2011高考数学课下练兵等差数列及其前n项和 4页

- 1 - 第五章 第二节 等差数列及其前 n 项和 课下练兵场 一、选择题 1.(2009·福建高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S3＝ 1 3( ) 2 a a ＝6，而 a3＝4，∴a1＝0， ∴d＝ 3 1( ) 2 a a ＝2. 答案：C 2.已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前 10 项的和 S10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a3＋a5)－(a2＋a4)＝2d＝6，∴d＝3，a1＝－4， ∴S10＝10a1＋ 10 (10 1) 2 d  ＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a，b，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得 a＋c＝2b，但 a、b、c 均为零时，a、b、c 成等差数列， 但a b ＋c b≠2. 答案：B 4.数列{an}中，a2＝2，a6＝0 且数列{ 1 1na  }是等差数列，则 a4＝ ( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析：设数列{ 1 1na  }的公差为 d，由 4d＝ 6 1 1a  － 2 1 1a  得 d＝1 6 ，∴ 4 1 1a  ＝ 1 2＋1 ＋ 2×1 6 ，解得 a4＝1 2. - 2 - 答案：A 5.在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前 10 项和 S10＝36，前 18 项和 S18＝12， 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由 a1＞0，a10·a11＜0 可知 d＜0，a10＞0，a11＜0， ∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{an}中，其前 n 项和是 Sn，若 S15＞0，S16＜0，则在 1 1 S a ， 2 2S a ，…， 15 15 S a 中最 大的是 ( ) A. 1 1 S a B. 8 8 S a C. 9 9 S a D. 15 15 S a 解析：由于 S15＝ 1 1515( ) 2 a a ＝15a8＞0， S16＝ 1 1615( ) 2 a a ＝8(a8＋a9)＜0， 所以可得 a8＞0，a9＜0. 这样 1 1 S a ＞0， 2 2S a ＞0，…， 8 8 S a ＞0， 9 9 S a ＜0， 10 10 S a ＜0，…， 15 15 S a ＜0， 而 S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8， 所以在 1 1 S a ， 2 2S a ，…， 15 15 S a 中最大的是 8 8 S a . 答案：B 二、填空题 7.(2010·广州模拟)在数列{an}中，若 a1＝1，a2＝1 2 ， 2 an＋1 ＝ 1 an ＋ 1 an＋2 (n∈N*)，则该数列的通项 an＝ . 解析：由 2 an＋1 ＝ 1 an ＋ 1 an＋2 ， 1 an＋2 － 1 an＋1 ＝ 1 an＋1 － 1 an ， ∴{ 1 an }为等差数列.又 1 a1 ＝1，d＝ 1 a2 － 1 a1 ＝1， ∴ 1 an ＝n，∴an＝1 n. 答案：1 n 8.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn，若对任意自然数 n 都有Sn Tn ＝2n－3 4n－3 ，则 a9 b5＋b7 - 3 - ＋ a3 b8＋b4 的值为 . 解析：∵{an}，{bn}为等差数列， ∴ a9 b5＋b7 ＋ a3 b8＋b4 ＝ a9 2b6 ＋ a3 2b6 ＝a9＋a3 2b6 ＝2a6 2b6 . ∵S11 T11 ＝a1＋a11 b1＋b11 ＝2a6 2b6 ＝2×11－3 4×11－3 ＝19 41 ， ∴ a9 b5＋b7 ＋ a3 b8＋b4 ＝19 41. 答案：19 41 9.已知数列{an}是等差数列，若它的前 n 项和 Sn 有最小值，且a11 a10 ＜－1，则使 Sn＞0 成立 的 最小自然数 n 的值为 . 解析：由已知得，a1＜0，d＞0，a10＜0，a11＞0，a1＋a19＜0，a10＋a11＞0，∴a1＋a20＞0， ∴S19＜0，S20＞0，故 n＝20. 答案：20 三、解答题 10.(2009·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前 n 项和 Sn. 解：设{an}的公差为 d，则 1 1 1 1 ( 2 )( 6 ) 16, 3 5 0, a d a d a d a d          1 2 1 2 1 8 12 16, 4 . a da d a d        即 1 18, 8, 2 2. a a d d          解得 或 因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或 Sn＝8n－n(n－1) ＝－n(n－9). 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝25n－2n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 解：(1)证明：①n＝1 时，a1＝S1＝23. ②n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(25n－2n2)－[25(n－1)－2(n－1)2]＝27－4n，而 n＝1 适合该式. 于是{an}为等差数列. - 4 - (2)因为 an＝27－4n，若 an＞0，则 n＜27 4 ， (1 6),( 7) n n n a na a n   所以 ≤ ≤ ≥ 当 1≤n≤6 时，Tn＝a1＋a2＋…an＝25n－2n2， 当 n≥7 时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an) ＝S6－(Sn－S6)＝2n2－25n＋156， 综上所知 2 2 25 2 . 2 25 156 ( 7) n n n n n n     （1 6）≤ ≤ ≥ 12.(2010·海淀模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(c∈R， n＝1,2,3…)，且 S1，S2 2 ，S3 3 成等差数列. (1)求 c 的值； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)∵nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(n＝1,2,3，…)， ∴ Sn＋1 n＋1 －Sn n ＝ n2＋cn n(n＋1) (n＝1,2,3，…). ∵S1，S2 2 ，S3 3 成等差数列，∴S2 2 －S1 1 ＝S3 3 －S2 2 . ∴1＋c 2 ＝4＋2c 6 ， ∴c＝1. (2)由(1)得 Sn＋1 n＋1 －Sn n ＝1(n＝1,2,3，…). ∴数列{Sn n }是首项为S1 1 ，公差为 1 的等差数列. ∴Sn n ＝S1 1 ＋(n－1)·1＝n. ∴Sn＝n2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当 n＝1 时，上式也成立∴an＝2n－1(n＝1,2,3，…).