集合与简易逻辑 高考数学专题复习双基 典例 精炼 5页

第一章 复习集合与简易逻辑 一、 本讲进度 ‎ 《集合与简易逻辑》复习 二、 复习要求 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；‎ 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；‎ 3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；‎ 4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；‎ ‎ 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。‎ 三、 学习指导 ‎ 1、集合的概念：‎ （1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；‎ （2） 集合的分类：‎ ① 按元素个数分：有限集，无限集；‎ ‎ ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；‎ （3） 集合的表示法：‎ ‎ ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。‎ ‎2、两类关系：‎ （1） 元素与集合的关系，用或表示；‎ ‎ （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。‎ ‎3、集合运算 ‎ （1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表 示全集；‎ （2） 运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），‎ CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。‎ ‎ 4、命题：‎ （1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；‎ （2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p；‎ ‎ （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。‎ ‎ （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若 q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。‎ 1、 充分条件与必要条件 ‎ ‎ （1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；‎ ‎ （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；‎ （1） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。‎ 2、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。‎ ‎ 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。‎ ‎ 四、典型例题 ‎ 例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。‎ 解题思路分析：‎ 在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}‎ ‎∴ M∩N=M={y|y≥1}‎ 说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。‎ 例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。‎ 解题思路分析：‎ 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}‎ 当B=φ时，△=m2-8<0‎ ‎∴ ‎ 当B={1}或{2}时，，m无解 当B={1，2}时，‎ ‎∴ m=3‎ 综上所述，m=3或 说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。‎ 例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。‎ 解题思路分析：‎ 假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ‎∴ 假设不成立 ‎∴ x、y中至少有一个大于1‎ 说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。‎ 例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。‎ 解题思路分析：‎ 利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 ‎ DCBA ‎∴ DA，D是A的充分不必要条件 说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。‎ 例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。‎ 解题思路分析：‎ 从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。‎ 由 得l1，l2交点P（）‎ ‎∵ l过点P ‎∴ ‎ ‎∴ ‎17a+4b=11‎ 充分性：设a，b满足‎17a+4b=11‎ ‎∴ ‎ 代入l方程：‎ 整理得：‎ 此方程表明，直线l恒过两直线的交点（）‎ 而此点为l1与l2的交点 ‎∴ 充分性得证 ‎∴ 综上所述，命题为真 说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。‎ 五、同步练习 （一） 选择题 1、 设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是经济界 jjjjjjjjjjjjjjj A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}‎ 2、 已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是 A、 ‎[0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）‎ 3、 已知集合M={x|x=a2‎-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是 A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 ‎ 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是 A、11 B、‎10 ‎ C、16 D、15‎ ‎5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是 A、15 B、‎16 ‎ C、31 D、32‎ ‎6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 ‎ A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 ‎7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎ 8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3l+1，l∈Z}，S={y|y=‎6m+1，m∈Z}之间的关系是 A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A ‎9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、0