2015高考数学（文）（几何证明选讲）一轮复习学案 11页

学案74　几何证明选讲 ‎(二)直线与圆的位置关系 导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．‎ 自主梳理 ‎1．圆周角、弦切角及圆心角定理 ‎(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．‎ 推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)．‎ ‎(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____．‎ ‎(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ ‎2．圆中比例线段有关定理 ‎(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．‎ ‎(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．‎ ‎(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ 温馨提示　相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．‎ ‎3．切线长定理 从________一点引圆的两条切线，__________相等．‎ ‎4．圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．‎ 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．‎ ‎(2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．‎ 推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．‎ ‎5．圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．‎ 推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．‎ 推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________．‎ ‎(2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．‎ 自我检测 ‎1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A＝________.‎ ‎2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．‎ ‎3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．‎ ‎4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.‎ ‎5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.‎ 探究点一　与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 例1 如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.‎ 变式迁移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝AB，求证：BN＝3MN.‎ 探究点二　四点共圆的判定 例2 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．‎ 变式迁移2 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎(1)证明：A，P，O，M四点共圆；‎ ‎(2)求∠OAM＋∠APM的大小．‎ 探究点三　与圆有关的比例线段的证明 例3 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：‎ ‎(1)AD＝AE；‎ ‎(2)AD2＝DB·EC.‎ 变式迁移3 (2010·全国)‎ 如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ ‎(1)∠ACE＝∠BCD；‎ ‎(2)BC2＝BE×CD.‎ ‎1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．‎ ‎2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．‎ ‎3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明．‎ ‎4．证明多点共圆的常用方法：‎ ‎(1)证明几个点与某个定点距离相等；‎ ‎(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；‎ ‎(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．‎ ‎5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、填空题(每小题5分，共40分)‎ ‎1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，则结论①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正确的有________个．‎ ‎2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．‎ ‎3．(2010·陕西)‎ 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎3 cm,‎4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.‎ ‎4．(2009·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________．‎ ‎5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.‎ ‎6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2 ‎，AB＝3.则BD的长为________．‎ ‎7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．‎ ‎8．(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．‎ 二、解答题(共35分)‎ ‎9．(11分)如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.‎ ‎10．(12分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.‎ ‎11．(12分)(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．‎ 学案74　几何证明选讲 ‎(二)直线与圆的位置关系 自主梳理 ‎1．(1)圆周角　弧　同弧　等弧　所对的弧　圆周角　半圆　弦为直径　(2)一半　‎ ‎2.(1)圆　相交弦　两条线段长 ‎(2)等比中项　(3)割线　3.圆外　切线长　4.(1)互补　对角　(2)对角互补　圆　内角的对角　共圆 ‎5．(1)半径　圆心　切线　切点　圆心　(2)外端　垂直 自我检测 ‎1. 解析　设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，‎ ‎∴∠A＝30°，sin A＝.‎ ‎2．2 解析　连接CB，则∠DCA＝∠CBA，‎ 又∠ADC＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴△ADC∽△ACB.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12.‎ ‎∴AC＝2.‎ ‎3. 解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝.‎ ‎4．40‎ 解析　如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，‎ AB2＝AD·AC＝32×50＝1 600，故AB＝40.‎ ‎5．4　30°‎ 解析　由切割线定理得PD2＝PE·PF，‎ ‎∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4.‎ 又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30°，‎ ‎∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°.‎ 课堂活动区 例1 解题导引　(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．‎ ‎(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．‎ 证明　作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.‎ 又OE⊥AB，O为AF的中点，‎ 则OE＝BF.‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠DBC＋∠ACB＝90°，‎ 又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°，‎ ‎∵∠AFB＝∠ACB，‎ ‎∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.‎ 从而得OE＝CD.‎ 变式迁移1 证明　∵CM是∠ACB的平分线，‎ ‎∴＝，‎ 即BC＝AC·，‎ 又由割线定理得BM·BA＝BN·BC，‎ ‎∴BN·AC·＝BM·BA，‎ 又∵AC＝AB，∴BN＝3AM，‎ ‎∵在圆O内∠ACM＝∠MCN，‎ ‎∴AM＝MN，∴BN＝3MN.‎ 例2 解题导引　‎ 证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．‎ 证明　连接EF，‎ 因为EM是∠AEC的角平分线，‎ 所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.‎ 同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.‎ 而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD ‎＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA)‎ ‎＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)‎ ‎＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，‎ 即∠BCD与∠BAD互补．‎ 所以四边形ABCD内接于圆．‎ 变式迁移2 (1)证明　连接OP，OM，‎ 因为AP与⊙O相切于点P，‎ 所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°，‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，‎ 所以A，P，O，M四点共圆．‎ ‎(2)解　由(1)得A，P，O，M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM.‎ 由(1)得OP⊥AP.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，‎ 可知∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 例3 解题导引　寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．‎ 证明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.‎ 因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.‎ 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.‎ ‎(2)⇒△PCE∽△PAD⇒＝；‎ ⇒△PAE∽△PBD⇒＝.‎ 又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝.‎ 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.‎ 变式迁移3 证明　(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.‎ 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，‎ 所以∠ACE＝∠BCD.‎ ‎(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，‎ 所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD.‎ 课后练习区 ‎1．4‎ 解析　∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正确．‎ ‎2．6‎ 解析　连接BT，由切割线定理，‎ 得PT2＝PA·PB，‎ 所以PB＝8，故AB＝6.‎ ‎3. 解析　＝⇒＝⇒AD＝⇒BD＝(cm)，＝.‎ ‎4．8π 解析　连接OA，OB，‎ ‎∵∠BCA＝45°，‎ ‎∴∠AOB＝90°.‎ 设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.‎ ‎∴圆O的面积为8π.‎ ‎5. 解析　如图，依题意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°，‎ 在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan 60°＝2，‎ ‎∴R＝.‎ ‎6．4‎ 解析　由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.‎ ‎7. 解析　设BE＝a，则AF＝‎4a，FB＝‎2a.‎ ‎∵AF·FB＝DF·FC，∴‎8a2＝2，∴a＝，‎ ‎∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝.‎ 又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝.‎ ‎∴CE＝.‎ ‎8. 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，‎ ‎∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.‎ ‎∵＝，＝，∴＝.‎ ‎9.‎ 解　过B点作BE∥AC交圆于点E，连接AE，BO并延长交AE于F，‎ 由题意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分)‎ 又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，则AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分)‎ 则AE∥BC，四边形ACBE为平行四边形．‎ ‎∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2，‎ ‎∴BC＝，BF＝＝.(8分)‎ 设OF＝x，则 解得r＝.(11分)‎ ‎10．证明　由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分)‎ 故A、B、C、D四点共圆，(5分)‎ 从而∠CAB＝∠CDB.(7分)‎ 再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，‎ 因此∠DBA＝∠CDB，(10分)‎ 所以AB∥CD.(12分)‎ ‎11.‎ 证明　如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．(5分)‎ 从而∠ABD＝∠ACE＝.(7分)‎ 所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分)‎ 所以AB∶AC为定值．(12分)‎