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- 2021-05-14 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)【2014年安徽,理1,5分】设是虚数单位,表示复数的共轭复数.若,则( )
(A) (B) (C)2 (D)
【答案】C
【解析】,故选C.
(2)【2014年安徽,理2,5分】“”是“”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,所以“”是“”的必要而不充分条件,故选B.
(3)【2014年安徽,理3,5分】如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
(A)34 (B)55 (C)78 (D)89
【答案】B
【解析】
1
1
2
3
5
8
13
21
1
2
3
5
8
13
21
34
2
3
5
8
13
21
34
55
,故运算7次后输出的结果为55,故选B.
(4)【2014年安徽,理4,5分】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,
建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程是(为参数),圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】将直线方程化为一般式为:,圆C的标准方程为:,
圆到直线的距离为:,∴弦长,故选D.
(5)【2014年安徽,理5,5分】满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为( )
(A)或 (B)2或 (C)2或1 (D)2或
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图,取得最大值表示直线向
上平移移动最大,表示直线斜率,有两种情况:或,故选D.
(6)【2014年安徽,理6,5分】设函数满足.当时,,则
( )
(A) (B) (C)0 (D)
【答案】A
【解析】,故选A.
(7)【2014年安徽,理7,5分】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
(A) (B) (C)21 (D)18
【答案】A
【解析】如右图,将边长为2的正方体截去两个角,
∴,故选A.
(8)【2014年安徽,理8,5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一
对,其中所成的角为的共有( )
(A)24对 (B)30对 (C)48对 (D)60对
【答案】C
【解析】与正方体一条对角线成的对角线有4条,∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为的共有(对),故选C.
(9)【2014年安徽,理9,5分】若函数的最小值为3,则实数的值为( )
(A)5或8 (B)或5 (C)或 (D)或8
【答案】D
【解析】(1)当时,,此时;
(2)当时,,此时,
在两种情况下,,解得或,(此题也可以由绝对值的几何意义
得,从而得或),故选D.
(10)【2014年安徽,理10,5分】在平面直角坐标系中,向量满足,.点满足,曲线,区域.若为两段分离的曲线,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】设则,,所以曲线C是单位元,区域
为圆环(如右图),∵,∴,故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)【2014年安徽,理11,5分】若将函数的图像向右平移个单位,所得图像关于轴对称, 则的最小正值是 .
【答案】
【解析】,∴,∴,
当时.
(12)【2014年安徽,理12,5分】已知数列是等差数列,若,,构成公比为的等比数列,则 .
【答案】
【解析】∵是等差数列且构成公比为的等比数列,
∴,即,
令,则有,展开的,即,∴.
(13)【2014年安徽,理13,5分】设,是大于1的自然数,的展开式为.若点的位置如图所示,则 .
【答案】
【解析】由图易知,∴,∴,解得.
(14)【2014年安徽,理14,5分】设,分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于,两点,若,轴,则椭圆的方程为 .
【答案】
【解析】由题意得通径,∴点坐标为,将点坐标带入椭圆方程得,又,解得,∴椭圆方程为.
(15)【2014年安徽,理15,5分】已知两个不相等的非零向量,两组向量和均由2个和3个排列而成.记,表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号).①有5个不同的值;②若,则与无关;③若,则与无关;④若,则;⑤若,,则和的夹角为.
【答案】②④
【解析】S有下列三种情况:
∵,∴,
若,则,与无关,②正确;
若,则,与有关,③错误;
若,则,④正确;
若,则,∴,∴, ⑤错误.
三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定
区域内.
(16)【2014年安徽,理16,12分】设的内角,,所对边的长分别是,,,且,,
.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)∵,∴,由正弦定理得,
∵,∴.
(2)由余弦定理得,
由于,∴,
故.
(17)【2014年安徽,理17,12分】甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍
未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛
结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记为比赛决出胜负时的总局数,求的分布列和均值(数学期望).
解:用表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”, 表示“第局甲获胜”, 表示“第局乙获胜”,则.
(1)
.
(2)的可能取值为2,3,4,5,,
,
,
故的分布列为
2
3
4
5
∴.
(18)【2014年安徽,理18,12分】设函数.
(1)讨论在其定义域上的单调性;
(2)当时,求取得最大值和最小值时的的值.
解:(1)的定义域为,,
令得,
所以,当或时,;当时,
故在和内单调递减,在内单调递增.
(2)∵,∴,
(ⅰ)当时,由(1)知在上单调递增,
∴在和处分别取得最小值和最大值.
(ⅱ)当时,,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,
∴在处取得最大值,又,
∴当时在处取得最小值,
当时在和处同时取得最小值,
当时,在取得最小值.
(19)【2014年安徽,理19,13分】如图,已知两条抛物线和,
过原点的两条直线和,与,分别交于,两点,与,分别交于,两点.
(1)证明:;
(2)过原点作直线(异于,)与,分别交于,两点.记
与的面积分别为与,求的值.
解:(1)设直线的方程分别为,则由得;
由得,同理可得,,
所以,
,故,所以.
(2)由(1)知,同理可得,,所以,因此,
又由(1)中的知,故.
(20)【2014年安徽,理20,13分】如图,四棱柱中,底面,四边形为梯形,,且.过,,三点的平面记为,与的交点为.
(1)证明:为的中点;
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;
(3)若,,梯形的面积为6,求平面与底面所成二面角大小.
解:(1)∵,,,,∴平面平面,
从而平面与这两个平面的交线相互平行,即,故与的对应边相互平行,
于是,∴,即为的中点.
(2)如图,连接,.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分
别为和,,则.,
,∴,
又,∴,故.
(3)解法一:
如图,在中,作,垂足为,连接,又,且,
∴,∴,∴为平面和平面所成二面角的平面角.
∵,, ∴,又∵梯形的面积为6,,∴,,
于是,,故平面和底面所成二面角的大小为.
解法二:
如图,以为原点,,分别为轴和轴正方向,建立空间直角坐标系.
设,因为,所以,从而,,
设平面的法向量为,由
得,所以,又平面的法向量,
所以,故平面和底面所成二面角的大小为.
(21)【2014年安徽,理21,13分】设实数,整数,.
(1)证明:当且时,;
(2)数列满足,,证明:.
解:(1)用数学归纳法证明
①当时,,原不等式成立.
②假设时,不等式成立,
当时,
所以时,原不等式成立.
综合①、②可得当且时,对一切整数,不等式均成立.
(2)解法一:
先用数学归纳法证明.
①当时由假设知成立.
②假设时,不等式成立,由,易知,
当时,,由得
由(1)中的结论得,因此,即,
所以当时,不等式也成立.
综合①、②可得,对一切正整数,不等式均成立.
再由得,即,综上所述,.
解法二:
设,则,并且,
由此可见,在上单调递增,因而当时.
① 当时由,即可知,
并且,从而,故当时,不等式成立.
② 假设时,不等式成立,则当时,即有,所以当时原不等式也成立.
综合①、②可得,对一切正整数,不等式均成立.