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- 2021-05-14 发布
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【恒心】高考数学等差、等比数列经典试题
一、选择题
1.(2010浙江理)(3)设为等比数列的前项和,,则
(A)11 (B)5 (C) (D)
解析:通过,设公比为,将该式转化为,解得=-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,属中档题
2.(2010全国卷2理)(4).如果等差数列中,,那么
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
3.(2010辽宁文)(3)设为等比数列的前项和,已知,,则公比
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】 B
解析:选B. 两式相减得, ,.
4.(2010辽宁理)(6)设{an}是有正数组成的等比数列,为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了同学们解决问题的能力。
54
【解析】由a2a4=1可得,因此,又因为,联力两式有,所以q=,所以,故选B。
5.(2010全国卷2文)(6)如果等差数列中,++=12,那么++•••…+=
(A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵ ,∴
6.(2010安徽文)(5)设数列的前n项和,则的值为
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
【答案】 A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
7.(2010浙江文)(5)设为等比数列的前n项和,则
(A)-11 (B)-8
(C)5 (D)11
解析:通过,设公比为,将该式转化为,解得=-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
8.(2010重庆理)(1)在等比数列中, ,则公比q的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
解析:
54
9.(2010广东理)4. 已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若, 且与2的等差中项为,则=
A.35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
解析:设{}的公比为,则由等比数列的性质知,,即。由与2的等差中项为知,,即.
∴,即.,即.
10.(2010广东文)
11.(2010山东理)
54
12.(2010重庆文)(2)在等差数列中,,则的值为
(A)5 (B)6
(C)8 (D)10
【答案】 A
解析:由角标性质得,所以=5
二、填空题
1.(2010辽宁文)(14)设为等差数列的前项和,若,则 。
解析:填15. ,解得,
2.(2010福建理)11.在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .
【答案】
【解析】由题意知,解得,所以通项。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用,属基础题。
3.(2010江苏卷)8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=_________
解析:考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,
所以。
三、解答题
1.(2010上海文)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第一个小题满分6分,第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为,且,
(1)证明:是等比数列;
54
(2)求数列的通项公式,并求出使得成立的最小正整数.
解析:(1) 当n=1时,a1=-14;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,
又a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列;
(2) 由(1)知:,得,从而(nÎN*);
由Sn+1>Sn,得,,最小正整数n=15.
2.(2010陕西文)16.(本小题满分12分)
已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前n项和Sn.
解 (Ⅰ)由题设知公差d≠0,
由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得=,
解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=2n,由等比数列前n项和公式得[来源:.COM]
Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
3.(2010全国卷2文)(18)(本小题满分12分)
已知是各项均为正数的等比数列,且
,[来源:.com]
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和。
【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
(1)设出公比根据条件列出关于与的方程求得与,可求得数列的通项公式。
54
(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出BN的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
4.(2010江西理)22. (本小题满分14分)
证明以下命题:
(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(b0
由a2+a7=16.得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得。即
(2)令
两式相减得
于是
=-4=
27. (2009福建卷文)等比数列中,已知
(I)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和。
解:(I)设的公比为
由已知得,解得
(Ⅱ)由(I)得,,则,
设的公差为,则有解得
从而
所以数列的前项和
54
28(2009重庆卷文)(本小题满分12分,(Ⅰ)问3分,(Ⅱ)问4分,(Ⅲ)问5分)
已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设为数列的前项和,求证:;
(Ⅲ)求证:.
解:(Ⅰ),所以
(Ⅱ)由得即
所以当时,于是
所以
(Ⅲ)当时,结论成立
当时,有
所以
2008年高考题
一、选择题
1.(2008天津)若等差数列的前5项和,且,则( )
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 B
2.(2008陕西)已知是等差数列,,,则该数列前10项和
54
等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
答案 B
3.(2008广东)记等差数列的前项和为,若,,则( )
A.16 B.24 C.36 D.48
答案 D
4.(2008浙江)已知是等比数列,,则=( )
A.16() B.6()
C.() D.()
答案 C
5.(2008四川)已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是()
A. B.
C. D.
答案 D
6.(2008福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若n1=7,a5=16,则数列{an}前7项的和为( )
A.63 B.64 C.127 D.128
答案 C
二、填空题
17.(2008四川)设等差数列的前项和为,若,则的最大值为______.
答案 4
18.(2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .
答案 -72
三、解答题
23.(2008四川卷). 设数列的前项和为,已知
54
(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式
解 由题意知,且
两式相减得
即 ①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
[来源:.COM]
因此
得
24.(2008江西卷)数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列
54
为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.
(1)求;
(2)求证.
解:(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,
,
依题意有①
由知为正有理数,故为的因子之一,
解①得
故
(2)
∴
25..(2008湖北).已知数列和满足:
,其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有
?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
54
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分)
(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·(an-3n+21)=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:
当λ≠-18时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn= -(λ+18)·(-)n-1,于是可得
Sn=-
要使a3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有ab,则双曲线的离心率e等于 ( )
A. B. C. D.
答案B
11、(2009深圳一模)在等差数列中,,表示数列的前项和,则
A. B. C. D.
答案 B
二、填空题
1、(2009上海十四校联考)若数列为
“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件
2、(2009上海八校联考)在数列中,,且,_________。
答案 2550
54
3、(2009江门一模)是等差数列的前项和,若,,
则 .
答案
4、(2009宁波十校联考)已知是等差数列,,则该数列前10项和=________
答案 100
三、解答题
1、(2009杭州二中第六次月考)数列中,其中且,是函数
的一个极值点.
(Ⅰ)证明: 数列是等比数列;
(Ⅱ)求.
(1)由题意得即,
,
当时,数列是以为首项,为公比的等比数列,
(2)即
,此式对也成立.
2、(2009滨州一模)已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点,点列的横坐标构成数列,其中.
(I)求与的关系式;
(II)令,求证:数列是等比数列;
(III)若(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,
54
都有cn+1>cn成立。
(1) 解:过的直线方程为
联立方程消去得
∴
即
(2)
∴是等比数列
,;
(III)由(II)知,,要使恒成立由=>0恒成立,
即(-1)nλ>-()n-1恒成立.
ⅰ。当n为奇数时,即λ<()n-1恒成立.
又()n-1的最小值为1.∴λ<1. 10分
ⅱ。当n为偶数时,即λ>-()n-1恒成立,
又-()n-1的最大值为-,∴λ>-. 11分
即-<λ<1,又λ≠0,λ为整数,
54
∴λ=-1,使得对任意n∈N*,都有. 12分
3、(2009台州市第一次调研)已知数列的首项,前n项和.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)记,为的前n项和,求的值.
解:(1)由①,得②,
②-①得:. 4分[来源:.com]
(2)由求得. 7分
∴, 11分
∴. 14分
4、(2009上海青浦区)设数列的前和为,已知,,,,
一般地,().
(1)求;
(2)求;
(3)求和:.
(1); ……3分
(2)当时,()
, ……6分
所以,(). ……8分
54
(3)与(2)同理可求得:, ……10分
设=,
则,(用等比数列前n项和公式的推导方法),相减得
,所以
. ……14分
5、(2009上海八校联考)已知点列顺次为直线上的点,点列顺次为轴上的点,其中,对任意的,点、、构成以为顶点的等腰三角形。
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求证:对任意的,是常数,并求数列的通项公式;
(3)对上述等腰三角形添加适当条件,提出一个问题,并做出解答。
(根据所提问题及解答的完整程度,分档次给分)
解: (1)依题意有,于是.
所以数列是等差数列. .4分
(2)由题意得,即 , () ①
所以又有. ②
由②①得:, 所以是常数. 6分
由都是等差数列.
,那么得 ,
. ( 8分
54
故 10分
(3) 提出问题①:若等腰三角形中,是否有直角三角形,若有,求出实数
提出问题②:若等腰三角形中,是否有正三角形,若有,求出实数
解:问题① 11分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须:. 13分
当为奇数时,有,即 ①
, 当, 不合题意.15分
当为偶数时,有 ,,同理可求得
当时,不合题意. 17分
综上所述,使等腰三角形中,有直角三角形,的值为或或. 18分
解:问题② 11分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须:. 13分
当为奇数时,有,即 ①
, 当
54
时,. 不合题意. 15分
当为偶数时,有 ,,同理可求得 .
;;当时,不合题意.17分
综上所述,使等腰三角形中,有正三角形,的值为
;; ;18分
6、(2009广州一模)已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且a1=1.
(1)求证:数列{ an-×2n}是等比数列;
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和,问是否存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
∴ ……2分
由an+an+1=2n,得,故数列
是首项为,公比为-1的等比数列. ……4分
证法2:∵an,an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,
∴ ……2分
∵,
故数列是首项为,公比为-1的等比数列.
54
……4分
(2)解:由(1)得,即,
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]
, ……8分
要使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,
即对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1. ……10分
①当n为正奇数时,由(*)式得,
即,
∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时,有最小值1,∴λ<1. ……10分
②当n为正偶数时,由(*)式得,
即,
∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时,有最小值1.5,∴λ<1.5. ……12分
综上所述,存在常数λ,使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立,λ的取值范围是(-∞,1).
……14分
54
7、(2009宣威六中第一次月考)已知数列满足,且
(1)用数学归纳法证明:;
(2)若,且,求无穷数列所有项的和。
解:
8、(2009广东三校一模),是方程的两根,数列的前项和为,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和.
54
解:(1)由.且得 2分
, 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得, 6分
. 8分
(2), 9分
,, 10分
=2
=, 13分
14分
9、(2009江门一模)已知等差数列和正项等比数列,,.
⑴求、;
⑵对,试比较、的大小;
⑶设的前项和为,是否存在常数、,使恒成立?若存在,求、的值;若不存在,说明理由.
解:⑴由,得-------1分 由且得----2分
所以,-------4分
54
⑵显然,时,;时,,,-------5分
时,
-------6分 -------7分
因为、,所以时,-------8分
⑶-------9分,
恒成立,则有-------11分,解得,-------12分
,
-------13分
所以,当,时,恒成立-------14分
10、(2009汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (nN*),公比q(0,1),且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,
a3与as的等比中项为2。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2 an,数列{bn}的前n项和为Sn当最大时,求n的值。
解:(1)因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, + 2a3a5 +=25[来源:]
又an>o,…a3+a5=5,…………………………2分
又a3与a5的等比中项为2,所以,a3a5=4
而q(0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1,,a1=16,所以,
…………………………6分
(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1,
54
所以,{bn}是以4为首项,-1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分
所以,
所以,当n≤8时,>0,当n=9时,=0,n>9时,<0,
当n=8或9时,最大。 …………………………12分
11、(2009深圳一模文)设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,则说明理由.
(Ⅲ)求证: .
解:(Ⅰ)由题意可得:
①
时, ② …………………… 1分
①─②得, …………………… 3分
是首项为,公比为的等比数列, ……………… 4分
(Ⅱ)解法一: ……………… 5分
若为等差数列,
则成等差数列, ……………… 6分
得 ……………… 8分
54
又时,,显然成等差数列,
故存在实数,使得数列成等差数列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使成等差数列,只须即便可. ……………8分
故存在实数,使得数列成等差数列. ……………… 9分
(Ⅲ) …… 10分
………… 11分
………… 12分
又函数在上为增函数,
, ………… 13分
,. ……… 14分
2009年联考题
54
一、选择题
1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中,若,则等于 ( )
A.0 B.2 C.2009 D.4018
答案 D
2. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列是公比为4的等比数列,且,则数列是( )
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列
答案 A
3.(2009福州三中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则的值为( )
A.2 B.4 C.7 D.8
答案 B
4.(2009厦门一中文)在等差数列中, ,则 其前9项的和S9等于 ( )
A.18 B 27 C 36 D 9
答案 A
5.(2009长沙一中期末)各项不为零的等差数列中,,则的值为 ( )
A. B.4 C. D.
答案 B
6.(2009宜春)在等差数列中,,,则数列的前9项之和等于 ( )
A.66 B.99 C.144 D..297
答案 B
7.(辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟)设等差数列的前n项和为
54
( )
A.18 B.17 C.16 D.15
答案:C.
二、填空题
8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差,且成等比数列,则的值为 .
答案
9.(2009福州八中)已知数列则____ , ____
答案 100. 5000;
10.(2009宁乡一中第三次月考)11、等差数列中,且,则公差=
答案 10
11.(2009南京一模)已知等比数列的各项均为正数,若,前三项的和为21 ,
则
答案168
12.(2009上海九校联考)已知数列的前项和为,若,则 .
答案 128
三、解答题
13.(2009龙岩一中)设正整数数列满足:,当时,有.
(I) 求、的值;
54
(Ⅱ)求数列的通项;
(Ⅲ) 记,证明,对任意, .
解(Ⅰ)时,,由已知,得,
因为为正整数,所以,同理………………………………2分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想:。…………………………………………3分
证明:①时,命题成立;
②假设当与时成立,即,。……………4分
于是,整理得:,……………………………5分
由归纳假设得:,…………………6分
因为为正整数,所以,即当时命题仍成立。
综上:由知①②知对于,有成立.………………………………7分
(Ⅲ)证明:由 ③
得 ④
③式减④式得 ⑤…………………9分
⑥
⑤式减⑥式得
…………………11分
54
…………13分
则 .……………………………………………………14分
14.(2009常德期末)已知数列的前n项和为且,数列满足且.
(1)求的通项公式;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求前n项和的最小值.
解: (1)由得, ……2分
∴ ……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;
∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由(2)得,∴
= ,∴是递增数列 ………11分
当n=1时, <0;当n=2时, <0;当n=3时, <0;当n=4时, >0,所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且
54