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  • 2021-05-14 发布

甘肃省兰州市高考实战数学试卷理科解析版

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‎2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|lg(x﹣1)>0},则A∩(∁uB)=(  )‎ A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2} C.{x|x<2} D.{x|x≤1}‎ ‎2.在复平面内,复数z满足z(1﹣i)=(1+2i)(i是虚数单位),则z对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知,为两个非零向量,设命题p:|•|=||||,命题q:与共线,则命题p是命题q成立的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若bsinA=3csinB,a=3,,则b=(  )‎ A.14 B.6 C. D.‎ ‎5.已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2,如图所示是一个算法的程序框图,若输出的结果为4,则输入n的值为(  )‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎6.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为(  )‎ A.110 B.100 C.90 D.80‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为(  )‎ A. B. C.3π D.3‎ ‎8.已知直线ax+y﹣1=0与圆C:(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为(  )‎ A. B.﹣1 C.1或﹣1 D.1‎ ‎9.,,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知命题:‎ ‎①函数y=2x(﹣1≤x≤1)的值域是[,2];‎ ‎②为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度;‎ ‎③当n=0或n=1时,幂函数y=xn的图象都是一条直线;‎ ‎④已知函数f(x)=,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(2,4).‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎11.已知O为坐标原点,双曲线上有一点P,过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为1,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎12.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p,q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[15,+∞) B.[6,+∞) C.(﹣∞,15] D.(﹣∞,6]‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若函数f(x)=x﹣alnx在点(1,1)处的切线方程为y=1,则实数a=      .‎ ‎14.已知变量x,y,满足:,则z=2x+y的最大值为      .‎ ‎15.若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)dx=      .‎ ‎16.α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.等差数列{an}中,已知an>0,a1+a2+a3=15,且a1+2,a2+5,a3+13构成等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎18.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.‎ 分数(分数段)‎ 频数(人数)‎ 频率 ‎[60,70)‎ ‎9‎ x ‎[70,80)‎ y ‎0.38‎ ‎[80,90)‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎[90,100)‎ z s 合计 p ‎1‎ ‎(1)求出上表中的x,y,z,s,p的值;‎ ‎(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.‎ ‎(1)求证:OC⊥PD;‎ ‎(2)若PD与平面PAB所成的角为300,求二面角D﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的内切圆半径为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.‎ ‎21.已知函数f(x)=+ax,x>1.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;‎ ‎(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA;‎ ‎(Ⅱ)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系x Oy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点 O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若点 P坐标为,圆C与直线l交于 A,B两点,求|PA|+|PB|的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|lg(x﹣1)>0},则A∩(∁uB)=(  )‎ A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2} C.{x|x<2} D.{x|x≤1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】lg(x﹣1)>0,可得x﹣1>1,可得B,∁RB.再利用集合的运算性质可得:A∩(∁uB).‎ ‎【解答】解:∵lg(x﹣1)>0,∴x﹣1>1,解得x>2.‎ ‎∴B={x|lg(x﹣1)>0}=(2,+∞),‎ ‎∴∁RB=(﹣∞,2].‎ 则A∩(∁uB)=(﹣∞,2).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.在复平面内,复数z满足z(1﹣i)=(1+2i)(i是虚数单位),则z对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.‎ ‎【解答】解:由足z(1﹣i)=(1+2i),得 ‎,‎ ‎∴z对应的点的坐标为(),位于第二象限.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.已知,为两个非零向量,设命题p:|•|=||||,命题q:与共线,则命题p是命题q成立的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】设与的夹角为θ.若与共线,则cosθ=±1.再利用数量积运算性质即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:设与的夹角为θ.‎ 若与共线,则cosθ=±1.‎ ‎∴|•|=|||||cosθ|=||||,‎ 反之也成立.‎ ‎∴命题p是命题q成立的充要条件.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若bsinA=3csinB,a=3,,则b=(  )‎ A.14 B.6 C. D.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】bsinA=3csinB,利用正弦定理可得ab=3cb,化简解得c,再利用余弦定理即可得出.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,∵bsinA=3csinB,‎ ‎∴ab=3cb,可得a=3c,‎ ‎∵a=3,∴c=1.‎ ‎∴==,‎ 解得b=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2,如图所示是一个算法的程序框图,若输出的结果为4,则输入n的值为(  )‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,根据题意,依次代入各选项,计算MOD(n,i)的值,验证输出的结果是否为4,即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得:‎ ‎①若n=16,i=3,MOD(16,3)=1,不满足条件MOD(16,3)=0,i=4,‎ MOD(16,4)=0,满足条件MOD(16,4)=0,退出循环,输出i的值为4,满足题意;‎ ‎②若n=14,i=3,MOD(14,3)=2,不满足条件MOD(14,3)=0,i=4,‎ MOD(14,4)=2,不满足条件MOD(14,4)=0,i=5,‎ MOD(14,5)=4,不满足条件MOD(14,5)=0,i=6,‎ MOD(14,6)=2,不满足条件MOD(14,6)=0,i=7,‎ MOD(14,7)=0,满足条件MOD(14,7)=0,退出循环,输出i的值为7,不满足题意;‎ ‎③若n=12,i=3,MOD(12,3)=0,满足条件MOD(12,3)=0,退出循环,输出i的值为3,不满足题意;‎ ‎④若n=10,i=3,MOD(10,3)=1,不满足条件MOD(10,3)=0,i=4,‎ MOD(10,4)=2,不满足条件MOD(10,4)=0,i=5,‎ MOD(10,5)=0,满足条件MOD(14,5)=0,退出循环,输出i的值为5,不满足题意;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为(  )‎ A.110 B.100 C.90 D.80‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数,利用甲、乙二人均被抽到的概率是,直接进行计算即可 ‎【解答】解:∵按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,‎ ‎∴从中抽取一个容量为20的样本,‎ 则抽取的C组数为×20=2,‎ 设C组总数为m,‎ 则甲、乙二人均被抽到的概率为==,‎ 即m(m﹣1)=90,‎ 解得 m=10.‎ 设总体中员工总数为x,则由==,‎ 可得x=100,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为(  )‎ A. B. C.3π D.3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】该几何体是一个四棱锥,底面是正方形,高等于正方形的边长.其四棱锥补成一个正方体,即可得出外接球.‎ ‎【解答】解:该几何体是一个四棱锥,底面是正方形,高等于正方形的边长.‎ 其四棱锥补成一个正方体,即可得出外接球.‎ 设其四棱锥的外接球的半径为r,则3×12=(2r)2,解得r=.‎ ‎∴该几何体外接球的体积==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知直线ax+y﹣1=0与圆C:(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为(  )‎ A. B.﹣1 C.1或﹣1 D.1‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形,可得圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°,再利用点到直线的距离公式求得a的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得△ABC是等腰直角三角形,∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=,‎ 再利用点到直线的距离公式可得=,‎ ‎∴a=±1,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.,,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】由二倍角公式化简sin2α,由同角的三角函数恒等式得到(sinα+cosα)2,结合α的范围,得到开平方的值.‎ ‎【解答】解:∵,,‎ ‎∴sinαcosα=,‎ ‎∵sin2α+cos2α=1‎ ‎∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,‎ ‎=(cosα+sinα)=cosα+sinα=.‎ 故选:D ‎ ‎ ‎10.已知命题:‎ ‎①函数y=2x(﹣1≤x≤1)的值域是[,2];‎ ‎②为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度;‎ ‎③当n=0或n=1时,幂函数y=xn的图象都是一条直线;‎ ‎④已知函数f(x)=,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(2,4).‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】①根据指数函数的单调性进行判断.‎ ‎②根据三角函数的图象关系进行判断.‎ ‎③根据幂函数的定义和性质进行判断.‎ ‎④根据函数与方程的关系,利用数形结合进行判断.‎ ‎【解答】解:①∵y=2x是增函数,∴当﹣1≤x≤1时,函数的值域是[,2];故①正确,‎ ‎②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度,则y=sin2(x﹣)=sin(2x﹣,则无法得到函数y=sin(2x﹣)的图象,故②错误,‎ ‎③当n=0时,y=x0=1,(x≠0)是两条射线,当n=1时,幂函数y=x的图象都是一条直线;故③错误,‎ ‎④作出函数f(x)的图象如图,‎ ‎∴f(x)在(0,1]上递减,在(1,2)上递增,在(2,+∞)单调递减,‎ 又∵a,b,c互不相等,‎ ‎∴a,b,c在(0,2]上有两个,在(2,+∞)上有一个,‎ 不妨设a∈(0,1],b∈(1,2),c∈(2,+∞),‎ 则log2a+log2b=0,‎ 即ab=1,‎ 则abc的取值范围是c的取值范围,‎ ‎∵由﹣x+2=0,得x=4,‎ 则2<c<4,‎ 则2<abc<4,‎ 即abc的取值范围是(2,4).故④正确,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知O为坐标原点,双曲线上有一点P,过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为1,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求得双曲线的渐近线方程,设P(m,n)是双曲线上任一点,设过P平行于x+ay=0的直线为l,求得l的方程,联立另一条渐近线可得交点A,|OA|,求得P到OA的距离,由平行四边形的面积公式,化简整理,解方程可得a=2,求得c,进而得到所求双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0,‎ 设P(m,n)是双曲线上任一点,设过P平行于x+ay=0的直线为l,‎ 则l的方程为:x+ay﹣m﹣an=0,l与渐近线x﹣ay=0交点为A,‎ 则A(,),|OA|=||,‎ P点到OA的距离是:,‎ ‎∵|OA|•d=1,∴||•.=1,‎ ‎∵,∴a=2,∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p,q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[15,+∞) B.[6,+∞) C.(﹣∞,15] D.(﹣∞,6]‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性,求函数的导数,利用参数分离法 进行求解即可.‎ ‎【解答】解:因为p≠q,不妨设p>q,由于,‎ 所以f(p+1)﹣f(q+1)>p﹣q,得[f(p+1)﹣(p+1)]﹣[f(q+1)﹣(q+1)]>0,‎ 因为p>q,所以p+1>q+1,所以g(x)=f(x+1)﹣(x+1)在(0,1)内是增函数,‎ 所以g'(x)>0在(0,1)内恒成立,即恒成立,‎ 所以a>(2x+3)(x+2)的最大值,‎ 因为x∈(0,1)时(2x+3)(x+2)<15,‎ 所以实数a的取值范围为[15,+∞).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若函数f(x)=x﹣alnx在点(1,1)处的切线方程为y=1,则实数a= 1 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,由条件可得a的方程,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x﹣alnx的导数为f′(x)=1﹣,‎ 由在点(1,1)处的切线方程为y=1,‎ 可得在点(1,1)处的切线斜率为1﹣a=0,‎ 解得a=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.已知变量x,y,满足:,则z=2x+y的最大值为 4 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出可行域,根据可行域移动目标函数,根据直线的截距得出最优解.‎ ‎【解答】解:作出约束条件表示的可行域如图:‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z.‎ 由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时,直线的截距最大,即z最大.‎ 解方程组,得B(1,2).‎ ‎∴z的最大值为z=2×1+2=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎15.若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)dx=  .‎ ‎【考点】定积分.‎ ‎【分析】对已知等式两边求导,得到f'(x)=1,所以设f(x)=x+c,利用已知等式求出c,得到所求.‎ ‎【解答】解:对f(x)+∫01f(x)dx=x两边求导,得到f'(x)=1,所以设f(x)=x+c,‎ 由已知x+c+(x2+cx)|=x,解得c=﹣,‎ 所以=()|=;‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是 ①或③ .‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明,得出结论.‎ ‎【解答】解:①因为AC⊥α,且EF⊂α,所以AC⊥EF.‎ 又AB⊥α且EF⊂α,所以EF⊥AB.‎ 因为AC∩AB=A,AC⊂平面ACBD,AB⊂平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,‎ 因为BD⊂平面ACBD,所以BD⊥EF.‎ 所以①可以成为增加的条件.‎ ‎②AC与α,β所成的角相等,AC与EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF与平面ACDB不垂直,所以就推不出EF与BD垂直.‎ 所以②不可以成为增加的条件.‎ ‎③AC与CD在β内的射影在同一条直线上 因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD.‎ 所以EF与CD在β内的射影垂直,‎ AC与CD在β内的射影在同一条直线上 所以EF⊥AC,‎ 因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACBD,CD⊂平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,‎ 因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF.‎ 所以③可以成为增加的条件.‎ ‎④若AC∥EF,则AC∥平面α,所以BD∥AC,所以BD∥EF.‎ 所以④不可以成为增加的条件.‎ 故答案为:①③.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.等差数列{an}中,已知an>0,a1+a2+a3=15,且a1+2,a2+5,a3+13构成等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列的通项公式及其性质可得an.再利用等比数列的通项公式即可得出bn.‎ ‎(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)设设等差数列的公差为d,则由已知得:a1+a2+a3=3a2=15,即a2=5,‎ 又(5﹣d+2)(5+d+13)=100,解得d=2或d=﹣13(舍),‎ a1=a2﹣d=3,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)×d=2n+1,‎ 又b1=a1+2=5,b2=a2+5=10,‎ ‎∴q=2‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎,‎ 两式相减得,‎ 则.‎ ‎ ‎ ‎18.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.‎ 分数(分数段)‎ 频数(人数)‎ 频率 ‎[60,70)‎ ‎9‎ x ‎[70,80)‎ y ‎0.38‎ ‎[80,90)‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎[90,100)‎ z s 合计 p ‎1‎ ‎(1)求出上表中的x,y,z,s,p的值;‎ ‎(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)由题意知,参赛选手共有50人,由此能求出表中的x,y,x,s,p的值.‎ ‎(Ⅱ)由题意随机变量X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,参赛选手共有p==50人,‎ ‎∴x==0.18,‎ y=50×0.38=19,z=50﹣9﹣19﹣16=6.‎ s=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共6人,随机变量X的可能取值为0,1,2…‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,…‎ 随机变量X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 因为,‎ 所以随机变量X的数学期望为l.…‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.‎ ‎(1)求证:OC⊥PD;‎ ‎(2)若PD与平面PAB所成的角为300,求二面角D﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)连结OP,推导出OP⊥AB,从而OP⊥平面ABCD,由OP⊥OD,OP⊥OC,得OD⊥OC,再由OP⊥OC,能证明OC⊥PD.‎ ‎(2)设AD=1,则AB=2,推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角,设PC的中点为M,连接DM,则DM⊥PC在Rt△CBP中,过M作NM⊥PC,交PB于点N,则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角,由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)连结OP,∵PA=PB,O为AB的中点,∴OP⊥AB.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴OP⊥平面ABCD,‎ ‎∴OP⊥OD,OP⊥OC,‎ ‎∵OD⊥PC,∴OD⊥平面OPC,‎ ‎∴OD⊥OC,…‎ 又∵OP⊥OC,∴OC⊥平面OPD,‎ ‎∴OC⊥PD. …‎ 解:(2)在矩形ABCD中,由(1)得OD⊥OC,∴AB=2AD,不妨设AD=1,则AB=2.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,‎ ‎∴DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,△DPA≌△DPA,‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角 ‎∴∠DPA=30°,∠CPB=30°,,‎ ‎∴DP=CP=2,∴△PDC为等边三角形,…‎ 设PC的中点为M,连接DM,则DM⊥PC 在Rt△CBP中,过M作NM⊥PC,交PB于点N,则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角.‎ 由于∠CPB=30°,PM=1,∴在Rt△PMN中,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴ND2=3+1=4,‎ ‎∴,‎ 即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣.…‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的内切圆半径为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为,且经过点,求出a,b,c,由此能求出椭圆方程.‎ ‎(Ⅱ)设直线l的方程为x=ty﹣1,代入椭圆方程得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切,结合已知条件能求出圆的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.‎ ‎∴,a=2c,∴a2=4c2,b2=3c2,‎ 将点的坐标代入椭圆方程得c2=1,‎ 故所求椭圆方程为.…‎ ‎(Ⅱ)设直线l的方程为x=ty﹣1,代入椭圆方程得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,‎ 判别式大于0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),△AF2B的内切圆半径为r0,‎ 则有,,‎ ‎∴=,‎ 而 ‎=‎ ‎=,‎ ‎∴,解得t2=1,‎ ‎∵所求圆与直线l相切,∴半径=,‎ ‎∴所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=2.…‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=+ax,x>1.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;‎ ‎(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,得到a的不等式,利用二次函数的求出最小值,得到a的范围.‎ ‎(Ⅱ)利用a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,然后求解函数的极值.‎ ‎(Ⅲ)化简方程(2x﹣m)lnx+x=0,得,利用函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点,结合由(Ⅱ)可知,f(x)的单调性,推出实数m的取值范围.‎ ‎【解答】(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)函数f(x)=+ax,x>1.‎ ‎,由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立;﹣﹣﹣‎ ‎∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵x∈(1,+∞),∴lnx∈(0,+∞),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴时函数t=的最小值为,‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎(Ⅱ) 当a=2时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 令f′(x)=0得2ln2x+lnx﹣1=0,‎ 解得或lnx=﹣1(舍),即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当时,f'(x)<0,当时,f′(x)>0‎ ‎∴f(x)的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎(Ⅲ)将方程(2x﹣m)lnx+x=0两边同除lnx得 整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由(Ⅱ)可知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,当x→1时,,∴,‎ 实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎ ‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA;‎ ‎(Ⅱ)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据直径的性质即可证明:∠CBD=∠DBA;‎ ‎(Ⅱ)结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵DE是⊙O的直径,‎ 则∠BED+∠EDB=90°,‎ ‎∵BC⊥DE,‎ ‎∴∠CBD+∠EDB=90°,即∠CBD=∠BED,‎ ‎∵AB切⊙O于点B,‎ ‎∴∠DBA=∠BED,即∠CBD=∠DBA;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知BD平分∠CBA,‎ 则=3,‎ ‎∵BC=,‎ ‎∴AB=3,AC=,‎ 则AD=3,‎ 由切割线定理得AB2=AD•AE,‎ 即AE=,‎ 故DE=AE﹣AD=3,‎ 即可⊙O的直径为3.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系x Oy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点 O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若点 P坐标为,圆C与直线l交于 A,B两点,求|PA|+|PB|的值.‎ ‎【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先利用两方程相加,消去参数t即可得到l的普通方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,利用参数的几何意义,求|PA|+|PB|的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 又由得 ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y﹣)2=5;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ‎(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,‎ 得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0‎ 设t1,t2是上述方程的两实数根,‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P,A、B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【考点】带绝对值的函数;绝对值不等式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于,或,或,分别求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.‎ ‎(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|,由题意可得|a﹣1|≥4,与偶此解得 a的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=4时,不等式f(x)≥5,即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于 ‎,,或,或.‎ 解得:x≤0或 x≥5.‎ 故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0,或 x≥5}. …‎ ‎(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|.(当x=1时等号成立)‎ 所以:f(x)min=|a﹣1|.…‎ 由题意得:|a﹣1|≥4,解得 a≤﹣3,或a≥5. …‎ ‎ ‎ ‎2016年9月4日