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- 2021-05-14 发布
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-2复数的概念与运算课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1.已知i是虚数单位,若是实数,则实数a等于( )
A.-1 B.1
C. D.-
[答案] B
[解析] ∵==∈R,∴a=1.
2.(2013·广东广州检测)已知=1+bi,其中a,b是实数,i是虚数单位,则a+bi=( )
A.1+2i B.2+i
C.2-i D.1-2i
[答案] B
[解析] ∵===1+bi,
∴∴∴a+bi=2+i,故选B.
3.(文)(2012·长春调研)已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] D
[解析] 依题意得z=(2+i)(1-i)=3-i,因此复数z在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限,选D.
(理)(2012·山西四校联考)已知复数z的实部为-1,虚部为2,则(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] C
[解析] 依题意得===
,因此该复数在复平面内对应的点的坐标是(-,-),位于第三象限,选C.
4.(文)(2013·哈尔滨四校统考)设i是虚数单位,则复数的共轭复数是( )
A.+i B.-i
C.-i D.+i
[答案] D
[解析] ==-i,所以它的共轭复数是+i,选D.
(理)(2013·安徽理,1)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
[答案] A
[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),
则由z·i+2=2z得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),
即(a2+b2)i+2=2a+2bi,
所以2a=2,a2+b2=2b,
所以a=1,b=1,即z=a+bi=1+i.
5.(文)若a、b∈R,则复数(a2+6a+10)+(-b2-4b-5)i对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] D
[解析] a2+6a+10=(a+3)2+1>0,
-b2-4b-5=-(b+2)2-1<0.
(理)设a,b为实数,若复数=1+i,则( )
A.a=,b= B.a=3,b=1
C.a=,b= D.a=1,b=3
[答案] A
[解析] 1+2i=(a+bi)(1+i)=a-b+(a+b)i,
∴∴故选A.
6.(2013·陕西理,6)设z1、z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则1=2
B.若z1=2,则1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·1=z2·2
D.若|z1|=|z2|,则z=z
[答案] D
[解析] 对于选项A,若|z1-z2|=0,则z1=z2,故1=2,正确;对于选项B,若z1=2,则1=2=z2,正确;对于选项C,z1·1=|z1|2,z2·2=|z2|2,若|z1|=|z2|,则z1·1=z2·2,正确;对于选项D,如令z1=i+1,z2=1-i,满足|z1|=|z2|,而z=2i,z=-2i,故不正确.
二、填空题
7.规定运算=ad-bc,若=1-2i,设i为虚数单位,则复数z=________.
[答案] 1-i
[解析] 由已知可得=2z+i2=2z-1=1-2i,∴z=1-i.
8.(文)(2012·江苏,3)设a、b∈R,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为________.
[答案] 8
[解析] a+bi===5+3i,
∴a=5,b=3,∴a+b=8.
(理)若复数z满足z-|z|=-1+3i,则=________.
[答案] 4-3i
[解析] 由条件可设z=a+3i,则|z|=,
∴a-=-1,∴a=4,∴z=4+3i,∴=4-3i.
9.已知复数z1=2+i,z2=3-i,其中i是虚数单位,则复数的实部与虚部之和为________.
[答案] 1
[解析] ===+i,所以它的实部与虚部之和为1.
三、解答题
10.已知复数(1-2i)i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点M在直线y=mx+n上,其中mn>0,求+的最小值.
[解析] ∵(1-2i)i=2+i,∴M(2,1).∴2m+n=1,∴+=(+)·(2m+n)=3++≥3+2.
当且仅当即或时等号成立,
∵mn>0,∴
∴+的最小值为3+2.
能力拓展提升
一、选择题
11.若i为虚数单位,已知a+bi=(a、b∈R),则点(a,b)与圆x2+y2=2的关系为( )
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.不能确定
[答案] A
[解析] ∵a+bi==
=+i(a,b∈R),
∴∵2+2=>2,
∴点P在圆x2+y2=2外,故选A.
12.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2为( )
A.+i B.+i
C.-i D.-i
[答案] A
[解析] z1·z2=cos23°cos37°-sin23°sin37°+(sin37°cos23°+cos37°sin23°)i=cos60°+i·sin60°=+i,故选A.
13.(文)(2013·安徽联考)已知i是虚数单位,则()2013在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] C
[解析] ∵()2==i,i2=-1.
∴()4=-1,
∴()2012=(-1)503=-1.
∴()2013=-=--i,∴选C.
(理)(2013·长春调研)已知复数z=1+ai(a∈R,i是虚数单位),=-+i,则a=( )
A.2 B.-2
C.±2 D.-
[答案] B
[解析] 由题意可知:===-i=-+i,因此=-,化简得5a2-5=3a2+3,a2=4,则a=±2,
由-=可知a<0,仅有a=-2满足,故选B.
二、填空题
14.设i为虚数单位,复数z=(12+5i)(cosθ+isinθ),若z∈R,则tanθ的值为________.
[答案] -
[解析] z=(12cosθ-5sinθ)+(12sinθ+5cosθ)i∈R,
∴12sinθ+5cosθ=0,∴tanθ=-.
15.已知z1=1+ai,z2=b-i(a,b∈R),z1·z2=5+5i,的实部为负数,则|z1-z2|=________.
[答案]
[解析] ∵z1·z2=(1+ai)(b-i)=b+abi-i+a=5+5i,
∴∴或
∴==+i(不合题意,舍去)
或==-+i.
∴z1=1+3i,z2=2-i,
∴z1-z2=-1+4i,
∴|z1-z2|=.
三、解答题
16.(文)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
试求实数a分别为什么值时,z分别为:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
[解析] (1)当z为实数时,∴a=6,
∴当a=6时,z为实数.
(2)当z为虚数时,
∴a≠-1且a≠6,
故当a∈R,a≠-1且a≠6时,z为虚数.
(3)当z为纯虚数时,∴a=1,
故a=1时,z为纯虚数.
(理)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当实数m取何值时.
(1)z是纯虚数.
(2)z是实数.
(3)z对应的点位于复平面的第二象限.
[解析] (1)由题意知
解得m=3.
所以当m=3时,z是纯虚数.
(2)由m2+3m+2=0,得m=-1或m=-2,
又m=-1或m=-2时,m2-2m-2>0,
所以当m=-1或m=-2时,z是实数.
(3)由
解得:-1