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- 2021-05-14 发布
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数学高考综合能力题选讲26
建构数列模型的应用性问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
数列作为特殊的函数,在高中数学中占有相当重要的位置,涉及实际应用的问题广泛而多样,如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段,注意其间的递推关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型.
建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向.
范例选讲
例1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%.从2001年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的4%又被侵蚀,变成了沙漠.
(Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过80%?
(Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%?
讲解:本题为实际问题,首先应该读懂题意,搞清研究对象,然后把它转化为数学问题.不难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设:
全县面积为1,记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为,经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为,则我们所要回答的问题就是:
(Ⅰ)是否存在自然数,使得>80% ?
(Ⅱ)求使得>60%成立的最小的自然数.
为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出数列的相邻项之间的函数关系,然后由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式.
由题可知:,
所以,当时,,两式作差得:
又,
所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列.
所以,
由上式可知:对于任意,均有.即全县绿地面积不可能超过总面积的80%.
(Ⅱ)令,得,
由指数函数的性质可知:随的增大而单调递减,因此,我们只需从开始验证,直到找到第一个使得的自然数即为所求.
验证可知:当时,均有,而当时,,
由指数函数的单调性可知:当时,均有.
所以,从2000年底开始,5年后,即2005年底,全县绿地面积才开始超过总面积的60%.
点评:(Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定的值.
例2.某人计划年初向银行贷款10万元用于买房.他选择10年期贷款,偿还贷款的方式为:分10次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若10年期贷款的年利率为4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),问每年应还多少元(精确到1元)?
讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首先需要明确的是:如果不考虑其它因素,同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现在的10元钱,其价值应该大于1年后的10元钱.原因在于:现在的10元钱,在1年的时间内要产生利息.
在此基础上,这个问题,有两种思考的方法:
法1.如果注意到按照贷款的规定,在贷款全部还清时,10万元贷款的价值,与这个人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算.
10万元,在10年后(即贷款全部付清时)的价值为元.
设每年还款x元.则第1次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为;
第2次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为;
……;
第10次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为元.于是:
105×(1+4%)10= x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x
由等比数列求和公式可得:.其中
所以,
法2.从另一个角度思考,我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱.
仍然设每年还款x元.则第一年还款后,欠银行的余额为:元;
如果设第k年还款后,欠银行的余额为元,则.
不难得出:=105×(1+4%)10-x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x
另一方面,按道理,第10次还款后,这个人已经把贷款全部还清了,故有.由此布列方程,得到同样的结果.
点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于:1.分清单利、复利(即等差与等比);2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的思考方法),恰当转化.
例3.将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种,要使得相邻的边的颜色互不相同,有多少种不同的涂色方法?
讲解:本题从表面上看是排列组合的问题,与数列没有关系,但直接考虑并不简单,为此,我们考虑更一般的问题(即对于n边形的涂色问题),并建构如下递推数列的模型:
设n边形(各边依次为)满足条件的涂色方法有种.考虑n+1边形的涂法:
从边开始考虑,对于,有3种涂法;对于边,由于要不同于边,故有2种涂法;……
;对于,有2种涂法;最后考虑边,如果不考虑这条边是否与边同色,则也应该有2种涂法,故涂法种数为.
上述涂色的方法中,包括两种,第一种是边与边的颜色不同,这种涂色方法恰好符合题意,其总数应该为;第二种是边与边的颜色相同,对于这一种涂色方法,如果我们把边与边看作是同一条边,则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求,故涂色方法总数应该为.由此,不难得出:
.
所以,.另一方面,显然有.所以,
,
显然,.
点评:本题的难点在于递推数列模型的建立.一般来说,数列型应用题的特点是:与n有关.
高考真题
1. (1999年全国高考)右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(Ⅰ)输入带钢的厚度为,输出带钢的厚度为,若每对轧辊的减薄率不超过.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?
(一对轧辊减薄率)
(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm.若第对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为.为了便于检修,请计算并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)
轧锟序号
1
2
3
4
疵点间距(单位:)
1600
2. (2001年全国高考) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,估计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元,写出的表达式.
(Ⅱ)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
3. (2002年全国高考)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
[答案与提示:1.(Ⅰ)至少需要安装不小于的整数对轧辊;(Ⅱ)
. 2.(Ⅰ),;(Ⅱ)5年. 3.每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]