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- 2021-05-14 发布
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2015年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1.已知全集,集合,集合,则集合( )
A. B. C. D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A. B. C. D.
3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )
A. B. C. D.
4.设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图,在圆中,是弦的三等分点,弦,分别经过点,若,,,则线段的长为( )
A. B.3 C. D.
6.已知双曲线()的一条渐近线过点(),且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数函数,其中,若函数恰有个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为 .
10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .
11.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
12.在的展开式中,的系数为 .
13.在中,内角所对的边分别为.已知的面积为,,则的值为 .
14.在等腰梯形中,已知。动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .
三、解答题
15.已知函数,.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间内的最大值和最小值.
16.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。
(Ⅰ)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”,求事件发生的概率;
(Ⅱ)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
17.如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长。
18.已知数列满足(为实数,且),,,,且,,成等差数列。
(Ⅰ)求的值和 的通项公式;
(Ⅱ)设,,求数列的前项和.
19.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为,.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)求椭圆的方程;
(Ⅲ)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的取值范围。
20.已知函数其中,且.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,
求证:对于任意的正实数,都有;
(Ⅲ)若关于的方程(为实数)有两个正实数根,求证:.
2015年高考天津市理科数学真题答案
一、选择题
1.答案:A
解析过程:
,所以,选A
2.答案:C
解析过程:
不等式所表示的平面区域如下图所示,
当所表示直线经过点时,有最大值,选C
3.答案:B
解析过程:
输入;
不成立;
不成立
成立
输出,选B
4.答案:A
解析过程:
,
所以“”是“”的充分不必要条件,选A
5.答案:A
解析过程:
由相交弦定理可知,
,
又因为是弦的三等分点,
所以,
所以,选A
6.答案:D
解析过程:
双曲线()的渐近线方程为,
由点在渐近线上,所以,
双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上,
所以,由此可解得,
所以双曲线方程为,选D
7.答案:C
解析过程:
因为函数为偶函数,所以,即,
所以
所以,选C
8.答案:D
解析过程:
由得,
所以,
即
,
所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,
即函数与函数的图象的4个公共点,
由图象可知.选D
二、填空题
9.答案:-2
解析过程:
是纯虚数,
所以,即
10.答案:
解析过程:
由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为,
高为的圆柱,两端是底面半径为,高为的圆锥,
所以该几何体的体积.
11.答案:
解析过程:
两曲线的交点坐标为,
所以它们所围成的封闭图形的面积
.
12.答案:
解析过程:
展开式的通项为
,
由得r=2,
所以,所以该项系数为
13.答案:
解析过程:
因为,所以,
又,
解方程组得,由余弦定理得
,
所以.
14.答案:
解析过程:
因为,
,
,
,
三、解答题
15.答案:(Ⅰ);(Ⅱ)最大值,最小值
解析过程:
(Ⅰ)解:由题意得
=
所以,的最小正周期
(Ⅱ)解:因为在区间上是减函数,
在区间上是增函数,
,,.
所以,在区间上的最大值为,最小值为.21
16.答案:(Ⅰ);(Ⅱ)见解析
解析过程:
(Ⅰ)解:由题意得
所以,事件发生的概率为.
(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
所以,随见变量的分布列为
随机变量的数学期望
17.答案:
见解析
解析过程:
如图,以为原点建立空间直角坐标系,
依题意可得,,,
,.
又因为M,N分别为和的中点,得,.
(Ⅰ)证明:依题意,可得为平面的一个法向量.
=.由此可得,
又因为直线平面,所以平面.
(Ⅱ)解:,.
设为平面的法向量,则
即
不妨设,可得..
设为平面的法向量,则
又,得
不妨设,可得.
因此有,于是.
所以,二面角的正弦值为。
(Ⅲ)解:依题意,可设,其中,
则,从而.
又为平面的一个法向量,
由已知,得=,
整理得,又因为,解得.
所以,线段的长为.
18.答案:
见解析
解析过程:
(Ⅰ)解:由已知,有,
即,所以.
又因为,故,由,得.
当时,;
当时,.
所以,的通项公式为
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得.设的前n项和为,
则 ,
,
上述两式相减,得
整理得,.
所以,数列的前n项和为,.
19.答案:
(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)
解析过程:
(Ⅰ)解:由已知有,又由,可得.
设直线的斜率为,则直线的方程为.
由已知,有+,解得.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得椭圆方程为,
直线的方程为,
两个方程联立,消去y,整理得,
解得,或.
因为点M在第一象限,可得M的坐标为.有,
解得,所以椭圆的方程为.
(Ⅲ)解:设点P的坐标为,直线FP的斜率为,
得,即,
与椭圆方程联立消去,
整理得.
又由已知,得,
解得,或.
设直线的斜率为,得,即,
与椭圆方程联立,整理可得.
①当时,有,
因此,于是,得.
②当时,有,
因此,于是,得.
综上,直线的斜率的取值范围是.
20.答案:见解析
解析过程:
(Ⅰ)解:由=,
可得==,
其中,且.
下面分两种情况讨论:
(1)当为奇数时.
令=0,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
↘
↗
↘
所以,在,上单调递减,在内单调递增。
(2)当为偶数时.
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
所以,在上单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ)证明:设点的坐标为,
则,.
曲线在点处的切线方程为,
即,
令,即,
则.
由于在上单调递减,
故在上单调递减,
又因为,
所以当时,,当时,,
所以在内单调递增,在上单调递减,
所以对于任意的正实数,都有,
即对于任意的正实数,都有.
(Ⅲ)证明:不妨设.
由(Ⅱ)知,
设方程的根为,可得,
当时,在上单调递减.
又由(Ⅱ)知,可得.
类似地,设曲线在原点处的切线方程为,
可得,
当,,
即对于任意的,.
设方程的根为,可得.
因为在上单调递增,
且,因此.
由此可得.
因为,所以,
故.所以,.