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- 2021-05-14 发布
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第103课时:第十三章 导数——导数小结
课题:导数小结
一.课前预习:
1.设函数在处有导数,且,则()
1 0 2
2.设是函数的导函数,的图象如下图(1)所示,则的图象最有可能的是 ( )
(1)
3.若曲线与轴相切,则之间的关系满足( )
4.已知函数的最大值不大于,又当时,,则1.
5.若对任意,则.
四.例题分析:
例1.若函数在区间内为减函数,在区间上为增函数,试求实数的取值范围.
解:,
令得或,
∴当时,,当时,,
∴,∴.
例2.已知函数是上的奇函数,当时取得极值,
(1)求的单调区间和极大值;
(2)证明对任意,不等式恒成立.
解:(1)由奇函数的定义,应有,,
即,∴ ,∴,∴,由条件为的极值,必有,故,
解得,,∴,,
∴,
当时,,故在单调区间上是增函数;
当时,,故在单调区间上是减函数;
当时,,故在单调区间上是增函数,
所以,在处取得极大值,极大值为.
(2)由(1)知,是减函数,
且在上的最大值,最小值,
所以,对任意的,,恒有.
例3.设函数的定义域为,当时,取得极大值;当时取得极小值,且.
(1)求证:;(2)求证:;(3)求实数的取值范围.
(1)证明:,
由题意,的两根为,∴.
(2),∴.
(3)①若,则,
∴,从而,
解得或(舍)
∴,得.
②若,则,
∴,从而,
解得或(舍)
∴,∴,
综上可得,的取值范围是.
小结:本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识,综合分析问题和解决问题的能力.
五.课后作业:
1.函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )
、 、 、 、
2.关于函数,下列说法不正确的是 ( )
在区间内,为增函数 在区间内,为减函数
在区间内,为增函数在区间内为增函数
3.设在处可导,且,则等于( )
1
4.设对于任意的,都有,则( )
5.一物体运动方程是,则时物体的瞬时速度为 .
6.已知函数在处取得极值.
(1)讨论和是函数的极大值还是极小值;
(2)过点作曲线的切线,求此切线方程.
7.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量(吨)与每吨的价格(元/吨)之间的关系为,且生产吨的成本为元,问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润收入成本)
8.已知,函数的图象与函数的图象相切,
(1)求的关系式(用表示);
(2)设函数在内有极值点,求的取值范围.