≤ 680 3
5
ar
−= [10,35]
10a = 130
10OM m=
16900π
BC N
MN A / /AH BC MN H
OM a= 60AM a= −
任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 80 m ， 那 么 ， 解 得 . 由
，可得 ，由（1 ）解法 3 可得 ，所以
，故 即圆的半径的最大值为 130，当且仅当 时取
得半径的最大值. 综上可知，当 时，圆形保护区的面积最大.
80
(60 ) 80
r a
r a
− ≥
− − ≥ 10 35a≤ ≤
4tan tan 3AMH OCN∠ = ∠ = 3 (60 )5MH a= − 100AB =
3 3100 (60 ) 1365 5MN x x= + − = − + MN 10a =
10OM m=
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