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- 2021-05-14 发布
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选修4-4 坐标系与参数方程
考点 坐标系与参数方程
1.(2014·安徽,4)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
1.D [由消去t得x-y-4=0,
C:ρ=4cos θ⇒ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2.
∴点C到直线l的距离d==,∴所求弦长=2=2.故选D.]
2.(2014·北京,3)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上
2.B [曲线(θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.]
3.(2014·江西,11(2))若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
3. A [∵∴y=1-x化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρ=.
∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤.故选A.]
4.(2017•北京,11)在极坐标系中,点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________.
4.1 设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C,将圆C的极坐标方程化为:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,
再化为标准方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1;
如图,当A在CP与⊙C的交点Q处时,|AP|最小为:
|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1,
故答案为:1.
5.(2017·天津,11)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣ )+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________.
5.2 直线4ρcos(θ﹣ )+1=0展开为:4ρ +1=0,化为:2 x+2y+1=0.
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.
∴圆心C(0,1)到直线的距离d= = <1=R.∴直线4ρcos(θ﹣ )+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2.故答案为:2.
6.(2016·北京,11)在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|=________.
6.2 [直线的直角坐标方程为x-y-1=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.圆心坐标为(1,0),半径r=1.点(1,0)在直线x-y-1=0上,所以|AB|=2r=2.]
7.(2015·广东,14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.
7. [依题已知直线l:2ρsin=和点A可化为l:x-y+1=0和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d==.]
8.(2015·北京,11)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________.
8.1 [在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为:x+y=6,∴点(1,)到直线的距离为d===1.]
9.(2015·安徽,12)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是________.
9.6 [由ρ=8sin θ得x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,由θ=得y=x,即x-y=0,∴圆心(0,4)到直线y=x的距离为2,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=的最大距离为4+2=6.]
10.(2015·重庆,15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.
10.(2,π) [直线l的直角坐标方程为y=x+2,由ρ2cos 2θ=4得ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,直角坐标方程为x2-y2=4,把y=x+2代入双曲线方程解得x=-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π).]
11.(2017•新课标Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).(10分)
(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.
11.(1)解:曲线C的参数方程为 (θ为参数),化为标准方程是: +y2=1;
a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0;
联立方程 ,
解得 或 ,
所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(﹣ , ).
(2)l的参数方程 (t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0,
椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),
所以点P到直线l的距离d为:
d= = ,φ满足tanφ= ,
又d的最大值dmax= ,
所以|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|的最大值为17,
得:5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17,
即a=﹣16或a=8.
12.(2017•新课标Ⅱ,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(Ⅰ)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点A的极坐标为(2, ),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
12.解:(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为:x=4,
设P(x,y),M(4,y0),则 ,∴y0= ,
∵|OM||OP|=16,
∴ =16,
即(x2+y2)(1+ )=16,
整理得:(x﹣2)2+y2=4(x≠0),
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程:(x﹣2)2+y2=4(x≠0).
(Ⅱ)点A的直角坐标为A(1, ),显然点A在曲线C2上,|OA|=2,
∴曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d= = ,
∴△AOB的最大面积S= |OA|•(2+ )=2+ .
13.(2017•新课标Ⅲ,22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 ,(t为参数),直线l2的参数方程为 ,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,
P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)写出C的普通方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
13.(Ⅰ)∵直线l1的参数方程为 ,(t为参数),
∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)①;
又直线l2的参数方程为 ,(m为参数),
同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky②;
联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4;
(Ⅱ)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,
∴其普通方程为:x+y﹣ =0,
联立 得: ,
∴ρ2=x2+y2= + =5.
∴l3与C的交点M的极径为ρ= .
14.(2017•江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
14.直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,
∴P到直线l的距离d= = ,
∴当s= 时,d取得最小值 = .
15.(2016·全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
15.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.
所以a=1.
16.(2016·全国Ⅱ,23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|=,求l的斜率.
16.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.
17.(2016·全国Ⅲ,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
17.解 (1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值,
d(α)==.
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
18.(2015·江苏,21)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.
18.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,
化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.
19.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
19.解 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN为等腰直角三角形,
所以△C2MN的面积为.
20.(2015·福建,21(2))在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).
①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
②设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
20.解 ①消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
由ρsin=m,得ρsin θ-ρcos θ-m=0.
所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
②依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即=2,解得m=-3±2.
21.(2015·湖南,16Ⅱ)已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
21.解 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.
设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
22.(2014·湖北,16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.则C1与C2交点的直角坐标为________.
22.(,1) [曲线C1为射线y=x(x≥0).曲线C2为圆x2+y2=4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.
因为tan∠POQ=,所以∠POQ=30°,又∵OP=2,所以C1与C2的交点P的直角坐标为(,1).]
23.(2014·重庆,15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.
23. [直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2).故该点的极径ρ==.]
24.(2014·天津,13)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为________.
24.3 [圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,直线的直角坐标方程为y=a,因为△AOB为等边三角形,则A(±,a),代入圆的方程得+a2=4a,故a=3.]
25.(2014·湖南,11)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是________.
25.·ρcos=1 [曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|=2知,AB为圆的直径,故直线l过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为,即斜率为1,从而直线l的普通方程为y=x-1,从而其极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即·ρcos=1.]
26.(2014·广东,14)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.
26.(1,1) [由ρsin2θ=cos θ得ρ2sin 2θ=ρcos θ,其直角坐标方程为y2=x,ρsin θ=1的直角坐标方程为y=1,由得C1和C2的交点为(1,1).]
27.(2014·辽宁,23)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
27.解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),
依题意,得由x+y=1得x2+=1,
即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得:或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=
,于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=.
28.(2014·江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
28.解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,
得=4,解得t1=0,t2=-8.所以|AB|=|t1-t2|=8.