全国Ⅱ高考数学试题理 10页

‎1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）‎ 理科数学 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式：‎ 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长．‎ 球的体积公式：，其中表示球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题共65分）‎ 一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ ‎2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像是 A． B． C． D．‎ ‎3．若，则的取值范围是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎4．复数等于 A． B． C． D．‎ ‎5．如果直线与平面满足：，∥，和，那么必有 A．且 B．且∥C．∥且 D．∥且 ‎6．当时，函数的 A．最大值是1，最小值是－1 B．最大值是1，最小值是 ‎ C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1‎ ‎7．椭圆的两个焦点的坐标是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎8．若，则等于 A． B． C． D．‎ ‎9．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 A． B． C． D．‎ ‎10．等比数列的首项，前项和为，若，则等于 A． B． C．2 D．‎ ‎11．椭圆的极坐标方程为，则它的短轴上的两个顶点的极坐标是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎12．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 A．130 B．‎170 ‎C．210 D．260‎ ‎13．设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 A．2 B． C． D．‎ ‎14．母线长为1，的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 A． B． C． D．‎ ‎15．设是上的奇函数，，当时，，则等于 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共85分）‎ 注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．‎ ‎16．已知圆与抛物线的准线相切，则＝ ．‎ A B D C F E ‎17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．‎ ‎18．的值是 ．‎ ‎19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成60°的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎20．（本小题满分10分）解不等式．‎ A1‎ A C B B1‎ C1‎ E ‎21．（本小题满分11分）已知△的三个内角、、满足：，，求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，截面侧面．‎ ‎（1）求证：；‎ A1‎ A C B B1‎ C1‎ E F G ‎（2）若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数．‎ 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，交解答（2）．（右下图）‎ ‎（1）证明：在截面内，过作，是垂足．‎ ‎①∵ ‎ ‎∴侧面，取的中点，连结，，由得，‎ ‎②∵ ‎ ‎∴侧面，得∥，、确定一个平面，交侧面于．‎ ‎③∵ ‎ ‎∴∥，四边形是平行四边形，，‎ ‎④∵ ‎ ‎∴∥，△∽△，‎ ‎⑤∵ ‎ ‎∴，即，故 ‎23．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？‎ ‎（粮食单产＝，人均粮食占有量＝‎ ‎24．（本小题满分12分）已知、是过点的两条互相垂直的直线，且、与双曲线各有两个交点，分别为、和、．‎ ‎（1）求的斜率的取值范围；‎ ‎（2）若，求、的方程．‎ ‎25．（本小题满分12分）已知、、是实数，函数，，当时，．‎ ‎（1）证明：； ‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）设，当时，的最大值为2，求．‎ 数学试题参考答案 一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 题号 ‎１‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．‎ 三、解答题 ‎17．‎ ‎1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 说明：‎ 一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．‎ ‎(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎（16）2 （17）32 （18） （19）‎ 三．解答题 ‎(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．‎ 解：(Ⅰ)当a＞1时，原不等式等价于不等式组： ——2分 由此得．‎ 因为1－a<0，所以x<0，∴ ——5分 ‎(Ⅱ)当01或x<0，由②得，∴ ——10分 综上，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为 ——11分 ‎(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．‎ 解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°． ——2分 ‎∵∴‎ 将上式化为 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 ‎ ——6分 将代入上式得 将代入上式并整理得 ‎ ——9分 ‎∵∴从而得 ——12分 解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°．‎ 设，可得， ——3分 所以 ‎ ——7分 依题设条件有，‎ ‎∵∴‎ 整理得 ——9分 ‎∵，∴．‎ 从而得． ——12分 ‎(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．‎ ‎(Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1， ——2分 ‎②∵面ABC⊥侧面AC1， ——3分 ‎③∵BE∥侧面AC1， ——4分 ‎④∵BE∥AA1， ——5分 ‎⑤∵AF=FC， ——6分 ‎(Ⅱ)解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D．‎ ‎∵∥，∴‎ ‎∵∠B‎1A1C1=∠B‎1 C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=（180°－∠D B‎1A1）=30°，‎ ‎∴∠DA‎1C1=∠DA1B1+∠B‎1A1C1=90°，即⊥ ——9分 ‎∵CC1⊥面A‎1C1B1，即A‎1C1是A‎1C在平面A‎1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A‎1C，‎ 所以∠CA‎1C1是所求二面角的平面角． ——11分 ‎∵CC1=AA1=A1B1=A‎1C1，∠A‎1C1C=90°，∴∠CA‎1C1=45°，即所求二面角为45° ——12分 ‎(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．‎ 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．‎ 依题意得不等式 ‎ ——5分 化简得 ——7分 ‎∵‎ ‎ —— 9分 ‎∴x≤4（公顷）．‎ 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少‎4公顷． ——10分 ‎(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．‎ 解：（I）依题设，l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P且与双曲线有两个交点，故方程组 ‎ ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y，整理得 ②‎ 若，则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故，即，方程②的判别式为 设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组 ③‎ 有两个不同的解．在方程组③中消去y，整理得 ④‎ 同理有 又因为l1⊥l2，所以有k1·k2=－1． ——4分 于是，l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于解得 ——6分 ‎∴ ——7分 ‎(Ⅱ)设由方程②知 ‎∴│A1B1│2=(x1－x2)2+(y1－y2)2 ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得，整理得 ⑥‎ 由，得 将⑤、⑥代入上式得解得 取时，；‎ 取时，． ——12分 ‎(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．‎ ‎(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1，取x=0得│c│=│f(0)│≤1，即│c│≤1． ——2分 ‎(Ⅱ)证法一：当a>0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)，‎ ‎∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)，│c│≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2，‎ g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(│f(－1)│+│c│)≥－2， ‎ 由此得│g(x)│≤2; ——5分 当a<0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)，‎ ‎∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)，│c│≤1，∴g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≤│f(－1)│+│c│≤2，‎ g(1)=a+b=f(1)－c≥－(│f(1)│+│c│)≥－2，由此得│g(x)│≤2; ——7分 当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c．‎ ‎∵－1≤x≤1，∴│g(x)│=│f(1)－c│≤│f(1)│+│c│≤2．‎ 综上得│g(x)│≤2． ——8分 证法二：由，可得 ‎ ——6分 当－1≤x≤1时，有 根据含绝对值的不等式的性质，得 即│g(x)│≤2． ——8分 ‎(Ⅲ)因为a>0，g(x)在[－1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2． ①‎ ‎∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1． ——10分 因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，‎ 根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图像的对称轴，由此得 由① 得a=2．所以 f(x)=2x2－1． ——12分