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  • 2021-05-14 发布

高考理数热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形

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www.ks5u.com ‎ ‎ ‎【高频考点解读】‎ ‎1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;‎ ‎2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ ‎【热点题型】‎ 题型一  正、余弦定理的简单运用 ‎【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a=2,b=,A=45°,则c=________.‎ ‎(2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则B=________.‎ ‎【答案】 (1)3+ (2) ‎【解析】 ‎ ‎(1)法一 在△ABC中,由正弦定理得sin B===,因为b<a,所以B<A,所以B=30°,C=180°-A-B=105°,sin C=sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=.‎ 故c===+3.‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且‎2c2=‎2a2+2b2+ab,则△ABC是(  )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 ‎(2)在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则=________.‎ ‎【答案】 (1)A (2) ‎【解析】 ‎ ‎(1)由‎2c2=‎2a2+2b2+ab,得a2+b2-c2=-ab,所以cos C===-<0,所以90°<C<180°,即△ABC为钝角三角形.‎ 题型二 正、余弦定理的综合运用 ‎【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎【解析】 (1)在△ABC中,由题意知,sin A= ‎=,‎ 因为B=A+,‎ 所以sin B=sin=cos A=.‎ 由正弦定理,得b===3.‎ ‎(2)由B=A+,得cos B=cos=-sin A=-.‎ 由A+B+C=π,得C=π-(A+B).‎ 所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)‎ ‎=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.‎ 因此△ABC的面积S=absin C=×3×3× ‎=.‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化;(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等.‎ ‎【举一反三】 ‎ 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.‎ ‎(1)若a=2,b=,求cos C的值;‎ ‎(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.‎ ‎【解析】‎ 所以sin A+sin B=3sin C.‎ 由正弦定理可知a+b=‎3c.‎ 又因为a+b+c=8,故a+b=6.‎ 由于S=absin C=sin C,所以ab=9,‎ 从而a2-‎6a+9=0,‎ 解得a=3,b=3.‎ 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 ‎【例3】 如图,在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A为‎2海里的C处的缉私船奉命以‎10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以‎10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间(注:≈2.449).‎ ‎【解析】‎ 则有10t=,t=≈0.245小时=14.7分钟.‎ 故缉私船沿北偏东60°方向,需14.7分钟才能追上走私船.‎ ‎【提分秘籍】‎ 解三角形应用题的两种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.‎ ‎【举一反三】 ‎ 如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=‎100 m,则山高MN=________m.‎ ‎【答案】 150‎ ‎【解析】 【高考风向标】‎ ‎ 【2015高考上海,理14】在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得:,又,因为DEAF四点共圆,因此 ‎【2015高考广东,理11】设的内角,,的对边分别为,,,若, ,,则 . ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为且,所以或,又,所以,,又,由正弦定理得即解得,故应填入.‎ ‎【2015高考湖北,理12】函数的零点个数为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考湖北,理13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶‎600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考重庆,理13】在ABC中,B=,AB=,A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得,即,解得,,从而,所以,.‎ ‎【2015高考福建,理12】若锐角的面积为 ,且 ,则 等于________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为,所以,,所以.由余弦定理得,.‎ ‎【2015高考新课标2,理17】(本题满分12分)‎ 中,是上的点,平分,面积是面积的2倍.‎ ‎(Ⅰ) 求;‎ ‎(Ⅱ)若,,求和的长. ‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】【2015高考浙江,理16】在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,=.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若的面积为7,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由及正弦定理得,‎ ‎∴,又由,即,得,‎ 解得;(2)由,得,,‎ 又∵,∴,由正弦定理得,‎ 又∵,,∴,故.‎ ‎【2015高考安徽,理16】在中,,点D在边上,,求的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,‎ ‎ ‎ ‎ 【2015高考陕西,理17】(本小题满分12分)的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)若,求的面积.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】‎ ‎(I)因为,所以,‎ 由正弦定理,得 又,从而,‎ 由于,所以 ‎(2014·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为________.‎ ‎【答案】- ‎ ‎【解析】∵2sin B=3sin C,∴2b=‎3c.‎ 又∵b-c=,∴a=‎2c,b=c,‎ ‎∴cos A===-.‎ ‎(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.‎ ‎【答案】[-1,1] ‎ ‎【解析】在△OMN中,OM=≥1=ON,所以设∠ONM=α,则45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sin α∈[1,],所以0≤x≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].‎ ‎(2014·广东卷)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】(2014·安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求sin的值.‎ ‎【解析】 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得cos B==,所以由正弦定理可得a=2b·.‎ 因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2 .‎ ‎(2)由余弦定理得cos A===‎ ‎-.因为0c.已知·=2,cos B=,b=3.求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)cos(B-C)的值.‎ ‎【解析】‎ 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.‎ ‎(2014·全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.‎ ‎【解析】由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C=2sin Ccos A,‎ 故3tan Acos C=2sin C.‎ 因为tan A=,所以cos C=2sin C,‎ 所以tan C=.‎ 所以tan B=tan[180°-(A+C)]‎ ‎=-tan(A+C)‎ ‎= ‎=-1,‎ 所以B=135°.‎ ‎(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(  )‎ A.5 B. C.2 D.1‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】根据三角形面积公式,得BA·BC·sin B=,即×1××sin B=,得sin B=,其中C8 B.ab(a+b)>16 ‎ C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,C=π-(A+B),所以由已知等式可得sin ‎2A+sin(π-2B)=sin[π-2(A+B)]+,即sin ‎2A+sin 2B=sin 2(A+B)+,‎ 所以sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+,‎ 所以2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+, ‎ 所以2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]=,所以sin Asin Bsin C=.‎ 由1≤S≤2,得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C ‎,所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以1≤≤2,即2≤R≤2 ,所以bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8.‎ ‎【高考押题】‎ ‎ 1.在△ABC中,若a=4,b=3,cos A=,则B=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【解析】2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为 (  )‎ A. B. C.2 D.2 ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】 因为S=×AB×ACsin A=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,所以BC=.‎ ‎3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 (  )‎ A.2+2 B.+1 ‎ C.2-2 D.-1 ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】 由正弦定理=及已知条件,得c=2,‎ 又sin A=sin(B+C)=×+×=.‎ 从而S△ABC=bcsin A=×2×2×=+1. ‎ ‎4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 (  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】 A ‎【解析】5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是‎60 m,则河流的宽度BC等于 (  )‎ A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m ‎ ‎【答案】 C ‎【解析】 如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=‎60 m,在Rt△ACD中,CD===60(m),‎ 在Rt△ABD中,BD====‎ ‎60(2-) (m),‎ ‎∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为________.‎ ‎【答案】 或 ‎【解析】 由余弦定理,得=cos B,结合已知等式得cos B·tan B=,∴sin B=,∴B=或.‎ ‎7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=________.‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 由已知及余弦定理得b·+c·=2b,化简得a=2b,则=2.‎ ‎8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=,则sin B=________.‎ ‎【答案】  ‎【解析】9.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎ (1)求cos∠CAD的值;‎ ‎(2)若cos∠BAD=-,‎ sin ∠CBA=,求BC的长.‎ ‎【解析】‎ ‎10.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求sin的值.‎ ‎【解析】 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.‎ 由正、余弦定理得a=2b·.‎ 因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.‎ ‎(2)由余弦定理得cos A===-.‎ 由于0