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- 2021-05-14 发布
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超越函数——伪二次函数
如果说函数是高考的重头戏,那么高考数学试卷中所涉及的函数多数属于超越函数。今天我们来认识的超越函数叫伪二次函数,它常作为解答题甚至是压轴题的研究对象。
形如fx=ax2+bx+clnx,(ac≠0)的函数称为伪二次函数。
首先伪二次函数是超越函数,其定义域为(0,+∞)。
伪二次函数的导函数f'x=2ax+b+cx(ac≠0)为代数函数,当b=0时导函数为莱克函数。
又由f'x=2ax2+bx+cxac≠0可知其分子为二次函数。
设g(x)=2ax2+bx+c(x>0),则方程2ax2+bx+c=0的判别式为∆=b2-8ac。
下面给出a>0时,关于函数fx性质和图像的结论。
(1)当a>0,且方程2ax2+bx+c=0无正根时,fx是(0,+∞)上单调增函数,无最大值和最小值,其图像大致为:
(2)当 a>0,且方程2ax2+bx+c=0有两相等正根时,fx是(0,+∞)上单调增函数,无最大值和最小值,其图像大致为:
(3) 当 a>0,且方程2ax2+bx+c=0有一正根一负根时,设x0为其正根,fx在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上是增函数,当x=x0时,fx取最小值,其图像大致为:
(4)当a>0,且方程2ax2+bx+c=0有两不相等正根时,设其根为x1,x2, (x1<x2),则fx在(0,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上是增函数,当x=x1时,fx取得极大值,当x=x2时,fx取得极小值,其图像大致为
当 a<0时,可做一个变换,得到类似的结论。
伪二次函数是高考常考函数之一,仅举几道2015年真题说明。
例1【2015年福建文科(22)】(本小题满分14分) 已知函数
fx=lnx-(x-1)22 .
(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:当x>1时,fx1,当x∈(1,x0)时,恒有fx>k(x-1).
解析:(Ⅰ)f'x=1x-x+1=-x2+x+1x,x∈(0,+∞)
由f'x>0得x>0,-x2+x+1>0解得01时,Fx1时,fx1满足题意
当k>1时,对于x>1,有f(x)1满足题意
当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),
则有G'x=1x-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x
由G'x=0得,-x2+1-kx+1=0
解得x1=1-k-(1-k)2+42<0,x2=1-k+(1-k)2+42>1
当x∈(1,x2)时,G'x>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增
从而当x∈(1,x2)时,G(x)> G(1)=0,即f(x)>k(x-1)
综上,k的取值范围是(-∞,1)。
例2【2015年北京文科(19)】(本小题13分)
设函数fx=x22-klnx,k>0。
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅存有一个零点.
解析:(Ⅰ)由函数fx=x22-klnx,k>0知
f'x=x-kx=x2-kx,令f'x=0,得x1=k。
f(x)与f'x在区间(0,+∞)上的情况如下
x
(0,k)
k
(k,+∞)
f'x
—
0
+
f(x)
↘
k(1-lnk)2
↗
所以,f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是 (k,+∞);
f(x)在x=k处取得极小值fk=k(1-lnk)2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为fk=k(1-lnk)2
因为f(x)存在零点,所以k(1-lnk)2≤0,从而k≥e
当k=e时,f(x) 在区间(1,e)上单调递减,且fe=0
所以x=e是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点。
当k>e时,f(x) 在区间(1,e)上单调递减,且f1=12>0,fe=e-k2<0
所以f(x)在区间(1,e]上仅存有一个零点。
综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅存有一个零点。
例3【2015年山东理科(21)】(本小题满分14分)
设函数fx=lnx+1+a(x2-x)其中a∈R。
(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;
(Ⅱ)若∀x>0,fx≥0成立,求a得取值范围。
解析:(Ⅰ)由题意知,函数fx的定义域为(-1,+∞)
f'x=1x+1+a2x-1=2ax2+ax-a+1x+1
令gx=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞),
⑴当a=0时,g(x)=1,
此时f'x>0,函数fx在(-1,+∞)单调递增,无极值点;
⑵当a>0时,∆=a2-8a1-a=a(9a-8),
①当089时,∆>0,
设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1-14
由g(-1)=1>0,可得-10,f'x>0,函数fx单调递增;
当x∈(x1,x2)时,gx<0,f'x>0,函数fx单调递减;
当x∈(x2,+∞)时,gx<0,f'x>0,函数fx单调递增;
因此函数fx有两个极值点。
⑶当a<0时,∆>0,
由g(-1)=1>0,可得x1<-1,
当x∈(-1,x2)时,gx>0,f'x>0,函数fx单调递增;
当x∈(x2,+∞)时,gx<0,f'x<0,函数fx单调递减;
所以函数有一个极值点。
综上所述,当a<0时,函数fx有一个极值点;
当089时,函数fx有两个极值点。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
⑴当00,符合题意;
⑵当890,符合题意;
⑶当a>1时,g0<0,得x2>0
所以x∈(0,x2)时,函数fx单调递减;
因为f0=0,
所以x∈(0,x2)时,fx<0,不符合题意;
⑷当a<0时,设 hx=x-ln(x+1),
因为x∈(0,+∞)时,h'x=1-1x+1=xx+1>0,
所以hx在(0,+∞)上单调递增,
因此当x∈(0,+∞)时,hx>h0=0,即 x>ln(x+1),
可得fx1-1a时,ax2+1-ax<0,
此时fx<0,不符合题意。
综上所述,a的取值范围是[0,1]。
例4【2015年四川理科(21)】(本题满分14分)
已知函数fx=-2x+alnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0,
(I)设gx是fx的导函数,讨论函数gx的单调性。
(II)证明:存在a∈(0,1)使得fx≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且fx=0在区间(1,+∞)内有唯一解。
解析:(I)由已知,函数fx的定义域为(0,+∞),
gx=f'x=2x-a-2lnx-2(1+ax),
所以g'x=2-2x+2ax2=2(x-12)2+2(a-14)x2,
当00,φe=-ee-21+e-1-2e-21+e-12<0
故存在x0∈(1,e),使得φx0=0,
令a0=x0-1-lnx01+x0-1,ux=x-1-lnx(x≥1),
由u'x=1-1x≥0知,函数ux在区间(1,+∞)上单调递增
所以0=u11+1fx0=0;
当x∈(x0,+∞)时,f'x>0,从而fx>fx0=0;
所以,当x∈(1,+∞)时,fx≥0
综上所述,存在a∈(0,1),使得fx≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且fx=0在区间(1,+∞)内有唯一解。
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