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  • 2021-05-14 发布

高考安徽理科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎(1)【2014年安徽,理1,5分】设是虚数单位,表示复数的共轭复数.若,则( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ ‎(2)【2014年安徽,理2,5分】“”是“”的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】,所以“”是“”的必要而不充分条件,故选B.‎ ‎(3)【2014年安徽,理3,5分】如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )‎ ‎(A)34 (B)55 (C)78 (D)89‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎34‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎34‎ ‎55‎ ‎,故运算7次后输出的结果为55,故选B.‎ ‎(4)【2014年安徽,理4,5分】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴, ‎ 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程是(为参数),圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】将直线方程化为一般式为:,圆C的标准方程为:,‎ 圆到直线的距离为:,∴弦长,故选D.‎ ‎(5)【2014年安徽,理5,5分】满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为( )‎ ‎ (A)或 (B)2或 (C)2或1 (D)2或 ‎【答案】D ‎【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图,取得最大值表示直线向 ‎ 上平移移动最大,表示直线斜率,有两种情况:或,故选D.‎ ‎(6)【2014年安徽,理6,5分】设函数满足.当时,,则 ‎( )‎ ‎(A) (B) (C)0 (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎(7)【2014年安徽,理7,5分】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )‎ ‎(A) (B) (C)21 (D)18‎ ‎【答案】A ‎【解析】如右图,将边长为2的正方体截去两个角,‎ ‎∴,故选A.‎ ‎(8)【2014年安徽,理8,5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一 对,其中所成的角为的共有( )‎ ‎(A)24对 (B)30对 (C)48对 (D)60对 ‎【答案】C ‎【解析】与正方体一条对角线成的对角线有4条,∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为的共有(对),故选C. ‎ ‎(9)【2014年安徽,理9,5分】若函数的最小值为3,则实数的值为( )‎ ‎(A)5或8 (B)或5 (C)或 (D)或8‎ ‎【答案】D ‎【解析】(1)当时,,此时;‎ ‎ (2)当时,,此时,‎ ‎ 在两种情况下,,解得或,(此题也可以由绝对值的几何意义 得,从而得或),故选D.‎ ‎(10)【2014年安徽,理10,5分】在平面直角坐标系中,向量满足,.点满足,曲线,区域.若为两段分离的曲线,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】设则,,所以曲线C是单位元,区域 ‎ 为圆环(如右图),∵,∴,故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎(11)【2014年安徽,理11,5分】若将函数的图像向右平移个单位,所得图像关于轴对称, 则的最小正值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,∴,∴,‎ 当时.‎ ‎(12)【2014年安徽,理12,5分】已知数列是等差数列,若,,构成公比为的等比数列,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵是等差数列且构成公比为的等比数列,‎ ‎∴,即,‎ 令,则有,展开的,即,∴.‎ ‎(13)【2014年安徽,理13,5分】设,是大于1的自然数,的展开式为.若点的位置如图所示,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图易知,∴,∴,解得.‎ ‎(14)【2014年安徽,理14,5分】设,分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于,两点,若,轴,则椭圆的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得通径,∴点坐标为,将点坐标带入椭圆方程得,又,解得,∴椭圆方程为.‎ ‎(15)【2014年安徽,理15,5分】已知两个不相等的非零向量,两组向量和均由2个和3个排列而成.记,表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号).①有5个不同的值;②若,则与无关;③若,则与无关;④若,则;⑤若,,则和的夹角为.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】S有下列三种情况:‎ ‎∵,∴,‎ 若,则,与无关,②正确;‎ 若,则,与有关,③错误;‎ 若,则,④正确;‎ 若,则,∴,∴, ⑤错误.‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定 区域内.‎ ‎(16)【2014年安徽,理16,12分】设的内角,,所对边的长分别是,,,且,,‎ ‎.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)∵,∴,由正弦定理得,‎ ‎∵,∴.‎ ‎(2)由余弦定理得,‎ 由于,∴,‎ 故.‎ ‎(17)【2014年安徽,理17,12分】甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍 未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛 结果相互独立.‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;‎ ‎(2)记为比赛决出胜负时的总局数,求的分布列和均值(数学期望).‎ 解:用表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”, 表示“第局甲获胜”, 表示“第局乙获胜”,则.‎ ‎(1)‎ ‎.‎ ‎(2)的可能取值为2,3,4,5,,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎∴.‎ ‎(18)【2014年安徽,理18,12分】设函数.‎ ‎(1)讨论在其定义域上的单调性;‎ ‎(2)当时,求取得最大值和最小值时的的值.‎ 解:(1)的定义域为,,‎ 令得,‎ 所以,当或时,;当时,‎ 故在和内单调递减,在内单调递增. ‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎(ⅰ)当时,由(1)知在上单调递增,‎ ‎∴在和处分别取得最小值和最大值.‎ ‎(ⅱ)当时,,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴在处取得最大值,又,‎ ‎∴当时在处取得最小值,‎ ‎ 当时在和处同时取得最小值,‎ 当时,在取得最小值.‎ ‎(19)【2014年安徽,理19,13分】如图,已知两条抛物线和,‎ 过原点的两条直线和,与,分别交于,两点,与,分别交于,两点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)过原点作直线(异于,)与,分别交于,两点.记 与的面积分别为与,求的值.‎ 解:(1)设直线的方程分别为,则由得; ‎ 由得,同理可得,,‎ 所以,‎ ‎,故,所以. ‎ ‎(2)由(1)知,同理可得,,所以,因此,‎ ‎ 又由(1)中的知,故.‎ ‎(20)【2014年安徽,理20,13分】如图,四棱柱中,底面,四边形为梯形,,且.过,,三点的平面记为,与的交点为.‎ ‎(1)证明:为的中点;‎ ‎(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;‎ ‎(3)若,,梯形的面积为6,求平面与底面所成二面角大小.‎ 解:(1)∵,,,,∴平面平面,‎ 从而平面与这两个平面的交线相互平行,即,故与的对应边相互平行, ‎ 于是,∴,即为的中点.‎ ‎(2)如图,连接,.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分 别为和,,则.,‎ ‎,∴,‎ ‎ 又,∴,故.‎ ‎(3)解法一:‎ 如图,在中,作,垂足为,连接,又,且,‎ ‎ ∴,∴,∴为平面和平面所成二面角的平面角.‎ ‎∵,, ∴,又∵梯形的面积为6,,∴,,‎ 于是,,故平面和底面所成二面角的大小为.‎ 解法二:‎ 如图,以为原点,,分别为轴和轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 设,因为,所以,从而,,‎ 设平面的法向量为,由 得,所以,又平面的法向量,‎ 所以,故平面和底面所成二面角的大小为.‎ ‎(21)【2014年安徽,理21,13分】设实数,整数,.‎ ‎(1)证明:当且时,;‎ ‎(2)数列满足,,证明:.‎ 解:(1)用数学归纳法证明 ‎①当时,,原不等式成立.‎ ‎②假设时,不等式成立,‎ 当时,‎ 所以时,原不等式成立.‎ 综合①、②可得当且时,对一切整数,不等式均成立.‎ ‎(2)解法一:‎ 先用数学归纳法证明.‎ ‎①当时由假设知成立.‎ ‎②假设时,不等式成立,由,易知,‎ 当时,,由得 由(1)中的结论得,因此,即,‎ 所以当时,不等式也成立.‎ 综合①、②可得,对一切正整数,不等式均成立.‎ 再由得,即,综上所述,.‎ 解法二:‎ 设,则,并且,‎ 由此可见,在上单调递增,因而当时.‎ ① 当时由,即可知,‎ 并且,从而,故当时,不等式成立.‎ ‎ ② 假设时,不等式成立,则当时,即有,所以当时原不等式也成立.‎ 综合①、②可得,对一切正整数,不等式均成立.‎