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- 2021-05-14 发布
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2015年辽宁省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}
2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2 B.8 C.4 D.10
8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
9.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2 C. D.
12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ= .
14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .
15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=﹣1,an+1=Sn+1Sn,则Sn= .
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△
ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.
21.(12分)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.
(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.
四、选做题.选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
选修4-4:坐标系与参数方程
23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2
cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
选修4-5:不等式选讲
24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
2015年辽宁省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}
【解答】解:B={x|﹣2<x<1},A={﹣2,﹣1,0,1,2};
∴A∩B={﹣1,0}.
故选:A.
2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【解答】解:因为(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,所以4a+(a2﹣4)i=﹣4i,
4a=0,并且a2﹣4=﹣4,
所以a=0;
故选:B.
3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.
故选:D
4.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,
∴,
∴q4+q2+1=7,
∴q4+q2﹣6=0,
∴q2=2,
∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.
故选:B
5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解答】解:函数f(x)=,
即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,
f(log212)==2×=12×=6,
则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.
故选C.
6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,
∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,
∴剩余部分体积为1﹣=,
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.
故选:D.
7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2 B.8 C.4 D.10
【解答】解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,
∴D=﹣2,E=4,F=﹣20,
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0,
令x=0,可得y2+4y﹣20=0,
∴y=﹣2±2,
∴|MN|=4.
故选:C.
8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
【解答】解:由a=14,b=18,a<b,
则b变为18﹣14=4,
由a>b,则a变为14﹣4=10,
由a>b,则a变为10﹣4=6,
由a>b,则a变为6﹣4=2,
由a<b,则b变为4﹣2=2,
由a=b=2,
则输出的a=2.
故选:B.
9.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,
故选C.
10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠
BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,
此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,
当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,
如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,
∴OQ=﹣,
∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,
∴PA+PB=,
当x=时,PA+PB=2,
当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,
由对称性可知函数f(x)关于x=对称,
且f()>f(),且轨迹为非线型,
排除A,C,D,
故选:B.
11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【解答】解:设M在双曲线﹣=1的左支上,
且MA=AB=2a,∠MAB=120°,
则M的坐标为(﹣2a,a),
代入双曲线方程可得,
﹣=1,
可得a=b,
c==a,
即有e==.
故选:D.
12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,
∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,
即当x>0时,g′(x)恒小于0,
∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,
又∵g(﹣x)====g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(﹣1)==0,
∴函数g(x)的图象性质类似如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0
⇔或,
⇔0<x<1或x<﹣1.
故选:A.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ= .
【解答】解:∵向量,不平行,向量λ+与+2平行,
∴λ+=t(+2)=,
∴,解得实数λ=.
故答案为:.
14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .
【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,
由得D(1,),
所以z=x+y的最大值为1+;
故答案为:.
15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= 3 .
【解答】解:设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1),①
令x=﹣1,则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f(﹣1)=0.②
①﹣②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),
所以2×32=16(a+1),
所以a=3.
故答案为:3.
16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=﹣1,an+1=Sn+1Sn,则Sn= ﹣ .
【解答】解:∵an+1=Sn+1Sn,
∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn,
∴﹣=1,
又∵a1=﹣1,即=﹣1,
∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列,
∴=﹣n,
∴Sn=﹣,
故答案为:﹣.
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
【解答】解:(1)如图,过A作AE⊥BC于E,
∵==2
∴BD=2DC,
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中,=,∴sin∠B=
在△ADC中,=,∴sin∠C=;
∴==.…6分
(2)由(1)知,BD=2DC=2×=.
过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∴==2,
∴AB=2AC,
令AC=x,则AB=2x,
∵∠BAD=∠DAC,
∴cos∠BAD=cos∠DAC,
∴由余弦定理可得:=,
∴x=1,
∴AC=1,
∴BD的长为,AC的长为1.
18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
【解答】解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散;
(2)记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”,
记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”,
记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”,
记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”,
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,
则C=CA1CB1∪CA2CB2,
P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2),
由所给的数据CA1,CA2,CB1,CB2,发生的频率为,,,,
所以P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,
所以P(C)=×+×=0.48.
19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【解答】解:(1)交线围成的正方形EFGH如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则:
EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;
∴,∴AH=10;
以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:
A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8);
∴;
设为平面EFGH的法向量,则:
,取z=3,则;
若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ,则:
sinθ==;
∴直线AF与平面α所成角的正弦值为.
20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.
【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,
则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,
则x1+x2=,则xM==,yM=kxM+b=,
于是直线OM的斜率kOM==,
即kOM•k=﹣9,
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)四边形OAPB能为平行四边形.
∵直线l过点(,m),
∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,
即k2m2>9b2﹣9m2,
∵b=m﹣m,
∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,
即k2>k2﹣6k,
即6k>0,
则k>0,
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,
由(1)知OM的方程为y=x,
设P的横坐标为xP,
由得,即xP=,
将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,
即l的方程为y=kx+,
将y=x,代入y=kx+,
得kx+=x
解得xM=,
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,
于是=2×,
解得k1=4﹣或k2=4+,
∵ki>0,ki≠3,i=1,2,
∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.
21.(12分)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.
(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.
【解答】解:(1)证明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x.
若m≥0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,f′(x)>0.
若m<0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞
)时,emx﹣1<0,f′(x)>0.
所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.
所以对于任意x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g(t)=et﹣t﹣e+1,则g′(t)=et﹣1.
当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
又g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当t∈[﹣1,1]时,g(t)≤0.
当m∈[﹣1,1]时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;
当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em﹣m>e﹣1.
当m<﹣1时,g(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.
综上,m的取值范围是[﹣1,1]
四、选做题.选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
【解答】(1)证明:∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,
∴AD是∠CAB的角平分线,
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F,
∴AE=AF,∴AD⊥EF,
∴EF∥BC;
(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,∴AD是EF的垂直平分线,
又∵EF为圆O的弦,∴O在AD上,
连结OE、OM,则OE⊥AE,
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE,
∴∠OAE=30°,∴△ABC与△AEF都是等边三角形,
∵AE=2,∴AO=4,OE=2,
∵OM=OE=2,DM=MN=,∴OD=1,
∴AD=5,AB=,
∴四边形EBCF的面积为×﹣××=.
选修4-4:坐标系与参数方程
23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤
π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,
∴x2+y2=2y.
同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,
联立,
解得,,
∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.
(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),
∵A,B都在C1上,
∴A(2sinα,α),B.
∴|AB|==4,
当时,|AB|取得最大值4.
选修4-5:不等式选讲
24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,
(+)2=c+d+2,
由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
则>,
即有(+)2>(+)2,
则+>+;
(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,
即为a+b+2>c+d+2,
由a+b=c+d,则ab>cd,
于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
则有(+)2>(+)2.
综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.