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- 2021-05-13 发布
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2007年-2010年新课标高考数学(理科)试题分类精编
第16部分-抛物线
一. 选择题
1.(2010年陕西理8).已知抛物线的准线与圆相切,则的值为 【 】
【答案】C【解析】由题设知,直线与圆相切,从而.故选.
2.(2010年福建理2)以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为,故所求圆的方程为,即,选D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。
3.( 2010年辽宁理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B【解析】抛物线的焦点F(2,0),直线AF的方程为,所以点、,从而|PF|=6+2=8
4.(2009年天津理9)设抛物线=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,=2,则BCF与ACF的面积之比=
(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系,和综合运算数学的能力,中档题。
解析:由题知,
又
由A、B、M三点共线有即,故,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴,故选择A。
5.(2008年海南理11)已知点P在抛物线上,那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A. B. C. D.
解:点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离,如图
,故最小值在三点共线时取得,
此时的纵坐标都是,所以选A。(点坐标为)
6.(2007年海南理6)已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且, 则有( )
A. B.
C. D.
【答案】:C【分析】:由抛物线定义,即:
二.填空题
1.(2010年湖南理14)过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点,在轴上的正射影分别为.若梯形的面积为,则 .
【答案】2
2.(2010年浙江理13)设抛物线的焦点为,点.若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为_____________。
解析:利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为,B点坐标为()所以点B到抛物线准线的距离为,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易题
3.(2010年上海理3) 动点到点的距离与它到直线的距离相等,则的轨迹方程为 。
解析:考查抛物线定义及标准方程
定义知的轨迹是以为焦点的抛物线,p=2所以其方程为y2=8x
4.(2009年海南理13)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。若AB的中点为(2,2),则直线的方程为_____________.
答案:y=x解析:抛物线的方程为 ,
5.(2009年福建理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】:2解析:由题意可知过焦点的直线方程为,联立有,又。
6.(2007年山东理13)设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为________.
【答案】: 【分析】:过A 作轴于D,令,则,,。
7.(2007年广东理11)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1)。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点,则该抛物线的准线方程是______;
答案:;解析:OA的垂直平分线的方程是y-,令y=0得到x=;
三.解答题
1.(2009年江苏22)(本题满分10分)
在平面直角坐标系
中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为,求关于的表达式。
[解析] 本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。满分10分。
2.(2009年广东理19)(本小题满分14分)
已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.
(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.
xA
xB
D
解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则
,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
(2)曲线,即圆:,其圆心坐标为,半径由图可知,当时,曲线与点有公共点;当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.
3.(2008年山东理22)(本小题满分14分)
如图,设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.
(Ⅰ)求证:三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上,其中,点满足(为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.
y
x
B
A
O
M
解:(Ⅰ)证明:由题意设.
由得,得,
所以,.
因此直线的方程为,直线的方程为.
所以,①.②
由①、②得,因此,即.
所以三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当时,将其代入①、②并整理得:
,,所以是方程的两根,
因此,,又,所以.
由弦长公式得.
又,所以或,因此所求抛物线方程为或.
(Ⅲ)解:设,由题意得,
则的中点坐标为,设直线的方程为,
由点在直线上,并注意到点也在直线上,代入得.
若在抛物线上,则,因此或.
即或.
(1)当时,则,此时,点适合题意.
(2)当,对于,此时,,
又,,所以,
即,矛盾.
对于,因为,此时直线平行于轴, 又,
所以直线与直线不垂直,与题设矛盾,所以时,不存在符合题意的点.
综上所述,仅存在一点适合题意.
4.(2008年上海理200(3’+5’+8’)
设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是
直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点
⑴ 若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标
⑵ 若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y2=1上,p=,求证:点Q落在双曲线4x2-4y2=1上
⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由
【解析】(1)当时,
解方程组 得 即点的坐标为 ……3分
(2)【证明】由方程组 得 即点的坐标为 …5分
时椭圆上的点,即 ,
因此点落在双曲线上 ……8分
(3)设所在的抛物线方程为 ……10分
将代入方程,得,即 ……12分
当时,,此时点的轨迹落在抛物线上;
当时, ,此时点的轨迹落在圆上;
当时,,此时点的轨迹落在椭圆上;
当时,此时点的轨迹落在双曲线上; ……16分