广东高考数学理科试题及答案详解含有所有题目及详解 11页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ 1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.‎ 2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。‎ 4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.‎ 线性回归方程中系数计算公式,.‎ 其中表示样本均值.‎ 是正整数，则…）‎ ‎.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】B;依题意得，故选B.‎ ‎2．已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为 A．0　　　　 B．1　　　 C．2　　　　 　 D．3‎ ‎3. 若向量，，满足∥且⊥，则 A．4　　　　 B．3　　　　 　 C．2　　　　　 　 D．0‎ ‎【解析】D;因为∥且⊥,所以⊥，从而，故选D.‎ ‎4. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．是偶函数　　　　　　　　　　　B．是奇函数 C．是偶函数　　　　　　　　　　　D．是奇函数 ‎【解析】A;依题意,故,从而 是偶函数，故选A.‎ ‎5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 x y O ‎2‎ A A．　　　　 B．　　‎ C．4　　　 　　 D．3‎ ‎ 【解析】C;目标函数即,画出可行域如图所示，代入端点 比较之，易得当时取得最大值,故选C．‎ ‎6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，‎ 乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获 得冠军的概率为 A．　　　　 B．　　　　　C．　　　　 D．‎ ‎【解析】D;设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D．‎ ‎7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，‎ 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】B;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 ‎ 的四棱柱，又平行四边形的底边长为,高为,所以面积 ‎ ,从而所求几何体的体积,故选B．‎ ‎8.设是整数集的非空子集，如果有，则称 关于数的乘法是封闭的. 若,是的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是 A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. 中每一个关于乘法都是封闭的 ‎【解析】A;因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数，偶数，显然两者都封闭，从而选A．‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ ‎9. 不等式的解集是 .‎ ‎【解析】;解法一:原不等式或或,解得,从而原不等式的解集为.‎ 解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数轴易得.‎ 解法三:不等式即,平方得,解得.‎ ‎10. 的展开式中，的系数是 （用数字作答）‎ ‎【解析】;题意等价于求的展开式中的系数,‎ ‎,令得,故所求系数为.‎ ‎11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则______.‎ ‎【解析】由得,,故.‎ 或者：‎ ‎12. 函数在_____处取得极小值.‎ ‎ 【解析】;,当或时，；当时，，故当时，取得极小值.‎ ‎13. 某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.‎ 父亲的身高(x)‎ ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ 儿子的身高(y)‎ ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎ 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .[来源:Ks5u.com]‎ ‎15.(几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，‎ ‎∠=∠, 则= .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ 16. ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设求的值.‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 因为所以，‎ 又所以，，‎ 所以.‎ ‎ ‎ 17. ‎ (本小题满分13分)‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5 件，测量产品中的微量元素 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（Ⅰ）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（Ⅱ）当产品中的微量元素x , y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（Ⅲ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）乙厂生产的产品数量为件.‎ ‎ （Ⅱ）样本中满足x≥175，且y≥75的产品有件,故样本频率为,则可估计乙厂生产的优等品数量为件.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为,且,,,‎ 故的分布列为 的数学期望.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 如图5,在椎体中,是边长为1的菱形，‎ 且,,,分别是 的中点.‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面;‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接，，‎ x y z M ‎ 因为是边长为的菱形，且，‎ ‎ 是的中点，所以均为正三角形，‎ ‎ 且，‎ ‎ 所以 ‎ 所以，从而，‎ ‎ 取的中点，连接，因为，，所以,‎ ‎ 又，所以平面，所以 ‎ 在中，因为分别是的中点，所以，所以 ‎ 又，所以平面.‎ ‎ （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知为二面角的平面角,‎ 易得,,‎ 在中,,由余弦定理得 所以二面角的余弦值为.‎ 解法二:先证明平面，即证明即可，‎ 在中，；在中，‎ 所以在中，，‎ 在中，，故为直角三角形，从而.‎ 建立空间直角坐标系如图所示,则,‎ 所以,设平面的一个法向量为，则 ‎，从而，解得，令得 显然平面的一个法向量为，‎ 从而，所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（Ⅰ）求圆的圆心轨迹的方程;‎ ‎（Ⅱ） 已知点,且为上动点,求的最大值及此时点的坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为,半径为2；‎ ‎ 圆的圆心为,半径为2；依题意,有或 ‎ 所以 ‎ 所以圆的圆心轨迹是以原点为中心,焦点在轴上,焦距为,实轴长为的双曲线,‎ ‎ 因此,,故轨迹的方程为.‎ ‎ （Ⅱ）易得过点的直线的方程为,‎ ‎ 联立方程消去得,解得,‎ ‎ 则直线与双曲线的交点为,‎ ‎ 因为在线段外,所以,‎ ‎ 因为在线段内,所以,‎ ‎ 若点不住上,则,‎ ‎ 综上, 的最大值为,此时点的坐标为.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 设,数列满足,.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：对于一切正整数,‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得,‎ ‎ 当时, , 所以是以首项为,公差为的等差数列,‎ ‎ 所以,从而.‎ ‎ 当时, ,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,从而.‎ ‎ 综上所述,数列的通项公式为 ‎ （Ⅱ）当时,不等式显然成立;‎ ‎ 当时,要证,只需证,即证(*)‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；‎ 综上所述，当时，对于一切正整数,‎ ‎ (解后反思)事实上如果利用多元基本不等式更简单,‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系上,给定抛物线:,实数满足 ‎,是方程的两根，记.‎ ‎ （Ⅰ）过点作的切线交轴于点.证明:对线段上任一点有 ‎ （Ⅱ）设是定点，其中满足,.过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交与.线段上异于两端点的点集记为.证明:;‎ ‎（Ⅲ）设.当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为).‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为,所以,过点的切线方程为 ‎ 即,从而,又在直线上,故,其中 ‎ 所以方程为,解得,‎ ‎ 由于,且同号,所以,所以 ‎ （Ⅱ）过点且切点为的的切线方程为:‎ ‎ 因为,所以且,因为,‎ ‎ 所以,即 ‎ 即,所以,所以 ‎ 因为,且同号,所以 ‎ 反之也成立,所以,‎ ‎ 由（Ⅰ）可知,,反之,逆推也成立,所以 ‎ 综上,.‎ ‎ （Ⅲ）此题即求当点取遍时,方程的绝对值较大的根的最大值与最小值,‎ ‎ 解方程得,因为,‎ ‎ 令,解得或，所以，‎ ‎ 因为，所以，于是 ‎ 所以，所以 ‎ 设（），令，则 ‎ 则，所以 ‎ 综上，当或时，；当时，.‎