山东省聊城市某重点高中高三下学期高考模拟试题三数学文理试题 13页

山东省聊城市某重点高中2013届高三下学期高考模拟试题（三）数学（文理）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两大部分；‎ 考试时间120分钟；满分150分 第I卷（选择题）‎ 一．选择题（共60分）‎ ‎1.（理）已知是上的减函数，那么的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎（文）设函数定义在实数集R上，，且当时=，则有 ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D． ‎ ‎2.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；‎ ‎④对应的曲线中存在“自公切线”的有 （ ）‎ ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎3.已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为 ‎ ‎ A．或 B． C． D．或 ‎4.某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎ A．（1），（3） B．（1），（3），（4） C．（1），（2），（3） D．（1），（2），（3），（4）‎ ‎5.（文）设,则的值为 （　　）‎ A．1 B．0 C． D． ‎ ‎（理）定义运算,如.‎ 已知,,则 ( ) ‎ ‎. . . .‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7.我们把具有以下性质的函数 称为“好函数”：对于在定义域内的任意三个数，若这三个数能作为三角形的三边长，则也能作为三角形的三边长.现有如下一些函数： ‎ ‎① ②‎ ‎③， ④，.‎ 其中是“好函数”的序号有（ ） ‎ ‎ A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④‎ ‎8.设记不超过的最大整数为令则 （ ）‎ 是等差数列但不是等比数列 是等比数列但不是等差数列 既是等差数列又是等比数列 既不是等差数列也不是等比数列 ‎9.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数 ‎① ② ③ ④‎ 其中是一阶整点函数的是 ( ）‎ A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④‎ ‎10.给出下列命题：‎ ‎①已知椭圆两焦点，则椭圆上存在六个不同点，使得△为直角三角形；‎ ‎②已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为2；‎ ‎③若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为 为坐标原点，则；‎ ‎④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20％和18％，两地同时下雨的概率为12％，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60％.‎ 其中正确命题的序号是( )‎ A．①③④ B．①②③ C．③④ D．①②④‎ ‎11.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“紧密函数”.若与在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（ ）。‎ ‎ A．[0，1] B．[2，3] C．[1，2] D．[1，3]‎ ‎12.下列四个命题：‎ ‎（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；‎ ‎（2）若函数f（x）＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a＜0且a＞0‎ ‎（3）y= x2一2｜x｜＋3的递增区间为：[1. ＋)‎ ‎（4）y＝1－x和y＝表示相等函数．其中正确命题的个数是（　〕‎ A、0　　B、1　　C、2　　D、3‎ 第II卷（非选择题）‎ 二．填空题 ‎13.已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是 .‎ ‎14.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为              ‎ ‎15.四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论： ①函数 的图象关于轴对称； ② 函数的值域为 (－1,1)；‎ ‎③若则一定有；④若规定, ，则 对任意恒成立． 你认为上述四个结论中正确的有 ‎ ‎16.（理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量与夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量，，当＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于______________‎ ‎（文）下列5个判断：‎ ‎ ①若在上增函数，则；‎ ‎ ②函数只有两个零点；‎ ‎ ③函数的值域是；‎ ‎ ④函数的最小值是1；‎ ‎ ⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。‎ 其中正确命题的序号是 。‎ 三．解答题 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．‎ ‎ （1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有成立；‎ ‎ （3）求证：．‎ ‎18.如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,．‎ ‎（1）求证:平面PCD⊥平面;‎ ‎（2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．‎ ‎（3）（理）求二面角的余弦值．‎ ‎19.请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.‎ ‎（1）用规格长宽高=外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?‎ ‎（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.4元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？‎ ‎20.（理）已知数列满足，且（n2且n∈N*）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前n项之和，求,并证明：．‎ ‎（文）已知递增的等比数列满足是的等差中项。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若是数列的前项和，求 ‎21.在平面直角坐标系中，已知向量，，若．‎ ‎（1）求动点的轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；‎ ‎（2）当时，已知、，点P是轨迹T在第一象限的一点，且满足，若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎22.边长为2的正方体中,P是棱CC1上任一点,‎ ‎（1）是否存在满足条件的实数m,使平面面?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．‎ ‎（2）（理）试确定直线AP与平面D1BP所成的角正弦值关于m的函数,并求的值．‎ ‎（文）是否存在实数m,使得三棱锥和四棱锥的体积相等?若存在,求出m的值;否则,请说明理由．‎ 数学（文理）试卷答案 一．选择题 ‎1.（理）B ‎（文）C 由可知函数关于直线对称，所以，且当时，函数单调递增，所以，即，即选C.‎ ‎2.B 画图可知选B. ①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；‎ ‎②=，在 x= 和 x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．‎ ‎③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．‎ ‎④由于，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．‎ 故答案为 B．‎ ‎3.D 4.D 5.（文）B（理）A ‎6.C 第一次循环：，；第二次循环：，；‎ ‎ 第三次循环：，，因此输出的，故选择C。‎ ‎7.B8.B9.D10.A11.A12.A 二．填空题 ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.②③.④‎ ‎16.（理） （文）‎ 三．解答题 ‎17.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有． （*）‎ ‎，． （**）‎ 由（*）、（**）两式，解得，． ……………………………2分 由整理，得，‎ ‎，要使不等式恒成立，必须恒成立． ‎ 设，，‎ ‎，当时，，则是增函数，‎ ‎，是增函数，，．…………………5分 因此，实数的取值范围是． ………………………………………6分 ‎（2）当时，，‎ ‎，在上是增函数，在上的最大值为．‎ 要对内的任意个实数都有 成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，‎ 当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．‎ ‎，解得．‎ 因此，的最大值为． ………………………………………10分 ‎（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，‎ 即． ………………………………………………………11分 令，得， ‎ 化简得， ………………………………13分 ‎． ………………………14分 ‎18.（理）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA．又△ABC的面积等于△ADC面积的,∴．在底面中，因为，，所以，所以．又因为，所以平面．而CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面（理4分，文7分）‎ ‎（2）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结BE，EF，FC，则，且．由已知，所以．又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（理8分，文14分）‎ ‎（理）（3）设为中点，连结，则．又因为平面平面，所以平面．过作于，连结，由三垂线定理可知．所以是二面角的平面角．设，则,．在中，，所以．所以，．即二面角的余弦值为．（14分）‎ ‎19.（1），所以，，当时，V递增，当时，V递减，所以，当x=20时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长，高为.用规格为外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下=125个灯箱.答：至少装下125个灯箱.（2）（）,所以x=15cm时侧面积最大，最大值是 ‎（cm2）此时获利最大，最大利润为（元）.答：每个灯箱最大利润720元.‎ ‎20.（理）（1）且n∈N*），,即(,且N*),（3分）所以，数列是等差数列,公差,首项，（5分）于是．（7分）‎ ‎（2） ① ②（9分）‎ ‎①②得 （12分）‎ ‎（14分）‎ ‎（文）‎ ‎21.（1）∵，∴，得，即．（1分）‎ 当时，方程表示两条与轴平行的直线；（2分）当时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜＜1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（4分）当＞1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；（5分）‎ 当＜0时，方程表示焦点在轴上的双曲线．（6分）‎ ‎（2）由（1）知，轨迹T是椭圆，则、为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得,联立解得，，又，有,∴，∴P的纵坐标为1，把代入得或（舍去），∴．（9分）设存在满足条件的圆，则，设，则，,∴，即,∴．又，∴,∴或．（12分）所以圆G的方程：或．（13分）‎ ‎22.（1）存在满足条件的实数,使平面面,证明如下:连接AC、AC1,设对角线,则H是AC1中点,连接PH,则PH是△的中位线,则PH∥AC,∵AC⊥BD,AC⊥BB1,故AC⊥平面∴PH⊥平面,而PH平面,∴平面面;（5分）‎ ‎（2）（理）在线段AA1上取一点G,使得A1G=m,连接D1G,BG,‎ 则易证D1,G,B,P四点共面．设点A到平面D1BP的距离为h,则由可得（7分）‎ 在△BGD1中,,,,‎ 则则,‎ 则（10分）而故．设AP与平面D1BP所成的角为,则,故（13分）‎ ‎（文）由条件易得,（9分）．（10分）‎ 由可得可得,故存在实数使得三棱锥和四棱锥的体积相等（13分）‎