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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学(文)(几何证明选讲)一轮复习学案

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学案74 几何证明选讲 ‎(二)直线与圆的位置关系 导学目标: 1.理解圆周角定理,弦切角定理及其推论;2.理解圆的切线的判定及性质定理;3.理解相交弦定理,割线定理,切割线定理;4.理解圆内接四边形的性质定理及判定.‎ 自主梳理 ‎1.圆周角、弦切角及圆心角定理 ‎(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半.‎ 推论1:________(或________)所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角__________相等.‎ 推论2:半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之,90°的圆周角所对的弧是________(或__________).‎ ‎(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____.‎ ‎(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数.‎ ‎2.圆中比例线段有关定理 ‎(1)相交弦定理:______的两条____________,每条弦被交点分成的____________的积相等.‎ ‎(2)切割线定理:从圆外一点引圆的一条割线和一条切线,切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________.‎ ‎(3)割线定理:从圆外一点引圆的两条________,该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.‎ 温馨提示 相交弦定理,切割线定理,割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系,在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广.‎ ‎3.切线长定理 从________一点引圆的两条切线,__________相等.‎ ‎4.圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质定理:圆内接四边形的对角________.‎ 推论:圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________.‎ ‎(2)判定定理:如果四边形的__________,则四边形内接于____.‎ 推论:如果四边形的一个外角等于它的____________,那么这个四边形的四个顶点________.‎ ‎5.圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的________.‎ 推论1:经过________且________与垂直的直线必经过切点.‎ 推论2:经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________.‎ ‎(2)判定定理:过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线.‎ 自我检测 ‎1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,D是AB上一点,且AD=2DB,以D为圆心,DB为半径的圆与AC相切,则sin A=________.‎ ‎2.(2010·南京模拟)如图,AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为________.‎ ‎3.(2011·湖南)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________.‎ ‎4.如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,AC交⊙O于点D,若AD=32,CD=18,则AB=________.‎ ‎5.(2010·揭阳模拟)如图,已知P是⊙O外一点,PD为⊙O的切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,PF=12,PD=4,则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.‎ 探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 例1 如图,⊙O的两条弦AC,BD互相垂直,OE⊥AB,垂足为点E.求证:OE=CD.‎ 变式迁移1 在△ABC中,已知CM是∠ACB的平分线,△AMC的外接圆O交BC于点N;若AC=AB,求证:BN=3MN.‎ 探究点二 四点共圆的判定 例2 如图,四边形ABCD中,AB、DC的延长线交于点E,AD,BC的延长线交于点F,∠AED,∠AFB的角平分线交于点M,且EM⊥FM.求证:四边形ABCD内接于圆.‎ 变式迁移2 如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.‎ ‎(1)证明:A,P,O,M四点共圆;‎ ‎(2)求∠OAM+∠APM的大小.‎ 探究点三 与圆有关的比例线段的证明 例3 如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B,C,∠APC的角平分线分别与AB,AC相交于点D,E,求证:‎ ‎(1)AD=AE;‎ ‎(2)AD2=DB·EC.‎ 变式迁移3 (2010·全国)‎ 如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:‎ ‎(1)∠ACE=∠BCD;‎ ‎(2)BC2=BE×CD.‎ ‎1.圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用,尤其是利用定理进行等角代换与传递.‎ ‎2.要注意一些常用的添加辅助线的方法,若证明直线与圆相切,则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直;遇到直径时,一般要引直径所对的圆周角,利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题.‎ ‎3.判断两线段是否相等,除一般方法(通过三角形全等)外,也可用等线段代换,或用圆心角定理及其推论证明.‎ ‎4.证明多点共圆的常用方法:‎ ‎(1)证明几个点与某个定点距离相等;‎ ‎(2)如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等;‎ ‎(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角).‎ ‎5.圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用,要注意在题中找相等的角,找相似三角形,从而得到线段的比.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.如图,已知AB,CD是⊙O的两条弦,且AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别是E,F,则结论①=,②∠AOB=∠COD,③OE=OF,④=中,正确的有________个.‎ ‎2.(2010·湖南)如图所示,过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点.已知PA=2,点P到⊙O的切线长PT=4,则弦AB的长为________.‎ ‎3.(2010·陕西)‎ 如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为‎3 cm,‎4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则=________.‎ ‎4.(2009·广东)如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O的面积为________.‎ ‎5.已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2,AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R=________.‎ ‎6.如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=2 ‎,AB=3.则BD的长为________.‎ ‎7.(2011·天津)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为________.‎ ‎8.(2010·天津)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若=,=,则的值为________.‎ 二、解答题(共35分)‎ ‎9.(11分)如图,三角形ABC中,AB=AC,⊙O经过点A,与BC相切于B,与AC相交于D,若AD=CD=1,求⊙O的半径r.‎ ‎10.(12分)(2009·江苏)如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD.‎ ‎11.(12分)(2011·江苏)如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1>r2).圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).求证:AB∶AC为定值.‎ 学案74 几何证明选讲 ‎(二)直线与圆的位置关系 自主梳理 ‎1.(1)圆周角 弧 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 ‎ ‎2.(1)圆 相交弦 两条线段长 ‎(2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的对角 共圆 ‎5.(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测 ‎1. 解析 设切点为T,则DT⊥AC,AD=2DB=2DT,‎ ‎∴∠A=30°,sin A=.‎ ‎2.2 解析 连接CB,则∠DCA=∠CBA,‎ 又∠ADC=∠ACB=90°,‎ ‎∴△ADC∽△ACB.‎ ‎∴=.‎ ‎∴AC2=AB·AD=2×6=12.‎ ‎∴AC=2.‎ ‎3. 解析 如图,连接CE,AO,AB.根据A,E是半圆周上的两个三等分点,BC为直径,可得∠CEB=90°,∠CBE=30°,∠AOB=60°,故△AOB为等边三角形,AD=,OD=BD=1,∴DF=,∴AF=AD-DF=.‎ ‎4.40‎ 解析 如图,连接BD,则BD⊥AC,由射影定理知,‎ AB2=AD·AC=32×50=1 600,故AB=40.‎ ‎5.4 30°‎ 解析 由切割线定理得PD2=PE·PF,‎ ‎∴PE===4,∴EF=8,OD=4.‎ 又∵OD⊥PD,OD=PO,∠P=30°,‎ ‎∠POD=60°=2∠EFD,∴∠EFD=30°.‎ 课堂活动区 例1 解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等,所对的圆心角相等,进行角的等量代换;同时也可借在同圆或等圆中,相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等,进行弧(或弦)的等量代换.‎ ‎(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法.‎ 证明 作直径AF,连接BF,CF,则∠ABF=∠ACF=90°.‎ 又OE⊥AB,O为AF的中点,‎ 则OE=BF.‎ ‎∵AC⊥BD,‎ ‎∴∠DBC+∠ACB=90°,‎ 又∵AF为直径,∠BAF+∠BFA=90°,‎ ‎∵∠AFB=∠ACB,‎ ‎∴∠DBC=∠BAF,即有CD=BF.‎ 从而得OE=CD.‎ 变式迁移1 证明 ∵CM是∠ACB的平分线,‎ ‎∴=,‎ 即BC=AC·,‎ 又由割线定理得BM·BA=BN·BC,‎ ‎∴BN·AC·=BM·BA,‎ 又∵AC=AB,∴BN=3AM,‎ ‎∵在圆O内∠ACM=∠MCN,‎ ‎∴AM=MN,∴BN=3MN.‎ 例2 解题导引 ‎ 证明多点共圆,当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.‎ 证明 连接EF,‎ 因为EM是∠AEC的角平分线,‎ 所以∠FEC+∠FEA=2∠FEM.‎ 同理,∠EFC+∠EFA=2∠EFM.‎ 而∠BCD+∠BAD=∠ECF+∠BAD ‎=(180°-∠FEC-∠EFC)+(180°-∠FEA-∠EFA)‎ ‎=360°-2(∠FEM+∠EFM)‎ ‎=360°-2(180°-∠EMF)=2∠EMF=180°,‎ 即∠BCD与∠BAD互补.‎ 所以四边形ABCD内接于圆.‎ 变式迁移2 (1)证明 连接OP,OM,‎ 因为AP与⊙O相切于点P,‎ 所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.‎ 于是∠OPA+∠OMA=180°,‎ 由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,‎ 所以A,P,O,M四点共圆.‎ ‎(2)解 由(1)得A,P,O,M四点共圆,‎ 所以∠OAM=∠OPM.‎ 由(1)得OP⊥AP.‎ 由圆心O在∠PAC的内部,‎ 可知∠OPM+∠APM=90°,‎ 所以∠OAM+∠APM=90°.‎ 例3 解题导引 寻找适当的相似三角形,把几条要证的线段集中到这些相似三角形中,再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式,使问题得证.‎ 证明 (1)∠AED=∠EPC+∠C,∠ADE=∠APD+∠PAB.‎ 因PE是∠APC的角平分线,故∠EPC=∠APD,PA是⊙O的切线,故∠C=∠PAB.‎ 所以∠AED=∠ADE.故AD=AE.‎ ‎(2)⇒△PCE∽△PAD⇒=;‎ ⇒△PAE∽△PBD⇒=.‎ 又PA是切线,PBC是割线⇒PA2=PB·PC⇒=.‎ 故=,又AD=AE,故AD2=DB·EC.‎ 变式迁移3 证明 (1)因为=,所以∠BCD=∠ABC.‎ 又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC,‎ 所以∠ACE=∠BCD.‎ ‎(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,‎ 所以△BDC∽△ECB,故=,即BC2=BE×CD.‎ 课后练习区 ‎1.4‎ 解析 ∵在同圆或等圆中,等弦所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对弦心距相等,故①②③成立,又由=,得=,∴④正确.‎ ‎2.6‎ 解析 连接BT,由切割线定理,‎ 得PT2=PA·PB,‎ 所以PB=8,故AB=6.‎ ‎3. 解析 =⇒=⇒AD=⇒BD=(cm),=.‎ ‎4.8π 解析 连接OA,OB,‎ ‎∵∠BCA=45°,‎ ‎∴∠AOB=90°.‎ 设圆O的半径为R,在Rt△AOB中,R2+R2=AB2=16,∴R2=8.‎ ‎∴圆O的面积为8π.‎ ‎5. 解析 如图,依题意,AO⊥PA,AB⊥PC,PA=2,PB=1,∠P=60°,‎ 在Rt△CAP中,有2OA=2R=2tan 60°=2,‎ ‎∴R=.‎ ‎6.4‎ 解析 由切割线定理得:DB·DA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2,∴DB2+3DB-28=0,∴DB=4.‎ ‎7. 解析 设BE=a,则AF=‎4a,FB=‎2a.‎ ‎∵AF·FB=DF·FC,∴‎8a2=2,∴a=,‎ ‎∴AF=2,FB=1,BE=,∴AE=.‎ 又∵CE为圆的切线,∴CE2=EB·EA=×=.‎ ‎∴CE=.‎ ‎8. 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,‎ ‎∴△PCB∽△PAD.∴==.‎ ‎∵=,=,∴=.‎ ‎9.‎ 解 过B点作BE∥AC交圆于点E,连接AE,BO并延长交AE于F,‎ 由题意∠ABC=∠ACB=∠AEB,(2分)‎ 又BE∥AC,∴∠CAB=∠ABE,则AB=AC知,∠ABC=∠ACB=∠AEB=∠BAE,(4分)‎ 则AE∥BC,四边形ACBE为平行四边形.‎ ‎∴BF⊥AE.又BC2=CD×AC=2,‎ ‎∴BC=,BF==.(8分)‎ 设OF=x,则 解得r=.(11分)‎ ‎10.证明 由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA,(3分)‎ 故A、B、C、D四点共圆,(5分)‎ 从而∠CAB=∠CDB.(7分)‎ 再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA,‎ 因此∠DBA=∠CDB,(10分)‎ 所以AB∥CD.(12分)‎ ‎11.‎ 证明 如图,连接AO1并延长,分别交两圆于点E和点D.连接BD,CE.因为圆O1与圆O2内切于点A,所以点O2在AD上,故AD,AE分别为圆O1,圆O2的直径.(5分)‎ 从而∠ABD=∠ACE=.(7分)‎ 所以BD∥CE,于是===.(10分)‎ 所以AB∶AC为定值.(12分)‎