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- 2021-05-14 发布
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2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|lg(x﹣1)>0},则A∩(∁uB)=( )
A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2} C.{x|x<2} D.{x|x≤1}
2.在复平面内,复数z满足z(1﹣i)=(1+2i)(i是虚数单位),则z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知,为两个非零向量,设命题p:|•|=||||,命题q:与共线,则命题p是命题q成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若bsinA=3csinB,a=3,,则b=( )
A.14 B.6 C. D.
5.已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2,如图所示是一个算法的程序框图,若输出的结果为4,则输入n的值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
6.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为( )
A.110 B.100 C.90 D.80
7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为( )
A. B. C.3π D.3
8.已知直线ax+y﹣1=0与圆C:(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A. B.﹣1 C.1或﹣1 D.1
9.,,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知命题:
①函数y=2x(﹣1≤x≤1)的值域是[,2];
②为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度;
③当n=0或n=1时,幂函数y=xn的图象都是一条直线;
④已知函数f(x)=,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(2,4).
其中正确的命题是( )
A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④
11.已知O为坐标原点,双曲线上有一点P,过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为1,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
12.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p,q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[15,+∞) B.[6,+∞) C.(﹣∞,15] D.(﹣∞,6]
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若函数f(x)=x﹣alnx在点(1,1)处的切线方程为y=1,则实数a= .
14.已知变量x,y,满足:,则z=2x+y的最大值为 .
15.若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)dx= .
16.α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.等差数列{an}中,已知an>0,a1+a2+a3=15,且a1+2,a2+5,a3+13构成等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
18.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段)
频数(人数)
频率
[60,70)
9
x
[70,80)
y
0.38
[80,90)
16
0.32
[90,100)
z
s
合计
p
1
(1)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若PD与平面PAB所成的角为300,求二面角D﹣PC﹣B的余弦值.
20.已知椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的内切圆半径为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
21.已知函数f(x)=+ax,x>1.
(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;
(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.
(Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA;
(Ⅱ)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系x Oy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点 O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为.
(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点 P坐标为,圆C与直线l交于 A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)
(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;
(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.
2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|lg(x﹣1)>0},则A∩(∁uB)=( )
A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2} C.{x|x<2} D.{x|x≤1}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】lg(x﹣1)>0,可得x﹣1>1,可得B,∁RB.再利用集合的运算性质可得:A∩(∁uB).
【解答】解:∵lg(x﹣1)>0,∴x﹣1>1,解得x>2.
∴B={x|lg(x﹣1)>0}=(2,+∞),
∴∁RB=(﹣∞,2].
则A∩(∁uB)=(﹣∞,2).
故选:C.
2.在复平面内,复数z满足z(1﹣i)=(1+2i)(i是虚数单位),则z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.
【解答】解:由足z(1﹣i)=(1+2i),得
,
∴z对应的点的坐标为(),位于第二象限.
故选:B.
3.已知,为两个非零向量,设命题p:|•|=||||,命题q:与共线,则命题p是命题q成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】设与的夹角为θ.若与共线,则cosθ=±1.再利用数量积运算性质即可判断出结论.
【解答】解:设与的夹角为θ.
若与共线,则cosθ=±1.
∴|•|=|||||cosθ|=||||,
反之也成立.
∴命题p是命题q成立的充要条件.
故选:C.
4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若bsinA=3csinB,a=3,,则b=( )
A.14 B.6 C. D.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】bsinA=3csinB,利用正弦定理可得ab=3cb,化简解得c,再利用余弦定理即可得出.
【解答】解:在△ABC中,∵bsinA=3csinB,
∴ab=3cb,可得a=3c,
∵a=3,∴c=1.
∴==,
解得b=.
故选:D.
5.已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2,如图所示是一个算法的程序框图,若输出的结果为4,则输入n的值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,根据题意,依次代入各选项,计算MOD(n,i)的值,验证输出的结果是否为4,即可得解.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得:
①若n=16,i=3,MOD(16,3)=1,不满足条件MOD(16,3)=0,i=4,
MOD(16,4)=0,满足条件MOD(16,4)=0,退出循环,输出i的值为4,满足题意;
②若n=14,i=3,MOD(14,3)=2,不满足条件MOD(14,3)=0,i=4,
MOD(14,4)=2,不满足条件MOD(14,4)=0,i=5,
MOD(14,5)=4,不满足条件MOD(14,5)=0,i=6,
MOD(14,6)=2,不满足条件MOD(14,6)=0,i=7,
MOD(14,7)=0,满足条件MOD(14,7)=0,退出循环,输出i的值为7,不满足题意;
③若n=12,i=3,MOD(12,3)=0,满足条件MOD(12,3)=0,退出循环,输出i的值为3,不满足题意;
④若n=10,i=3,MOD(10,3)=1,不满足条件MOD(10,3)=0,i=4,
MOD(10,4)=2,不满足条件MOD(10,4)=0,i=5,
MOD(10,5)=0,满足条件MOD(14,5)=0,退出循环,输出i的值为5,不满足题意;
故选:A.
6.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为( )
A.110 B.100 C.90 D.80
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数,利用甲、乙二人均被抽到的概率是,直接进行计算即可
【解答】解:∵按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,
∴从中抽取一个容量为20的样本,
则抽取的C组数为×20=2,
设C组总数为m,
则甲、乙二人均被抽到的概率为==,
即m(m﹣1)=90,
解得 m=10.
设总体中员工总数为x,则由==,
可得x=100,
故选:B.
7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为( )
A. B. C.3π D.3
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】该几何体是一个四棱锥,底面是正方形,高等于正方形的边长.其四棱锥补成一个正方体,即可得出外接球.
【解答】解:该几何体是一个四棱锥,底面是正方形,高等于正方形的边长.
其四棱锥补成一个正方体,即可得出外接球.
设其四棱锥的外接球的半径为r,则3×12=(2r)2,解得r=.
∴该几何体外接球的体积==.
故选:A.
8.已知直线ax+y﹣1=0与圆C:(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A. B.﹣1 C.1或﹣1 D.1
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形,可得圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°,再利用点到直线的距离公式求得a的值.
【解答】解:由题意可得△ABC是等腰直角三角形,∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=,
再利用点到直线的距离公式可得=,
∴a=±1,
故选:C.
9.,,则的值为( )
A. B. C. D.
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】由二倍角公式化简sin2α,由同角的三角函数恒等式得到(sinα+cosα)2,结合α的范围,得到开平方的值.
【解答】解:∵,,
∴sinαcosα=,
∵sin2α+cos2α=1
∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
=(cosα+sinα)=cosα+sinα=.
故选:D
10.已知命题:
①函数y=2x(﹣1≤x≤1)的值域是[,2];
②为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度;
③当n=0或n=1时,幂函数y=xn的图象都是一条直线;
④已知函数f(x)=,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(2,4).
其中正确的命题是( )
A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①根据指数函数的单调性进行判断.
②根据三角函数的图象关系进行判断.
③根据幂函数的定义和性质进行判断.
④根据函数与方程的关系,利用数形结合进行判断.
【解答】解:①∵y=2x是增函数,∴当﹣1≤x≤1时,函数的值域是[,2];故①正确,
②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度,则y=sin2(x﹣)=sin(2x﹣,则无法得到函数y=sin(2x﹣)的图象,故②错误,
③当n=0时,y=x0=1,(x≠0)是两条射线,当n=1时,幂函数y=x的图象都是一条直线;故③错误,
④作出函数f(x)的图象如图,
∴f(x)在(0,1]上递减,在(1,2)上递增,在(2,+∞)单调递减,
又∵a,b,c互不相等,
∴a,b,c在(0,2]上有两个,在(2,+∞)上有一个,
不妨设a∈(0,1],b∈(1,2),c∈(2,+∞),
则log2a+log2b=0,
即ab=1,
则abc的取值范围是c的取值范围,
∵由﹣x+2=0,得x=4,
则2<c<4,
则2<abc<4,
即abc的取值范围是(2,4).故④正确,
故选:B.
11.已知O为坐标原点,双曲线上有一点P,过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为1,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线的渐近线方程,设P(m,n)是双曲线上任一点,设过P平行于x+ay=0的直线为l,求得l的方程,联立另一条渐近线可得交点A,|OA|,求得P到OA的距离,由平行四边形的面积公式,化简整理,解方程可得a=2,求得c,进而得到所求双曲线的离心率.
【解答】解:由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0,
设P(m,n)是双曲线上任一点,设过P平行于x+ay=0的直线为l,
则l的方程为:x+ay﹣m﹣an=0,l与渐近线x﹣ay=0交点为A,
则A(,),|OA|=||,
P点到OA的距离是:,
∵|OA|•d=1,∴||•.=1,
∵,∴a=2,∴,
∴.
故选:D.
12.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2,在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p,q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[15,+∞) B.[6,+∞) C.(﹣∞,15] D.(﹣∞,6]
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性,求函数的导数,利用参数分离法 进行求解即可.
【解答】解:因为p≠q,不妨设p>q,由于,
所以f(p+1)﹣f(q+1)>p﹣q,得[f(p+1)﹣(p+1)]﹣[f(q+1)﹣(q+1)]>0,
因为p>q,所以p+1>q+1,所以g(x)=f(x+1)﹣(x+1)在(0,1)内是增函数,
所以g'(x)>0在(0,1)内恒成立,即恒成立,
所以a>(2x+3)(x+2)的最大值,
因为x∈(0,1)时(2x+3)(x+2)<15,
所以实数a的取值范围为[15,+∞).
故选:A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若函数f(x)=x﹣alnx在点(1,1)处的切线方程为y=1,则实数a= 1 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,由条件可得a的方程,即可得到所求值.
【解答】解:函数f(x)=x﹣alnx的导数为f′(x)=1﹣,
由在点(1,1)处的切线方程为y=1,
可得在点(1,1)处的切线斜率为1﹣a=0,
解得a=1.
故答案为:1.
14.已知变量x,y,满足:,则z=2x+y的最大值为 4 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出可行域,根据可行域移动目标函数,根据直线的截距得出最优解.
【解答】解:作出约束条件表示的可行域如图:
由z=2x+y得y=﹣2x+z.
由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时,直线的截距最大,即z最大.
解方程组,得B(1,2).
∴z的最大值为z=2×1+2=4.
故答案为:4.
15.若f(x)+f(x)dx=x,则f(x)dx= .
【考点】定积分.
【分析】对已知等式两边求导,得到f'(x)=1,所以设f(x)=x+c,利用已知等式求出c,得到所求.
【解答】解:对f(x)+∫01f(x)dx=x两边求导,得到f'(x)=1,所以设f(x)=x+c,
由已知x+c+(x2+cx)|=x,解得c=﹣,
所以=()|=;
故答案为:.
16.α,β是两平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是 ①或③ .
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明,得出结论.
【解答】解:①因为AC⊥α,且EF⊂α,所以AC⊥EF.
又AB⊥α且EF⊂α,所以EF⊥AB.
因为AC∩AB=A,AC⊂平面ACBD,AB⊂平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因为BD⊂平面ACBD,所以BD⊥EF.
所以①可以成为增加的条件.
②AC与α,β所成的角相等,AC与EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF与平面ACDB不垂直,所以就推不出EF与BD垂直.
所以②不可以成为增加的条件.
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD.
所以EF与CD在β内的射影垂直,
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC,
因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACBD,CD⊂平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF.
所以③可以成为增加的条件.
④若AC∥EF,则AC∥平面α,所以BD∥AC,所以BD∥EF.
所以④不可以成为增加的条件.
故答案为:①③.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.等差数列{an}中,已知an>0,a1+a2+a3=15,且a1+2,a2+5,a3+13构成等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)利用等差数列的通项公式及其性质可得an.再利用等比数列的通项公式即可得出bn.
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(1)设设等差数列的公差为d,则由已知得:a1+a2+a3=3a2=15,即a2=5,
又(5﹣d+2)(5+d+13)=100,解得d=2或d=﹣13(舍),
a1=a2﹣d=3,
∴an=a1+(n﹣1)×d=2n+1,
又b1=a1+2=5,b2=a2+5=10,
∴q=2
∴.
(2)∵,
,
两式相减得,
则.
18.为普及学生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段)
频数(人数)
频率
[60,70)
9
x
[70,80)
y
0.38
[80,90)
16
0.32
[90,100)
z
s
合计
p
1
(1)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格,记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)由题意知,参赛选手共有50人,由此能求出表中的x,y,x,s,p的值.
(Ⅱ)由题意随机变量X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望.
【解答】解:(1)由题意知,参赛选手共有p==50人,
∴x==0.18,
y=50×0.38=19,z=50﹣9﹣19﹣16=6.
s=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共6人,随机变量X的可能取值为0,1,2…
,
,
,…
随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
P
因为,
所以随机变量X的数学期望为l.…
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若PD与平面PAB所成的角为300,求二面角D﹣PC﹣B的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)连结OP,推导出OP⊥AB,从而OP⊥平面ABCD,由OP⊥OD,OP⊥OC,得OD⊥OC,再由OP⊥OC,能证明OC⊥PD.
(2)设AD=1,则AB=2,推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角,设PC的中点为M,连接DM,则DM⊥PC在Rt△CBP中,过M作NM⊥PC,交PB于点N,则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角,由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值.
【解答】证明:(1)连结OP,∵PA=PB,O为AB的中点,∴OP⊥AB.
∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴OP⊥平面ABCD,
∴OP⊥OD,OP⊥OC,
∵OD⊥PC,∴OD⊥平面OPC,
∴OD⊥OC,…
又∵OP⊥OC,∴OC⊥平面OPD,
∴OC⊥PD. …
解:(2)在矩形ABCD中,由(1)得OD⊥OC,∴AB=2AD,不妨设AD=1,则AB=2.
∵侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,
∴DA⊥平面PAB,CB⊥平面PAB,△DPA≌△DPA,
∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角
∴∠DPA=30°,∠CPB=30°,,
∴DP=CP=2,∴△PDC为等边三角形,…
设PC的中点为M,连接DM,则DM⊥PC
在Rt△CBP中,过M作NM⊥PC,交PB于点N,则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角.
由于∠CPB=30°,PM=1,∴在Rt△PMN中,,,
∵,
∴,
∴ND2=3+1=4,
∴,
即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣.…
20.已知椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的内切圆半径为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为,且经过点,求出a,b,c,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)设直线l的方程为x=ty﹣1,代入椭圆方程得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切,结合已知条件能求出圆的方程.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆的离心率为,且经过点,两个焦点分别为F1,F2.
∴,a=2c,∴a2=4c2,b2=3c2,
将点的坐标代入椭圆方程得c2=1,
故所求椭圆方程为.…
(Ⅱ)设直线l的方程为x=ty﹣1,代入椭圆方程得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,
判别式大于0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),△AF2B的内切圆半径为r0,
则有,,
∴=,
而
=
=,
∴,解得t2=1,
∵所求圆与直线l相切,∴半径=,
∴所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=2.…
21.已知函数f(x)=+ax,x>1.
(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值;
(Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,得到a的不等式,利用二次函数的求出最小值,得到a的范围.
(Ⅱ)利用a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,然后求解函数的极值.
(Ⅲ)化简方程(2x﹣m)lnx+x=0,得,利用函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点,结合由(Ⅱ)可知,f(x)的单调性,推出实数m的取值范围.
【解答】(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)函数f(x)=+ax,x>1.
,由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立;﹣﹣﹣
∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵x∈(1,+∞),∴lnx∈(0,+∞),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴时函数t=的最小值为,
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(Ⅱ) 当a=2时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令f′(x)=0得2ln2x+lnx﹣1=0,
解得或lnx=﹣1(舍),即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当时,f'(x)<0,当时,f′(x)>0
∴f(x)的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(Ⅲ)将方程(2x﹣m)lnx+x=0两边同除lnx得
整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由(Ⅱ)可知,f(x)在上单调递减,在上单调递增,当x→1时,,∴,
实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.
(Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA;
(Ⅱ)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)根据直径的性质即可证明:∠CBD=∠DBA;
(Ⅱ)结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径.
【解答】证明:(Ⅰ)∵DE是⊙O的直径,
则∠BED+∠EDB=90°,
∵BC⊥DE,
∴∠CBD+∠EDB=90°,即∠CBD=∠BED,
∵AB切⊙O于点B,
∴∠DBA=∠BED,即∠CBD=∠DBA;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BD平分∠CBA,
则=3,
∵BC=,
∴AB=3,AC=,
则AD=3,
由切割线定理得AB2=AD•AE,
即AE=,
故DE=AE﹣AD=3,
即可⊙O的直径为3.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系x Oy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点 O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,圆C的方程为.
(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点 P坐标为,圆C与直线l交于 A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)先利用两方程相加,消去参数t即可得到l的普通方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的直角坐标方程.
(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,利用参数的几何意义,求|PA|+|PB|的值.
【解答】解:(Ⅰ)由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
又由得 ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y﹣)2=5;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,
得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0
设t1,t2是上述方程的两实数根,
所以t1+t2=3
又直线l过点P,A、B两点对应的参数分别为t1,t2,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)
(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;
(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.
【考点】带绝对值的函数;绝对值不等式.
【分析】(Ⅰ)不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于,或,或,分别求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.
(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|,由题意可得|a﹣1|≥4,与偶此解得 a的值.
【解答】解:(Ⅰ)当a=4时,不等式f(x)≥5,即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于
,,或,或.
解得:x≤0或 x≥5.
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0,或 x≥5}. …
(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|.(当x=1时等号成立)
所以:f(x)min=|a﹣1|.…
由题意得:|a﹣1|≥4,解得 a≤﹣3,或a≥5. …
2016年9月4日