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  • 2021-05-14 发布

高考中所遇的超越方程伪二次函数

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超越函数——伪二次函数 如果说函数是高考的重头戏,那么高考数学试卷中所涉及的函数多数属于超越函数。今天我们来认识的超越函数叫伪二次函数,它常作为解答题甚至是压轴题的研究对象。‎ 形如fx=ax‎2‎+bx+clnx,‎(ac≠0)‎的函数称为伪二次函数。‎ 首先伪二次函数是超越函数,其定义域为‎(0,+∞)‎。‎ 伪二次函数的导函数f‎'‎x‎=2ax+b+cx(ac≠0)‎为代数函数,当b=0‎时导函数为莱克函数。‎ 又由f‎'‎x‎=‎‎2ax‎2‎+bx+cxac≠0‎可知其分子为二次函数。‎ 设g(x)=2ax‎2‎+bx+c(x>0)‎,则方程‎2ax‎2‎+bx+c=0‎的判别式为‎∆=b‎2‎-8ac。‎ 下面给出a>0‎时,关于函数fx性质和图像的结论。 ‎ ‎(1)当a>0‎,且方程‎2ax‎2‎+bx+c=0‎无正根时,fx是‎(0,+∞)‎上单调增函数,无最大值和最小值,其图像大致为:‎ ‎(2)当‎ a>0‎,且方程‎2ax‎2‎+bx+c=0‎有两相等正根时,fx是‎(0,+∞)‎上单调增函数,无最大值和最小值,其图像大致为:‎ ‎(3) 当‎ a>0‎,且方程‎2ax‎2‎+bx+c=0‎有一正根一负根时,设x‎0‎为其正根,fx在‎(0,x‎0‎)‎上为减函数,在‎(x‎0‎,+∞)‎上是增函数,当x=‎x‎0‎时,fx取最小值,其图像大致为:‎ ‎ (4)当a>0‎,且方程‎2ax‎2‎+bx+c=0‎有两不相等正根时,设其根为x‎1‎,x‎2‎, (x‎1‎‎<‎x‎2‎),则fx在‎(0,x‎1‎)‎上为增函数,在‎(x‎1‎,x‎2‎)‎上为减函数,在‎(x‎2‎,+∞)‎上是增函数,当x=‎x‎1‎时,fx取得极大值,当x=‎x‎2‎时,fx取得极小值,其图像大致为 当‎ a<0‎时,可做一个变换,得到类似的结论。‎ 伪二次函数是高考常考函数之一,仅举几道2015年真题说明。‎ 例1【2015年福建文科(22)】(本小题满分14分) 已知函数 fx=‎lnx-‎‎(x-1)‎‎2‎‎2‎‎ .‎ ‎(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)证明:当x>1时,fx1‎,当x∈(1,x‎0‎)‎时,恒有fx>k(x-1). ‎ 解析:(Ⅰ)‎f‎'‎x‎=‎1‎x-x+1=‎-x‎2‎+x+1‎x,x∈(0,+∞)‎ 由f‎'‎x>0得x>0,‎‎-x‎2‎+x+1>0‎解得‎01‎时,Fx1‎时,‎fx1‎满足题意 ‎ 当k>1时,对于x>1,有f(x)1‎满足题意 ‎ 当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞)‎,‎ ‎ 则有G‎'‎x‎=‎1‎x-x+1-k=‎‎-x‎2‎+(1-k)x+1‎x ‎ 由G‎'‎x‎=0‎得,‎‎-x‎2‎+‎1-kx+1=0‎ ‎ 解得x‎1‎‎=‎1-k-‎‎(1-k)‎‎2‎‎+4‎‎2‎<0‎,‎x‎2‎‎=‎1-k+‎‎(1-k)‎‎2‎‎+4‎‎2‎>1‎ ‎ 当x∈(1,x‎2‎)‎时,G‎'‎x‎>0‎,故G(x)在‎[1,x‎2‎)‎内单调递增 ‎ 从而当x∈(1,x‎2‎)‎时,G(x)> G(1)=0,即f(x)>k(x-1)‎ 综上,k的取值范围是‎(-∞,1)‎。‎ 例2【2015年北京文科(19)】(本小题13分)‎ ‎ 设函数fx=x‎2‎‎2‎-klnx,‎k>0‎。‎ ‎ (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎ (Ⅱ)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间‎(1,e]‎上仅存有一个零点.‎ 解析:(Ⅰ)由函数fx=x‎2‎‎2‎-klnx,‎k>0‎知 ‎ f‎'‎x‎=x-kx=‎x‎2‎‎-kx,令f‎'‎x‎=0‎,得x‎1‎‎=‎k。‎ ‎ f(x)与f‎'‎x在区间‎(0,+∞)‎上的情况如下 x ‎(0,k)‎ k ‎(k,‎+∞)‎ f‎'‎x ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ k(1-lnk)‎‎2‎ ‎↗‎ 所以,f(x)的单调递减区间是‎(0,k)‎,单调递增区间是‎ (k,‎+∞)‎;‎ f(x)在x=‎k处取得极小值fk=‎k(1-lnk)‎‎2‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在区间‎(0,+∞)‎上的最小值为fk=‎k(1-lnk)‎‎2‎ 因为f(x)存在零点,所以k(1-lnk)‎‎2‎‎≤0‎,从而k≥e 当k=e时,f(x) 在区间‎(1,e)‎上单调递减,且fe=0‎ 所以x=‎e是f(x)在区间‎(1,e]‎上的唯一零点。‎ 当k>e时,f(x) 在区间‎(1,e)‎上单调递减,且f‎1‎=‎1‎‎2‎>0‎,‎fe=e-k‎2‎<0‎ 所以f(x)在区间‎(1,e]‎上仅存有一个零点。‎ 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间‎(1,e]‎上仅存有一个零点。‎ 例3【2015年山东理科(21)】(本小题满分14分)‎ 设函数fx=‎lnx+1‎‎+a(x‎2‎-x)‎其中a∈R。‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若‎∀x>0,fx≥0‎成立,求a得取值范围。‎ 解析:(Ⅰ)由题意知,函数fx的定义域为‎(-1,+∞)‎ ‎ ‎f‎'‎x‎=‎1‎x+1‎+a‎2x-1‎=‎‎2ax‎2‎+ax-a+1‎x+1‎ ‎ 令gx=2ax‎2‎+ax-a+1‎,x∈(-1,+∞)‎,‎ ⑴当a=0‎时,g(x)=1,‎ 此时f‎'‎x‎>0‎,函数fx在‎(-1,+∞)‎单调递增,无极值点;‎ ⑵当a>0‎时,‎∆=a‎2‎-8a‎1-a=a(9a-8)‎,‎ ①当‎0‎‎8‎‎9‎时,‎∆>0‎,‎ 设方程‎2ax‎2‎+ax-a+1=0‎的两根为x‎1‎,x‎2‎‎(x‎1‎-‎‎1‎‎4‎ 由g(-1)=1>0‎,可得‎-10‎,f‎'‎x‎>0‎,函数fx单调递增;‎ 当x∈(x‎1‎,x‎2‎)‎时,gx<0‎,f‎'‎x‎>0‎,函数fx单调递减;‎ 当x∈(x‎2‎,+∞)‎时,gx<0‎,f‎'‎x‎>0‎,函数fx单调递增;‎ 因此函数fx有两个极值点。‎ ⑶当a<0‎时,‎∆>0‎,‎ ‎ 由g(-1)=1>0‎,可得x‎1‎‎<-1‎,‎ 当x∈(-1,x‎2‎)‎时,gx>0‎,f‎'‎x‎>0‎,函数fx单调递增;‎ 当x∈(x‎2‎,+∞)‎时,gx<0‎,f‎'‎x‎<0‎,函数fx单调递减;‎ 所以函数有一个极值点。‎ 综上所述,当a<0‎时,函数fx有一个极值点;‎ ‎ 当‎0‎‎8‎‎9‎时,函数fx有两个极值点。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ⑴当‎00‎,符合题意;‎ ⑵当‎8‎‎9‎‎0‎,符合题意;‎ ⑶当a>1‎时,g‎0‎<0‎,得x‎2‎‎>0‎ 所以x∈(0,x‎2‎)‎时,函数fx单调递减;‎ 因为f‎0‎=0‎,‎ 所以x∈(0,x‎2‎)‎时,fx<0‎,不符合题意;‎ ⑷当a<0‎时,设 hx=x-‎ln‎(x+1)‎,‎ 因为x∈(0,+∞)‎时,h‎'‎x‎=1-‎1‎x+1‎=xx+1‎>0‎,‎ 所以hx在‎(0,+∞)‎上单调递增,‎ 因此当x∈(0,+∞)‎时,hx>h‎0‎=0‎,即 x>‎ln‎(x+1)‎,‎ 可得fx1-‎‎1‎a时,ax‎2‎+‎1-ax<0‎,‎ 此时fx<0‎,不符合题意。‎ 综上所述,a的取值范围是‎[0,1]‎。 ‎ 例4【2015年四川理科(21)】(本题满分14分)‎ 已知函数fx=-2x+alnx+x‎2‎-2ax-2a‎2‎+a,其中a>0‎,‎ ‎(I)设gx是fx的导函数,讨论函数gx的单调性。‎ ‎(II)证明:存在a∈(0,1)‎使得fx≥0‎在区间‎(1,+∞)‎内恒成立,且fx=0‎在区间‎(1,+∞)‎内有唯一解。‎ 解析:(I)由已知,函数fx的定义域为‎(0,+∞)‎,‎ ‎ ‎ gx=f‎'‎x=2x-a-2lnx-2(1+ax)‎,‎ ‎ 所以g‎'‎x‎=2-‎2‎x+‎2ax‎2‎=‎‎2‎(x-‎1‎‎2‎)‎‎2‎+2(a-‎1‎‎4‎)‎x‎2‎,‎ ‎ 当‎00‎,‎φe=-ee-2‎‎1+‎e‎-1‎-2e-2‎‎1+‎e‎-1‎‎2‎<0‎ 故存在x‎0‎‎∈(1,e)‎,使得φx‎0‎=0‎,‎ 令a‎0‎‎=‎x‎0‎‎-1-‎lnx‎0‎‎1+‎x‎0‎‎-1‎,ux=x-1-lnx(x≥1)‎,‎ 由u'x=1-‎1‎x≥0‎知,函数ux在区间(1,+∞)‎上单调递增 所以‎0=u‎1‎‎1+1‎fx‎0‎=0‎;‎ 当x∈(x‎0‎,+∞)‎时,f'x>0‎,从而fx>fx‎0‎=0‎;‎ 所以,当x∈(1,+∞)‎时,‎fx≥0‎ 综上所述,存在a∈(0,1)‎,使得fx≥0‎在区间‎(1,+∞)‎内恒成立,且fx=0‎在区间‎(1,+∞)‎内有唯一解。‎