- 1.06 MB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
www.ks5u.com
【高频考点解读】
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【热点题型】
题型一 正、余弦定理的简单运用
【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=2,b=,A=45°,则c=________.
(2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则B=________.
【答案】 (1)3+ (2)
【解析】
(1)法一 在△ABC中,由正弦定理得sin B===,因为b<a,所以B<A,所以B=30°,C=180°-A-B=105°,sin C=sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=.
故c===+3.
【提分秘籍】
(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.
【举一反三】
(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则=________.
【答案】 (1)A (2)
【解析】
(1)由2c2=2a2+2b2+ab,得a2+b2-c2=-ab,所以cos C===-<0,所以90°<C<180°,即△ABC为钝角三角形.
题型二 正、余弦定理的综合运用
【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
【解析】 (1)在△ABC中,由题意知,sin A=
=,
因为B=A+,
所以sin B=sin=cos A=.
由正弦定理,得b===3.
(2)由B=A+,得cos B=cos=-sin A=-.
由A+B+C=π,得C=π-(A+B).
所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.
因此△ABC的面积S=absin C=×3×3×
=.
【提分秘籍】
有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化;(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等.
【举一反三】
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=,求cos C的值;
(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.
【解析】
所以sin A+sin B=3sin C.
由正弦定理可知a+b=3c.
又因为a+b+c=8,故a+b=6.
由于S=absin C=sin C,所以ab=9,
从而a2-6a+9=0,
解得a=3,b=3.
题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用
【例3】 如图,在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注:≈2.449).
【解析】
则有10t=,t=≈0.245小时=14.7分钟.
故缉私船沿北偏东60°方向,需14.7分钟才能追上走私船.
【提分秘籍】
解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
【举一反三】
如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m.
【答案】 150
【解析】 【高考风向标】
【2015高考上海,理14】在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则 .
【答案】
【解析】由题意得:,又,因为DEAF四点共圆,因此
【2015高考广东,理11】设的内角,,的对边分别为,,,若, ,,则 .
【答案】.
【解析】因为且,所以或,又,所以,,又,由正弦定理得即解得,故应填入.
【2015高考湖北,理12】函数的零点个数为 .
【答案】2
【解析】
【2015高考湖北,理13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m.
【答案】
【解析】
【2015高考重庆,理13】在ABC中,B=,AB=,A的角平分线AD=,则AC=_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得,即,解得,,从而,所以,.
【2015高考福建,理12】若锐角的面积为 ,且 ,则 等于________.
【答案】7
【解析】由已知得的面积为,所以,,所以.由余弦定理得,.
【2015高考新课标2,理17】(本题满分12分)
中,是上的点,平分,面积是面积的2倍.
(Ⅰ) 求;
(Ⅱ)若,,求和的长.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】【2015高考浙江,理16】在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,=.
(1)求的值;
(2)若的面积为7,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由及正弦定理得,
∴,又由,即,得,
解得;(2)由,得,,
又∵,∴,由正弦定理得,
又∵,,∴,故.
【2015高考安徽,理16】在中,,点D在边上,,求的长.
【答案】
【解析】如图,
【2015高考陕西,理17】(本小题满分12分)的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
(I)求;
(II)若,求的面积.
【答案】(I);(II).
【解析】
(I)因为,所以,
由正弦定理,得
又,从而,
由于,所以
(2014·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为________.
【答案】-
【解析】∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.
又∵b-c=,∴a=2c,b=c,
∴cos A===-.
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
【答案】[-1,1]
【解析】在△OMN中,OM=≥1=ON,所以设∠ONM=α,则45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sin α∈[1,],所以0≤x≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
(2014·广东卷)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=________.
【答案】2
【解析】(2014·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
【解析】 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得cos B==,所以由正弦定理可得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2 .
(2)由余弦定理得cos A===
-.因为0c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
【解析】
所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.
(2014·全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.
【解析】由题设和正弦定理得
3sin Acos C=2sin Ccos A,
故3tan Acos C=2sin C.
因为tan A=,所以cos C=2sin C,
所以tan C=.
所以tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
=
=-1,
所以B=135°.
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.
【答案】
【解析】(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
【答案】B
【解析】根据三角形面积公式,得BA·BC·sin B=,即×1××sin B=,得sin B=,其中C8 B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
【答案】A
【解析】因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,C=π-(A+B),所以由已知等式可得sin 2A+sin(π-2B)=sin[π-2(A+B)]+,即sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B)+,
所以sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+,
所以2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+,
所以2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]=,所以sin Asin Bsin C=.
由1≤S≤2,得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C
,所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以1≤≤2,即2≤R≤2 ,所以bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8.
【高考押题】
1.在△ABC中,若a=4,b=3,cos A=,则B=( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为 ( )
A. B. C.2 D.2
【答案】 B
【解析】 因为S=×AB×ACsin A=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,所以BC=.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 ( )
A.2+2 B.+1
C.2-2 D.-1
【答案】 B
【解析】 由正弦定理=及已知条件,得c=2,
又sin A=sin(B+C)=×+×=.
从而S△ABC=bcsin A=×2×2×=+1.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于 ( )
A.240(-1)m B.180(-1)m
C.120(-1)m D.30(+1)m
【答案】 C
【解析】 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD===60(m),
在Rt△ABD中,BD====
60(2-) (m),
∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为________.
【答案】 或
【解析】 由余弦定理,得=cos B,结合已知等式得cos B·tan B=,∴sin B=,∴B=或.
7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=________.
【答案】 2
【解析】 由已知及余弦定理得b·+c·=2b,化简得a=2b,则=2.
8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=,则sin B=________.
【答案】
【解析】9.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,
sin ∠CBA=,求BC的长.
【解析】
10.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
【解析】 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于0