20152017三年高考分析极坐标与参数方程 11页

坐标系与参数方程 一． 考纲 ‎（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.‎ ‎（4）了解参数方程，了解参数的意义.‎ ‎（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 二、坐标系与参数方程命题分析 解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。‎ 三、考点 ‎（一）方程互化问题 互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.‎ 互化公式： 或 （θ的象限由点(x,y)所在的象限确定）‎ 名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.‎ ‎1、极坐标方程与直角坐标方程的互化 考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）‎ ‎（2016全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ 答案：（Ⅰ）‎ 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化 命题意图：重点考查了转化与化归能力 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.‎ 强化训练1. （2015新课标1，23）在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ 解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为 考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）‎ ‎（2015新课标2 ，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ 答案：和 考点：直角坐标及极坐标方程的互化 试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 总结提升：1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.‎ 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.‎ 强化训练 ‎1．（2016 全国卷3，23）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ （I） 写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ 答案：的普通方程为，的直角坐标方程为. ‎ ‎2、参数方程普通方程的互化 考题1（参数方程化为普通方程）‎ ‎（2017课标3，22）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ 答案：（1）；（2）‎ 试题解析：（1）直线的普通方程为，直线的普通方程为，‎ 消去k得 ， 即C的普通方程为.‎ ‎（2）化为直角坐标方程为，‎ 联立 得 ，‎ ‎∴， ‎ ‎∴与C的交点的极径为. ‎ 考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程 总结升华：（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。（2）利用将极坐标方程化直角坐标方程 强化训练 ‎1.（2017课标1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；‎ 答案：（1），‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为．‎ 当时，直线的普通方程为．‎ 由解得或．从而与的交点坐标为，．‎ ‎2. （2016高考新课标23）在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ 答案：（I）圆,（II）1‎ 试题解析：⑴ （均为参数）,∴ ①‎ ‎∴为以为圆心,为半径的圆．方程为 ‎∵,∴ 即为的极坐标方程 ⑵ ,两边同乘得 ‎,即 ②‎ ‎：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：,即为 ‎∴,∴‎ 考题2（普通方程化为参数方程化）‎ 已知曲线C：，直线l： (t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ 分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解 解：（1）曲线C的参数方程为 ‎ ‎ ‎（θ为参数）故直线l的普通方程为2x+y-6=0‎ 名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化 ‎（二）弦长问题 考题1. 1（2016江苏21）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长 解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.‎ ‎.‎ 考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题 总结升华：1、“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.‎ ‎2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法：‎ ‎（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式计算。‎ 其中，k为直线的斜率，x1、x2为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在) （2）利用直线的参数方程来解； （3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中ρ的几何意义就表示距离。‎ 变式训练 ‎1（2015新课标2，23）在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（I）求与交点的直角坐标；‎ ‎（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ 答案：（I）；（II）4.‎ 试题解析：‎ 解：（I）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.‎ ‎（II）曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以 ‎,当时取得最大值,最大值为4.‎ ‎2.（2016全国卷2）在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ 答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎（三）距离问题 考题2 [2016高考新课标3，23]在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ 答案：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）．‎ 试题分析：利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式求C2的极坐标方程即可；利用参数方程表示出P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立PQ=d(a)的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P坐标即可。‎ 试题解析：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ‎ 考点：极坐标方程，参数方程化为普通方程；点到直线的距离问题；利用辅助角公式求最值 命题方向：选做题 命题意图：熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式，点到直线距离公式，以及数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力 总结提高：一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．‎ 强化训练 ‎1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ 答案：1‎ 试题解析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程 化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式 ‎2. （2015高考陕西，23）‎ 在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出的直角坐标方程；‎ ‎(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ 答案：(I) ； (II) .‎ ‎3.（2017全国卷1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ‎（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 解：（1）曲线的普通方程为，‎ 当时，直线的普通方程为 由解得或 从而与的交点坐标为 ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 当时，的最大值为，由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为，由题设得，所以 综上，或 ‎（四）面积问题 考题1.（2015高考新课标1，23）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ 答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.‎ ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ 考点:直角坐标方程与极坐标互化；三角形面积问题 方法：设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质即可解决问题 总结提升：本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长，面积等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。‎ 变式训练 ‎1.(2017课标II，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。‎ 答案：(1)；(2) 。‎ 试题解析：（1）设的极坐标为，M的极坐标为，由题设知。‎ 由得的极坐标方程。‎ 因此的直角坐标方程为。‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积 当时，S取得最大值。‎ 所以面积的最大值为。‎ ‎ 数学组 蒙先彩 ‎2017年12月5日