最新全国各地高考数学试题汇编空间向量在立体几何中的应用1 12页

空间向量在立体几何中的应用 题组一 一、填空题 ‎1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶的 容积是，里面装有体积为的水，放在水平的 地面上（如图所示）. 现以顶点为支撑点，将铁 桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时，‎ 棱与地面所成角的余弦值为 ‎ 答案 ‎2. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹 是 .‎ 答案：以AB为直径的圆；‎ 二、简答题 ‎3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。‎ ‎ （I）求证：C1D//平面ABB‎1A1；‎ ‎ （II）求直线BD1与平面A‎1C1D所成角的正弦值；‎ ‎ （Ⅲ）求二面角D—A‎1C1—A的余弦值。‎ 答案 （I）证明：四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中，BB1//CC1，‎ 又面ABB‎1A1，所以CC1//平面ABB‎1A1， …………2分 ABCD是正方形，所以CD//AB，‎ 又CD面ABB‎1A1，AB面ABB‎1A1，所以CD//平面ABB‎1A1，…………3分 所以平面CDD‎1C1//平面ABB‎1A1，‎ 所以C1D//平面ABB‎1A1 …………4分 ‎ （II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD 因为A1D⊥平面ABCD，‎ 所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，‎ 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz， …………5分 在中，由已知可得 所以，‎ ‎ …………6分 因为A1D⊥平面ABCD，‎ 所以A1D⊥平面A1B‎1C1D1‎ A1D⊥B1D1。‎ 又B1D1⊥A‎1C1，‎ 所以B1D1⊥平面A‎1C1D， …………7分 所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0） …………8分 设与n所成的角为，‎ 则 ‎ 所以直线BD1与平面A‎1C1D所成角的正弦值为 …………9分 ‎ （III）解：平面A‎1C1A的法向量为 ‎ 则 所以 ‎ 令可得 …………11分 则 所以二面角的余弦值为 …………12分 ‎4．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形边长2，为边上的高，、分别为、中点，现将沿翻折成直二面角，如图②‎ ‎(1)判断翻折后直线与面的位置关系，并说明理由 ‎(2)求二面角的余弦值 ‎(3)求点到面的距离 图 ① 图 ②‎ 答案 解：（1）平行（证明略）‎ ‎（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为 ‎（３），可得点到面的距离为 ‎5．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） （本题满分13分）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成的角的余弦值；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求证：‎ 答案 5. 解：（1）在直三棱柱中 ‎ ‎ ‎ 是所成的角（或其补角）………………………2分 ‎ 在中，‎ ‎ …………………………………………4分 ‎ （2）连结交于，连结。……………………………5分 ‎ ‎ 则为的中点 ‎ 又为的中点 ‎ ……………………………………………7分 ‎ ‎ ‎ ………………………………9分 ‎ （3）在直三棱柱中 ‎ ‎ ‎ …………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………11分 ‎ …………………………12分 ‎ 同理：‎ ‎ …………………………13分 ‎6．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ ‎（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．‎ ‎（1）求证：AE//平面DCF；‎ ‎（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为．‎ ‎【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。‎ D A B E F C H G ‎【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，‎ ‎ 可得四边形为矩形，又为矩形，所以，‎ ‎ 从而四边形为平行四边形，故．因为平面，‎ 平面，‎ ‎ 所以平面．………6分 ‎ （Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．‎ ‎ 由平面平面，，得平面，‎ ‎ 从而．所以为二面角的平面角．‎ ‎ 在中，因为，，‎ ‎ 所以，．又因为，所以，‎ 从而，于是，‎ 因为所以当为时，‎ 二面角的大小为………12分 D A B E F C y z x 方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，‎ ‎ 则，，，，．‎ ‎ （Ⅰ）证明：，，，‎ ‎ 所以，，从而，，‎ ‎ 所以平面．因为平面，所以平面平面．‎ ‎ 故平面．………6分 ‎ （Ⅱ）解：因为，，所以，，从而 ‎ 解得．所以，．设与平面垂直，‎ ‎ 则，，解得．又因为平面，，所以，‎ ‎ 得到．所以当为时，二面角的大小为．………12分 ‎【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。‎ ‎【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。‎ ‎7．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．‎ ‎ （Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎ （Ⅲ）（理科做）当二面角的大小为时，‎ ‎ 试判断点在上的位置，并说明理由．‎ O S A B C D E 答案7. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．‎ ‎ （Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎ （Ⅲ）（理科做）当二面角的大小为时，‎ ‎ 试判断点在上的位置，并说明理由．‎ 解法一：‎ 证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥．‎ 因为平面，平面，‎ 所以∥平面．‎ ‎（Ⅱ）由已知可得，,是中点，所以．‎ O S A B C D E 又因为四边形是正方形，所以．‎ 因为，所以．又因 为，所以平面平 面．‎ ‎（Ⅲ）解：连接，由（Ⅱ）知 ‎．‎ 而, 所以．‎ 又．‎ 所以是二面角的平面角，‎ 即．‎ 设四棱锥的底面边长为2，‎ 在中，, , 所以．‎ O y z x S A B C D E 又因为, ,‎ 所以是等腰直角三角形．‎ 由可知，点是的中点．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设四棱锥的底面边长为2，‎ 则，，，，‎ ‎，．‎ ‎ 所以，．‎ 设（），由已知可求得．‎ 所以，．‎ 设平面法向量为，‎ 则 即 令，得．‎ 易知是平面的法向量．‎ 因为，‎ 所以，所以平面平面．‎ ‎（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，‎ 平面法向量为．‎ 因为，‎ 所以是平面的一个法向量．‎ 由已知二面角的大小为．‎ 所以，‎ 所以，解得．‎ 所以点是的中点．‎ ‎8．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分） 　　已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,. 　　（1） 求异面直线与所成角的余弦值； 　　（2） 证明平面； 　　（3） 求二面角的正弦值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 答案 解： 　　法一： 　　如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 　　设, 　　依题意得,,, 　　（1）易得,, 　　　　 于是 ‎ 　　　　 所以异面直线与所成角的余弦值为 　　（2）已知, 　　　　 , 　　　　 于是·=0，·=0. 　　　　 因此，,,又 　　　　 所以平面 　　（3）设平面的法向量，则,即 　　　　 不妨令X=1,可得。 　　　　 由（2）可知，为平面的一个法向量。 　　　　 于是，从而, 　　　　 所以二面角的正弦值为 　　法二： 　　（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 　　　　 连接B‎1C,BC1，设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C， 　　　　 由,可知EF∥BC1. 　　　　 故是异面直线EF与A1D所成的角， 　　　　 易知BM=CM=‎ ‎, 　　　　 所以 , 　　　　 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 　　（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为， 　　　　 所以，从而， 　　　　 又由于,所以， 　　　　 故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE. 　　　　 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C, 　　　　 所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED. 　　（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF, 　　　　 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N, 　　　　 故为二面角A1-ED-F的平面角. 　　　　 易知，所以， 　　　　 又所以， 　　　　 在 　　　　 , 　　　　 连接A‎1C1,A‎1F 在 　　　　 。所以 　　　　 所以二面角A1-DE-F正弦值为.‎ ‎9．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）（本题满分14分）‎ 如图，在长方体中，，且 ‎．‎ ‎（I）求证：对任意，总有；‎ ‎（II）若，求二面角的余弦值；‎ ‎（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由．‎ 答案解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，‎ ‎ ，从而，‎ ‎ ，即．　　（４分）‎ ‎（II）由（Ｉ）及得，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 从而可取平面的法向量为，‎ 又取平面的法向量为，且设二面角为，‎ 所以　　　　　　（９分）‎ ‎（III） 假设存在实数满足条件，‎ 由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，‎ 即 ，即，‎ 解得 ．所以存在满足题意得实数，使得在平面上 的射影平分 （14分）‎