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- 2021-05-14 发布
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2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.设集合和都是自然数集合,映射把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射下,象20的原象是
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】,解得.
2.在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】所求复数为.
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是
A. B. C.6 D.
【答案】D
【解析】设长、宽和高分别为,则,∴,
∴,∴对角线长.
4.已知,那么下列命题成立的是
A.若是第一象限角,则
B.若是第二象限角,则
C.若是第三象限角,则
D.若是第四象限角,则
【答案】D
【解析】用特殊值法:取,A不正确;取,B不正确;
取,C不正确;D正确.
5.函数的部分图像是
【答案】D
【解析】函数是奇函数,A、C错误;且当时,.
6.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:
某人一月份应交纳此项税款元,则他的当月工资、薪金所得介于
A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元
【答案】C
【解析】当月工资为1300元时,所得税为25元;1500元时,所得税为元,所以选C.
7.若,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一:;
,所以B正确.
方法二:特殊值法:取,即可得答案.
8.以极坐标系中的点为圆心,1为半径的圆的方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆上任意一点,直径为2,则,即.
9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆柱的半径为,则高,.
10.过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的标准方程为,设直线的方程为,由题设条件可得
,解得,由于切点在第三象限,所以,所求切线.
11.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点,若线段与的长分别是,则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】特殊值法.作轴,即将代入抛物线方程得,
∴.
【编者注】此题用一般方法比较复杂,并要注意原方程不是标准方程.
12.如图,是圆锥底面中心到母线的垂线,绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为,高为,上半部分由共底的两个圆锥构成,过向轴作垂线,垂足为,,∴,原圆锥的体积为,解得,∴.
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线.
13.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有
种(用数字作答).
【答案】252
【解析】不同的出场安排共有.
14.椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时,点横坐标的取值范围是 .
【答案】
【解析】方法一:(向量法)设,由题设,即,,又由得,代入并化简得
,解得.
方法二:(圆锥曲线性质)设,∵,∴,又,
,当为钝角时,,解得.
15.设是首项为1的正项数列,且,则它的通项公式是 .
【答案】
【解析】条件化为,∵∴,即,累成得.
16.如图,分别为正方体的面、面的中心,则四边形在该正
方体的面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都
填上)
【答案】②③
【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②;投到左右两个面上的射影是图形③.
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当函数取得最大值时,求自变量的集合;
(II)该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.满分12分.
(Ⅰ)
. ——6分
取得最大值必须且只需,即.
所以当函数取得最大值时,自变量的集合为 ——8分
(Ⅱ)将函数依次进行如下变换:
(i)把函数的图像向左平移,得到函数的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横纵坐标不变),得到函数
的图像;
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数的图像;综上得到函数的图像. ——12分
18.(本小题满分12分)
如图,已知平行六面体的底面是菱形,且
.
(I)证明:;
(II)假定,记面为,面为,求二面角的平面角的余弦值;
(Ⅲ)当的值为多少时,能使平面?请给出证明.
【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分.
(Ⅰ)证明:连结,和交于,连结.
∵ 四边形是菱形,∴.
又∵,
∴,∴,
∵ ,
∴ , ——2分
但,∴平面,
又平面,∴. ——4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴是二面角的平面角.
在中,,
∴. ——6分
∵,∴.
∴,
∴,即.
作,垂足为.∴ 点是的中点,且,
所以. ——8分
(Ⅲ)当时,能使平面
证明一:∵ ,∴,
又,由此可推得.
∴ 三棱锥是正三棱锥. ——10分
设与相交于.
∵,且,∴.
又是正三角形的边上的高和中线,
∴ 点是正三角形的中心,∴ 平面.
即平面. ——12分
证明二:由(Ⅰ)知,平面,
∵平面,∴. ——10分
当时,平行六面体的六个面是全等的菱形,
同的证法可得,
又,∴平面. ——12分
19.(本小题满分12分)
设函数,其中.
(I)解不等式;
(II)求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.
(Ⅰ)不等式即,
由此得,即,其中常数.
所以,原不等式等价于即 ——3分
所以,当时,所给不等式的解集为;
当时,所给不等式的解集为. ——6分
(Ⅱ)在区间上任取,使得.
. ——8分
(ⅰ)当时,∵,∴,
又,∴,即.
所以,当时,函数在区间上是单调递减函数. ——10分
(ii)当时,在区间上存在两点,满足,,即,
所以函数在区间上不是单调函数.
综上,当且仅当时,函数在区间上是单调函数. ——12分
20.(本小题满分12分)
(I)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;
(II)设是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.
【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力,满分12分.
(Ⅰ)因为是等比数列,故有,
将代入上式,得
, ——3分
即,
整理得,
解得或. ——6分
(Ⅱ)设的公比分别为,.
为证不是等比数列,只需证.
事实上,,
.
由于,又不为零,
因此,故不是等比数列. ——12分
21.(本小题满分12分)
某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图二表示的种植
成本与时间的函数关系式;
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?
(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天)
【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力,满分12分.
(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
. ——4分
(Ⅱ)设时刻的纯收益为,则由题意得
即 ——6分
当时,配方整理得,
所以,当时,取得区间上的最大值100;
当时,配方整理得
所以,当时,取得区间上的最大值. ——10分
综上,由可知,在区间上可以取得最大值100,此时,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. ——12分
22.(本小题满分14分)
如图,已知梯形中,点分有向线段所成的比为,双曲线过三点,且以为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.
【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力,满分14分.
如图,以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立直角坐标系,则轴.
因为双曲线经过点,且以为焦点,由双曲线的对称性知关于轴对称. ——2分
依题意,记,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高.
由定比分点坐标公式得
.
设双曲线的方程为,则离心率.
由点在双曲线上,将点的坐标和代入双曲线方程得
, ①
. ② ——7分
由①式得, ③
将③式代入②式,整理得,
故. ——10分
由题设得,.
解得.
所以双曲线的离心率的取值范围为. ——14分