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  • 2021-05-14 发布

高考天津市理科数学真题含答案解析超完美版

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‎2015年高考天津市理科数学真题 一、选择题 ‎1.已知全集,集合,集合,则集合( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设,则“”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.如图,在圆中,是弦的三等分点,弦,分别经过点,若,,,则线段的长为( )‎ A. B.3 C. D.‎ ‎6.已知双曲线()的一条渐近线过点(),且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数函数,其中,若函数恰有个零点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎9.是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为 .‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .‎ ‎11.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎12.在的展开式中,的系数为 .‎ ‎13.在中,内角所对的边分别为.已知的面积为,,则的值为 .‎ ‎14.在等腰梯形中,已知。动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .‎ 三、解答题 ‎15.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在区间内的最大值和最小值.‎ ‎16.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。‎ ‎(Ⅰ)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”,求事件发生的概率;‎ ‎(Ⅱ)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17.如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长。‎ ‎18.已知数列满足(为实数,且),,,,且,,成等差数列。‎ ‎(Ⅰ)求的值和 的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,求数列的前项和.‎ ‎19.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为,.‎ ‎(Ⅰ)求直线的斜率; ‎ ‎(Ⅱ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅲ)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的取值范围。‎ ‎20.已知函数其中,且.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性; ‎ ‎(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,‎ 求证:对于任意的正实数,都有;‎ ‎(Ⅲ)若关于的方程(为实数)有两个正实数根,求证:.‎ ‎2015年高考天津市理科数学真题答案 一、选择题 ‎1.答案:A 解析过程:‎ ‎,所以,选A ‎2.答案:C 解析过程:‎ 不等式所表示的平面区域如下图所示,‎ 当所表示直线经过点时,有最大值,选C ‎3.答案:B 解析过程:‎ 输入;‎ 不成立;‎ 不成立 成立 输出,选B ‎4.答案:A 解析过程:‎ ‎,‎ 所以“”是“”的充分不必要条件,选A ‎5.答案:A 解析过程:‎ 由相交弦定理可知,‎ ‎,‎ 又因为是弦的三等分点,‎ 所以,‎ 所以,选A ‎6.答案:D 解析过程:‎ 双曲线()的渐近线方程为,‎ 由点在渐近线上,所以,‎ 双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上,‎ 所以,由此可解得,‎ 所以双曲线方程为,选D ‎7.答案:C 解析过程:‎ 因为函数为偶函数,所以,即,‎ 所以 所以,选C ‎8.答案:D 解析过程:‎ 由得,‎ 所以,‎ 即 ‎,‎ 所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解,‎ 即函数与函数的图象的4个公共点,‎ 由图象可知.选D ‎ ‎ 二、填空题 ‎9.答案:-2‎ 解析过程:‎ 是纯虚数,‎ 所以,即 ‎10.答案:‎ 解析过程:‎ 由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为,‎ 高为的圆柱,两端是底面半径为,高为的圆锥,‎ 所以该几何体的体积.‎ ‎11.答案:‎ 解析过程:‎ 两曲线的交点坐标为,‎ 所以它们所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎12.答案:‎ 解析过程:‎ 展开式的通项为 ‎,‎ 由得r=2,‎ 所以,所以该项系数为 ‎13.答案:‎ 解析过程:‎ 因为,所以,‎ 又,‎ 解方程组得,由余弦定理得 ‎,‎ 所以.‎ ‎14.答案:‎ 解析过程:‎ 因为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 三、解答题 ‎15.答案:(Ⅰ);(Ⅱ)最大值,最小值 解析过程:‎ ‎(Ⅰ)解:由题意得 ‎=‎ 所以,的最小正周期 ‎(Ⅱ)解:因为在区间上是减函数,‎ 在区间上是增函数,‎ ‎,,.‎ 所以,在区间上的最大值为,最小值为.21‎ ‎16.答案:(Ⅰ);(Ⅱ)见解析 解析过程:‎ ‎(Ⅰ)解:由题意得 所以,事件发生的概率为.‎ ‎(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ 所以,随见变量的分布列为 随机变量的数学期望 ‎17.答案:‎ 见解析 解析过程:‎ 如图,以为原点建立空间直角坐标系,‎ 依题意可得,,,‎ ‎,.‎ 又因为M,N分别为和的中点,得,.‎ ‎(Ⅰ)证明:依题意,可得为平面的一个法向量. ‎ ‎=.由此可得,‎ 又因为直线平面,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)解:,.‎ 设为平面的法向量,则 即 不妨设,可得..‎ 设为平面的法向量,则 又,得 不妨设,可得.‎ 因此有,于是.‎ 所以,二面角的正弦值为。‎ ‎(Ⅲ)解:依题意,可设,其中,‎ 则,从而.‎ 又为平面的一个法向量,‎ 由已知,得=,‎ 整理得,又因为,解得.‎ 所以,线段的长为.‎ ‎18.答案:‎ 见解析 解析过程:‎ ‎(Ⅰ)解:由已知,有,‎ 即,所以.‎ 又因为,故,由,得. ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 所以,的通项公式为 ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得.设的前n项和为,‎ 则 ,‎ ‎,‎ 上述两式相减,得 整理得,.‎ 所以,数列的前n项和为,.‎ ‎19.答案:‎ ‎(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)‎ 解析过程:‎ ‎(Ⅰ)解:由已知有,又由,可得.‎ 设直线的斜率为,则直线的方程为.‎ 由已知,有+,解得.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得椭圆方程为,‎ 直线的方程为,‎ 两个方程联立,消去y,整理得,‎ 解得,或.‎ 因为点M在第一象限,可得M的坐标为.有,‎ 解得,所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅲ)解:设点P的坐标为,直线FP的斜率为,‎ 得,即,‎ 与椭圆方程联立消去,‎ 整理得.‎ 又由已知,得,‎ 解得,或.‎ 设直线的斜率为,得,即,‎ 与椭圆方程联立,整理可得.‎ ‎①当时,有,‎ 因此,于是,得.‎ ‎②当时,有,‎ 因此,于是,得.‎ 综上,直线的斜率的取值范围是.‎ ‎20.答案:见解析 解析过程:‎ ‎(Ⅰ)解:由=,‎ 可得==,‎ 其中,且.‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎(1)当为奇数时.‎ 令=0,解得,或.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以,在,上单调递减,在内单调递增。‎ ‎(2)当为偶数时.‎ 当,即时,函数单调递增;‎ 当,即时,函数单调递减.‎ 所以,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(Ⅱ)证明:设点的坐标为,‎ 则,.‎ 曲线在点处的切线方程为,‎ 即,‎ 令,即,‎ 则.‎ 由于在上单调递减,‎ 故在上单调递减,‎ 又因为,‎ 所以当时,,当时,,‎ 所以在内单调递增,在上单调递减,‎ 所以对于任意的正实数,都有,‎ 即对于任意的正实数,都有.‎ ‎(Ⅲ)证明:不妨设.‎ 由(Ⅱ)知,‎ 设方程的根为,可得,‎ 当时,在上单调递减.‎ 又由(Ⅱ)知,可得.‎ 类似地,设曲线在原点处的切线方程为,‎ 可得,‎ 当,,‎ 即对于任意的,.‎ 设方程的根为,可得.‎ 因为在上单调递增,‎ 且,因此.‎ 由此可得.‎ 因为,所以,‎ 故.所以,.‎