2016高考理科数学二轮复习专题概率统计专题训练题3 45页

概率统计专题训练题（3）‎ ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2015•潍坊模拟）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过三小时．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•葫芦岛二模）某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．‎ ‎1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；‎ ‎（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；‎ ‎（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•武汉模拟）某校为了提高学生的身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．‎ ‎（1）求该校报名学生的总人数；‎ ‎（2）从报名的学生中任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望．‎ ‎　‎ ‎4．（2015春•梧州校级期末）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．‎ ‎（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值．‎ ‎（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．‎ ‎　‎ ‎5．（2011•桂林一模）A地某单位用三辆客车送职工去B地旅游，从A地到B地有高速公路和一级公路各一条，已知客车走一级公路堵车的概率为；若1号、2号两辆客车走一级公路，3号公路走高速公路，且在辆客车是否被堵车相互之间无影响，若三辆客车中恰有一辆被堵车的概率为．‎ ‎（I）求客车走高速公路被堵车的概率；‎ ‎（II）求三辆客车中被堵车辆的辆数ξ的数学期望和方差．‎ ‎　‎ ‎6．（2011•广州二模）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．‎ 听觉 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 能力 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ b 偏高 ‎2‎ a ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．‎ ‎（1）试确定a、b的值；‎ ‎（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；‎ ‎（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．‎ ‎　‎ ‎7．（2011•合肥二模）高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？‎ ‎（3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；‎ ‎（4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．‎ ‎　‎ ‎8．（2010•海安县校级模拟）（2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：‎ 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ 从中随机地选取5只．‎ ‎（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；‎ ‎（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎9．（2010秋•荔湾区校级月考）随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于，他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•济宁校级一模）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；‎ ‎（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•广州模拟）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．‎ ‎（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；‎ ‎（2）若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求n的分布列及数学期望；‎ ‎（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•金昌校级模拟）2013年8月28日﹣30日，第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行，为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如所示的茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•邢台模拟）为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，从全市志愿者中随机抽取了80名志愿者，对其年龄进行统计后得到频率分布直方图如下，但是年龄组在[25，30）的数据不慎丢失．‎ ‎（Ⅰ）求年龄组[25，30）对应的小长方形的高，并估计抽取的志愿者中年龄在[25，30）的人数 ‎（Ⅱ）轨迹市志愿者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，从该市大量志愿者中随机抽取3名志愿者参加某项活动，记抽取的志愿者年龄不小于35随的人数为X，求X的分布列及数学期望EX和方程DX．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•淄博三模）某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：‎ 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率 与丙 队比赛 与丁队比赛 注：各队之间比赛结果相互独立．‎ ‎（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；‎ ‎（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）‎ ‎　‎ ‎15．（2015•保定二模）钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”．求从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该所学校（人数可视为很多）任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎　‎ ‎16．（2013秋•黄梅县校级期中）2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；‎ ‎（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；‎ ‎（3）若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X为获奖户数，求X的数学期望E（X）与方差D（X）．‎ ‎　‎ ‎17．（2012•禅城区校级模拟）某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为，雨水偏少的概率为 ．若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为，单价为3元/公斤的概率为； 若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 ，单价为3元/公斤的概率为．‎ ‎（1）计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；‎ ‎（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？‎ ‎　‎ ‎18．（2011•门头沟区一模）某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，‎ ‎（Ⅰ）求该顾客中一等奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；‎ ‎（Ⅲ）求数学期望Eξ（精确到0.01）．‎ ‎　‎ ‎19．（2011•成都二模）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励，现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．‎ ‎（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；‎ ‎（Ⅱ）求此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金的概率．‎ ‎　‎ ‎20．扣人心弦巴西世界足球杯已落下了帷幕，为了解市民对该届世界杯的关注情况，某市足球协会针对该市市民组织了一次随机调查，所抽取的样本容量为120，调查结果如下：‎ 收视情况 看直播 看转播 不看 人数（单位：人）‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）若从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，求这3人中至少有1人为“看直播“的概率 ‎（2）现从（1）所抽取的6人的问卷中每次抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有为看直播的问卷为止，记要抽取的次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎　‎ ‎21．（2014秋•成华区校级月考）在西部大开发中，某市的投资环境不断改善，综合竞争力不断提高，今年一季度先后有甲、乙、丙三个国际投资考察团来到该市，独立地对A，B，C，D四个项目的投资环境进行考察．若甲考察团对项目A满意且对项目B，C，D三个中至少有1个项目满意，则决定到该市投资；否则，就放弃到该市投资．假设甲考察团对A，B，C，D四个项目的考察互不影响，且对这四个项目考察满意的概率分别如下：‎ ‎（1）求甲考察团决定到该市投资的概率；‎ ‎（2）假设乙、丙考察团决定到该市投资的概率都与甲相等，记甲、乙、丙三个考察团中决定到该市投资的考察团个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．‎ 考察项目 A B C D 满意的概率 ‎　‎ ‎22．（2014秋•禅城区校级月考）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．‎ ‎（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；‎ ‎（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；‎ ‎（3）若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品．从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•河南模拟）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成茎叶图如图（单位：cm）若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎　‎ ‎24．（2012•泸州一模）甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为面试和文化测试，只有面试通过后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格．因为甲．乙．丙三人各有优势，甲．乙．丙三人面试通过的概率分别为0.5，0.6，0.4；面试通过后，甲．乙．丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．‎ ‎　‎ ‎25．（2011•成都一模）第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．‎ ‎（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；‎ ‎（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎　‎ ‎26．（2014秋•成都月考）某公司为了测试某款电脑游戏软件的性能，要举行一种叫“电脑闯关比赛”的有奖活动，在一次“电脑闯关比赛”中，甲、乙两位选手在同等的条件下闯关成功的概率分别为和．设甲、乙两位选手手闯关相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求至少有一位选手闯关成功的概率；‎ ‎（Ⅱ）公司根据以往参赛选手对这项活动支持的程度规定：若甲闯关成功可获得奖励300元，若乙闯关成功可获得奖励250元，求该公司奖励的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎27．（2013•广元二模）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．‎ ‎（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？‎ ‎（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎28．（2012秋•麒麟区校级月考）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．‎ ‎（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；‎ ‎（2）随机抽取8位同学，‎ 数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；‎ 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，‎ ‎①若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 根据上表数据可知，变量y与x之间具有较强的线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：，其中，；参考数据：，，，，，，）‎ ‎　‎ ‎29．（2011•潍坊一模）某校高一年级共有学生320人．为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成教师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）‎ ‎（Ⅲ）问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人，设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎30．（2010春•开福区校级月考）上海迪斯尼乐园的具体建设在紧锣密鼓的推进之中，要形成一定规模的主题乐园至少还需要四到五年的时间，其中有三名工人准备参与建设“动物王国”、“魔幻影城”和“梦幻世界”三个主题公园，规划中3个主题公园所含工程项目的个数分别占总工程个数的，现在这3名工人独立从中任选一个项目参与建设．‎ ‎（1）求他们选择的项目互不相同的概率．‎ ‎（2）记ξ为3人中选择的项目属于“魔幻影城”或“梦幻世界”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎　‎ ‎　‎ 概率统计专题训练题（3）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2015•潍坊模拟）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过三小时．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为1，2，3元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同，即为1，2，3元，‎ 都付1元的概率为P（1）=‎ 都付2元的概率为P（2）=‎ 都付3元的概率为P（3）=‎ 故所付费用相同的概率为P=P（1）+P（2）+P（3）=‎ 所付费用不相同的概率为1﹣P=‎ ‎（Ⅱ）依题意，ξ可能取得值为2，3，4，5，6‎ P（ξ=2）=，P（ξ=3）=‎ P（ξ=4）=‎ P（ξ=5）=‎ P（ξ=6）=‎ 故ξ的分布列为 ‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ P 所求数学期望Eξ=‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题 ‎　‎ ‎2．（2015•葫芦岛二模）某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．‎ ‎1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；‎ ‎（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；‎ ‎（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A．利用独立重复试验求得概率．‎ ‎（2）写出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．‎ ‎【解答】解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，‎ 事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则 ‎，，…（2分）‎ ‎（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：‎ A=A1CA2C ×‎ ‎∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；…（6分）‎ ‎（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；‎ P（X=3000）=P（A1）=；‎ P（X=6000）=P（A1 CA2）=；‎ P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）=；‎ P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）=；‎ P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）=；‎ P（X=0）=P（）+P（A1C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4C ）=；‎ ‎（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）‎ ‎=1﹣）．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎3000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎12000‎ ‎24000‎ P ‎∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×‎ ‎=1250+1000+500+250+250=3250（元）‎ ‎∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250（元）…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了独立重复试验和随机变量的期望，属中档题型，高考常考题型 ‎　‎ ‎3．（2015•武汉模拟）某校为了提高学生的身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．‎ ‎（1）求该校报名学生的总人数；‎ ‎（2）从报名的学生中任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据频数关系求出每段的频数即可求该校报名学生的总人数；‎ ‎（2）X=0，1，2，3，求出每个变量对应的概率，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．‎ ‎∴从左到右3个小组的频数分别为6，12，18，共有36人，‎ 第4，5小组的频率之和为（0.0375+0.0125）×5=0.25，‎ 则前3小组的频率之和为1﹣0.25=0.75，‎ 则该校报名学生的总人数为36÷0.75=48；‎ ‎（2）第4，5小组的频数为48×0.25=12，‎ 则体重超过60kg的学生人数为12+18=30，‎ 则X=0，1，2，3，‎ 则P（X=0）==≈0.047，P（X=1）==≈0.265，‎ P（X=2）=≈0.453，P（X=3）==≈0.235，‎ 则EX=0×0.047+1×0.265+2×0.453+3×0.235=1.876，‎ 即X的数学期望EX=1.876‎ ‎【点评】本题主要考查概率和统计的应用，以及随机变量的期望的计算，求出每个变量的概率是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2015春•梧州校级期末）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．‎ ‎（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值．‎ ‎（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）由等差数列性质和频率分布直方图得，由此能求出a，b．‎ ‎（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300．分别求出相应的概率，由此能求出此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望 ‎【解答】解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，‎ ‎∴由频率分布直方图得，‎ 解得a=0.035，b=0.025．（4分）‎ ‎（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，‎ 其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．（6分）‎ 从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，‎ 则X的所有可能取值为：150，200，250，300．‎ P（X=150）=，‎ P（X=200）=，‎ P（X=250）=，‎ P（X=300）=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎（10分）‎ EX=150×+200×+250×+300×=210．（12分）‎ ‎【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法．本题主要考查数据处理能力．‎ ‎　‎ ‎5．（2011•桂林一模）A地某单位用三辆客车送职工去B地旅游，从A地到B地有高速公路和一级公路各一条，已知客车走一级公路堵车的概率为；若1号、2号两辆客车走一级公路，3号公路走高速公路，且在辆客车是否被堵车相互之间无影响，若三辆客车中恰有一辆被堵车的概率为．‎ ‎（I）求客车走高速公路被堵车的概率；‎ ‎（II）求三辆客车中被堵车辆的辆数ξ的数学期望和方差．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（I）客车走一级公路堵车的概率为，不堵车的概率为，设客车走高速公路堵车的概率是p，不堵车的概率是1﹣p，由题设知，从而得到客车走高速公路被堵车的概率．‎ ‎（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，p（ξ=0）=，p（ξ=1）=，p（ξ=2）=，p（ξ=3）=，由此能够求出三辆客车中被堵车辆的辆数ξ的数学期望和方差．‎ ‎【解答】解：（I）客车走一级公路堵车的概率为，不堵车的概率为，‎ 设客车走高速公路堵车的概率是p，不堵车的概率是1﹣p，‎ ‎∴，‎ 解得p=．‎ ‎（II）ξ可能的取值是0，1，2，3，‎ p（ξ=0）==，‎ p（ξ=1）=，‎ p（ξ=2）=，‎ p（ξ=3）=，‎ ‎∴Eξ=0×，‎ Dξ=+．‎ ‎【点评】本题n次独立重复试验恰好发生k次的概率，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎　‎ ‎6．（2011•广州二模）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．‎ 听觉 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ b 偏高 ‎2‎ a ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．‎ ‎（1）试确定a、b的值；‎ ‎（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；‎ ‎（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，事件A的概率即为，由此建立方程即可求出a，b．‎ ‎（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率，方法一：可分为三类求其概率，分别为有一，二、三位能力超常的人；求出三类中所胡可能的情况；方法二：转化为求其对立事件的概率，易求．‎ ‎（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，‎ 则，解得a=6．‎ 所以b=40﹣（32+a）=40﹣38=2．‎ 答：a的值为6，b的值为2．‎ ‎（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．‎ 方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，‎ 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，‎ 所以．‎ 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．‎ 方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，‎ 所以．‎ 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．‎ ‎（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C24kC163﹣k，‎ 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，（k=0，1，2，3）（8分）ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ 因为，，，，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．‎ 答：随机变量ξ的数学期望为 ‎【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解问题的关键是正确理解题意以及熟练掌握求概率的方法，本题二中提供了两种方法求概率，对比发现求对立事件的概率较易．求概率时灵活选择求概率的角度可以简化运算，本题运算量较大，易马虎导致错误，以至于解题失败，做题时要严谨、认真，算好每一步．避免一步错步步错．‎ ‎　‎ ‎7．（2011•合肥二模）高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分．按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表．‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？‎ ‎（3）如果想了解全年级学生该维度的表现情况，采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由；‎ ‎（4）学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人，分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查，检查他们是否躲优秀的相4名检查人员各自纖立的舰20学生中随机抽取一名，设其中男生的人数为随机变量x，求随机变量x的分布列期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则，由P（K2＞2.706）=0.10，知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．‎ ‎（2）因性别很有可能对是否优秀有影响，故采用分层抽样按男女生必抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；‎ ‎（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4．由随机变量X服从二项分布X：B（4，），能求出随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则 ‎，‎ P（K2＞2.706）=0.10，‎ 因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测试结果有关系”．‎ ‎（2）有（1）可知性别很有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度总体表现情况会比较符合实际情况；‎ ‎（3）四名抽查人员，从20名学生中随即抽取一名是男生的概率是P=，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4．‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ P（X=3）=，‎ p（X=4）=，‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ X ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ P ‎∵随机变量X服从二项分布X：B（4，）‎ ‎∴EX=np=4×．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要注意随机变量X服从二项分布X：B（4，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎8．（2010•海安县校级模拟）（2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：‎ 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ 从中随机地选取5只．‎ ‎（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；‎ ‎（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；应用题．‎ ‎【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C21C31种结果，根据古典概型的概率公式得到结果．‎ ‎（2）ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．结合变量对应的事件，根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到变量的分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件是从8只吉祥物中选5只，共有C85种结果，‎ 满足条件的事件是选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”，共有C21C31种结果 ‎∴选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率．‎ ‎（2）由题意知ξ表示所得的分数，则ξ的取值为100，80，60，40．‎ 根据古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到 ‎；‎ ‎；；‎ ‎．‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查对于实际问题的理解能力，是一个综合题目，这种题目一般是一个送分题目．‎ ‎　‎ ‎9．（2010秋•荔湾区校级月考）随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于，他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；应用题．‎ ‎【分析】（1）设出小明参加第一次考核就合格的概率，根据他直到参加第二次考核才合格的概率为，和小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，写出关系式，得到方程，解方程即可，注意去掉不合题意的．‎ ‎（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是，变量的可能取值是1，2，3，4，根据相互独立事件的概率公式得到变量对应的概率，写出分布列和期望值．‎ ‎【解答】解：（1）设小明参加第一次考核就合格的概率为p，‎ 则 即49p2﹣42p+8=O，‎ 解得：或 ‎∵，‎ ‎∴‎ 即小明参加第一次考核就合格的概率为 ‎（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是 ‎∴ξ=1，2，3，4，‎ P（ξ=1）=，P（ξ=2）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查相互独立事件的概率公式，考查对立事件的概率，本题是一个综合题目，是近几年必出的一道题目．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•济宁校级一模）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；‎ ‎（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）先求出符合条件的学生的人数，从而求出参加社区服务时间不少于90小时的概率估计；‎ ‎（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，代入公式求出相对应的概率，列出随机变量ξ的分布列，从而求出期望值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为60（人），‎ 参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为20先求出（人）．‎ 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．‎ 所以从全市高中学生中任意选取一人，‎ 其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为．‎ ‎（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，‎ 其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．‎ 由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 因为ξ～，所以．‎ ‎【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望值，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•广州模拟）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．‎ ‎（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；‎ ‎（2）若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求n的分布列及数学期望；‎ ‎（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）求解第6小组的频率，既而得出此次测试总人数，第4、5、6组成绩均合格，运用频率求解即可．‎ ‎（2）运用独立重复试验公式求解得出X=0，1，2，的概率即得出分布列，数学期望．‎ ‎（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、Tn米，则基本事件满足的区域画图求解即可，运用几何概率求解甲比乙投掷远的概率．‎ ‎【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，‎ ‎∴此次测试总人数为=50（人）．‎ ‎∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）‎ 即这次铅球测试成绩合格的人数为36‎ ‎（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为=，‎ ‎∴X～B（2，）．‎ P（X=0）=（）2=，‎ P（X=1）=C（）（）=，‎ P（X=2）=（）2=．‎ 所求分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（x）=2× 两人中成绩不合格的人数的数学期望为 ‎（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、Tn米，则基本事件满足的区域为 ‎，‎ 事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．‎ ‎∴由几何概型P（A）==．‎ 即甲比乙投掷远的概率为．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图，概率分布问题，阅读实际问题的能力，数中档题，关键判断概率的类型，掌握好公式．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•金昌校级模拟）2013年8月28日﹣30日，第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行，为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如所示的茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据根据茎叶图，求出“高个子”，“非高个子”的人数，用分层抽样的方法，求出每个人被抽中的概率，从而求出选中的“高个子”，“非高个子”人数，进而求出相对应的概率；‎ ‎（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，求出相对应的概率，从而写出X的分布列，X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，‎ 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，‎ ‎∴选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人，‎ 用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，‎ 则它的对立事件表示“没有一名高个子被选中”，‎ 则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=，‎ ‎∴至少有一人是“高个子”的概率是；‎ ‎（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，‎ P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，‎ ‎∴ξ的分布列如下：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1．‎ ‎【点评】本题考察了离散型随机变量的期望和方差，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•邢台模拟）为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，从全市志愿者中随机抽取了80名志愿者，对其年龄进行统计后得到频率分布直方图如下，但是年龄组在[25，30）的数据不慎丢失．‎ ‎（Ⅰ）求年龄组[25，30）对应的小长方形的高，并估计抽取的志愿者中年龄在[25，30）的人数 ‎（Ⅱ）轨迹市志愿者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，从该市大量志愿者中随机抽取3名志愿者参加某项活动，记抽取的志愿者年龄不小于35随的人数为X，求X的分布列及数学期望EX和方程DX．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）所有小长方形的面积为1，除掉其它长方形的面积，从而得到[25，30）对应的小长方形的面积，进而求出对应的人数；‎ ‎（Ⅱ）分别求出5个年龄组的平均年龄，对应的频率，从而求出志愿者的平均年龄；‎ ‎（Ⅲ）由题意得：X﹣B（3，），从而求出X的分布列，期望与方差．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）除年龄组[25，30）外，其它4个小矩形的面积分别为：‎ ‎0.01×5=0.05，0.07×5=0.35，0.06×5=0.30，0.02×5=0.10，‎ ‎∴年龄组[25，30）对应小矩形的面积为1﹣0.05﹣0.35﹣0.30﹣0.10=0.20，‎ 年龄组[25，30）对应的小长方形的高0.20÷5=0.04，‎ 年龄组[25，30）的人数为：80×0.20=16；‎ ‎（Ⅱ）5个年龄组的平均年龄分别为：22.5，27.5，32.5，37.5，42.5，‎ 对应的频率分别为：0.05，0.20，0.35，0.30，0.10，‎ ‎∴该市志愿者的平均年龄为：‎ ‎22.5×0.05+27.5×0.20+32.5×0.35+37.5×0.30+42.5×0.10=33.5，‎ 即该市志愿者的平均年龄为33.5岁；‎ ‎（Ⅲ）从该市大量志愿者中任意抽出1名志愿者，其年龄不小于35岁的概率为：‎ ‎0.30+0.10=0.4=，‎ 由题意得：X﹣B（3，），‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ P ‎∴E（X）=np=3×=，‎ D（X）=np（1﹣p）=3××=．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图，考查了随机变量的期望与方差，本题属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•淄博三模）某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：‎ 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率 与丙 队比赛 与丁队比赛 注：各队之间比赛结果相互独立．‎ ‎（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；‎ ‎（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．利用独立事件求概率．‎ ‎（Ⅱ）列举随机变量X的可能取值，求出各自概率得到分布列．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．‎ 则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=；P（B1）=P（B2）=P（B3）=；…2分 设乙队最后积4分为事件C，‎ 则P（C）=P（A1）P（B3）+P（B1）P（A3）=．…4分 ‎（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．…5分；；；‎ ‎；；；‎ 随机变量X的分布列为：…8分 X ‎7‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ P ‎．…10分 ‎（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．…12分 当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；‎ 当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线．‎ ‎【点评】本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值，属中档题型．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•保定二模）钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（2）若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”．求从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该所学校（人数可视为很多）任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）利用茎叶图的数据得出众数：8.6； 中位数：=8.75，‎ ‎（2）判断出概率类型为古典类型，运用排列知识求解即可P（A）=P（A0）+P（A1）=‎ ‎（3）方法1：判断运用对立重复试验，求解概率，得出分布列，求解数学期望即可．‎ 方法2：直接运用则ξ～B（3，），得出数学期望E（ξ）=3×．‎ ‎【解答】解：（1）众数：8.6； 中位数：=8.75，‎ ‎（2）设Ai表示所取3人中有i个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件A，‎ 则P（A）=P（A0）+P（A1）==； ‎ ‎（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．‎ P（ξ=0）=（）3=；P（ξ=1）=××（）2=；‎ P（ξ=2）=×（）2×=；P（ξ=3）=（）3=‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（ξ）=0×=0.27，‎ 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），‎ P（ξ=k）=×（）k×（）3﹣k．‎ 所以E（ξ）=3×=0.75．‎ ‎【点评】本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望的求解，考查了学生的阅读分析能力，计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2013秋•黄梅县校级期中）2012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；‎ ‎（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；‎ ‎（3）若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设X为获奖户数，求X的数学期望E（X）与方差D（X）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，平均数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方，平均数为每个矩形的面积与底边中点乘积之和．‎ ‎（2）计算利用分层抽样方法，从中取10户居民，分别抽取的一类、二类人数；再计算从该10户居民代表中任选两户居民人的总取法种数和这两户居民用电资费属于不同类的取法种数，代入古典概型概率公式计算．‎ ‎（3）由题意知，取到的是第一类居民的概率，以及X服从二项分布，进而可求X的数学期望E（X）与方差D（X）．‎ ‎【解答】解：（1）∵从左边开始，前两个小矩形的面积之和为0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，‎ 设中位数为150+x，则0.02×x+0.4=0.5，解得x=5，∴中位数为155．‎ 平均数为120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；‎ ‎（2）利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，‎ 得一类居民8户，二类居民2户，从中任取2户，共有=45种；‎ 两户来自不同类型的有=16种，‎ ‎∴两户居民用电资费属于不同类型的概率为；‎ ‎（3）由题意知，该小区的第一类居民占80%，‎ 则每个月从该小区居民中随机抽取1户，取到的是第一类居民的概率为0.8，‎ 连续10个月抽取，设X为获奖户数，则X服从二项分布，‎ 故X的数学期望E（X）=nP=10×0.8=8，‎ 方差D（X）=nP（1﹣P）=10×0.8×0.2=1.6．‎ ‎【点评】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算以及利用二项分布求期望与方差，考查了学生分析解答问题的能力，综合性强．‎ ‎　‎ ‎17．（2012•禅城区校级模拟）某地农民种植A种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为，雨水偏少的概率为 ．若雨水正常，A种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为 ‎，单价为3元/公斤的概率为； 若雨水偏少，A种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 ，单价为3元/公斤的概率为．‎ ‎（1）计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率；‎ ‎（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据题意农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=××=，‎ ‎（2）确定ξ可能取值为：5000，2000，﹣1000，﹣2500．分别求出概率，列出分布列，运用数学期望的公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本 所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=××=，‎ ‎（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，﹣1000，﹣2500．‎ P（ξ=5000）=×=，P（ξ=2000）=×=，P（ξ=﹣1000）=×=，P（ξ=﹣2500）=，‎ Eξ=5000×=500，‎ 设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，‎ 即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，‎ ‎【点评】本题考查了概率分布在实际问题中的应用，属于中档题，关键是理解题意，弄清变量的取值．‎ ‎　‎ ‎18．（2011•门头沟区一模）某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，‎ ‎（Ⅰ）求该顾客中一等奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；‎ ‎（Ⅲ）求数学期望Eξ（精确到0.01）．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（I）该顾客中一等奖分为以下两种情况，一是两次均中一等奖，二是两次有且只有一次中一等奖，由于每次中一等奖概率为，代入相互独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．‎ ‎（II）由于该顾客可以转两次，故ξ的可能取值为20，15，10，5，0，分别计算出对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列；‎ ‎（III）根据（II）的结论中随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可求出数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示该顾客中一等奖 P（A）=+=‎ 所以该顾客中一等奖的概率是（4分）‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0（5分）‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎（每个1分）（10分）‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ P ‎（10分）‎ ‎（Ⅲ）数学期望（14分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是相互独立事件概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望，其中根据顾客一次购物消费268元，计算出转盘次数，并给出ξ的可能取值，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2011•成都二模）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励，现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．‎ ‎（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；‎ ‎（Ⅱ）求此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金的概率．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；互斥事件与对立事件．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．‎ ‎（Ⅱ）记“此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金”为事件F，“‘常识关’中2道题都答错，且‘创新关’中3道题都答正确”为事件M；“‘常识关’中2道题一对一错，且‘创新关’中3道题恰有2道正确”为事件N，事件M与N为互斥事件．‎ ‎【解答】解：（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．‎ ‎=．（6分）‎ ‎（Ⅱ）记“此冲关团队在这5道必答题中只有3道回答正确且获得1800元奖金”为事件F，“‘常识关’中2道题都答错，且‘创新关’中3道题都答正确”为事件M；“‘常识关’中2道题一对一错，且‘创新关’中3道题恰有2道正确”为事件N，事件M与N为互斥事件．‎ ‎；（8分）‎ p（N）=；（10分）‎ ‎∴．（12分）‎ ‎【点评】本题考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，解题时要认真审题，仔细解答，注意互斥事件概率的应用．‎ ‎　‎ ‎20．扣人心弦巴西世界足球杯已落下了帷幕，为了解市民对该届世界杯的关注情况，某市足球协会针对该市市民组织了一次随机调查，所抽取的样本容量为120，调查结果如下：‎ 收视情况 看直播 看转播 不看 人数（单位：人）‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）若从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，求这3人中至少有1人为“看直播“的概率 ‎（2）现从（1）所抽取的6人的问卷中每次抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有为看直播的问卷为止，记要抽取的次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，则抽中的6人中，看直播的人数为3人，看转播的人数为2人，不看的人数为1人，由此能求出选取3人中至少有1人为“看直播”的概率．‎ ‎（2）由题意知抽取的次数X=3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（1）从这120人中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，‎ 则抽中的6人中，看直播的人数为：×6=3人，‎ 看转播的人数为：×6=2人，‎ 不看的人数为：×6=1人，‎ 再从这6人中随机抽取3人颁发幸运礼品，‎ 这3人中至少有1人为“看直播”的概率：‎ P=1﹣=．‎ ‎（2）∵6人中，看直播的人数为3人，‎ ‎∴由题意，X=3，4，5，‎ 当X=3，表示前3次抽取的都是看直播的3人或者是不看直播的3人，‎ 则P（X=3）=+=+=，‎ 当X=4，表示前3次中有2次是看直播的，第4次是第3个看直播的，‎ 或者是前3次中有2次是不看直播的，第4次是第3个不看直播的，‎ P（X=4）=+=+=，‎ P（X=5）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣﹣=，‎ ‎∴X的分布列 ‎ ‎ X ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P X=3×+4×+5×=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2014秋•成华区校级月考）在西部大开发中，某市的投资环境不断改善，综合竞争力不断提高，今年一季度先后有甲、乙、丙三个国际投资考察团来到该市，独立地对A，B，C，D四个项目的投资环境进行考察．若甲考察团对项目A满意且对项目B，C，D三个中至少有1个项目满意，则决定到该市投资；否则，就放弃到该市投资．假设甲考察团对A，B，C，D四个项目的考察互不影响，且对这四个项目考察满意的概率分别如下：‎ ‎（1）求甲考察团决定到该市投资的概率；‎ ‎（2）假设乙、丙考察团决定到该市投资的概率都与甲相等，记甲、乙、丙三个考察团中决定到该市投资的考察团个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．‎ 考察项目 A B C D 满意的概率 ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据题意可得目B，C，D三个中至少有1个项目满意的概率为1﹣，再根据独立事件的发生得出：甲考察团决定到该市投资的概率为P=．‎ ‎（2）确定随机变量ξ可能取0，1，2，3，根据概率知识得出p（ξ=0），p（ξ=1），p（ξ=2），p（ξ=3）的值，列出分布列即可求出数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）∵P（A）=，P（B）=，P（C）=．P（D）=，‎ ‎∴项目B，C，D三个中至少有1个项目满意的概率为1﹣，‎ ‎∴甲考察团决定到该市投资的概率为P=．‎ ‎（2）甲乙丙三个考察团决定到该市投资的考察团个数ξ可能取0，1，2，3，‎ ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p 数学期望：Eξ=0×+1×+2×+3×=3×‎ ‎【点评】本题综合考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（2014秋•禅城区校级月考）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．‎ ‎（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；‎ ‎（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；‎ ‎（3）若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品．从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）运用频率分布直方图，求解即可．‎ ‎（2）根据概率分布关系，结合对立事件求解运算．‎ ‎（3）求出随机变量的取值，判断求解对应的概率的值，再求期望的数值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知图可知：（x+0.075+0.1+0.125+0.15）×2=1，解得x=0.05‎ 故估计这60件抽样产品净重的平均数为97×0.1+99×0.2+101×0.3+103×0.25+105×0.15=101.3（克）‎ 众数为101）‎ 设中位数为a，则0.1+0.2+（a﹣100）×0.15=0.5，解得，‎ ‎（2）恰好抽取到3件产品的净重在[96，98）的概率为，‎ 故至多有2件产品的净重在[96，98）的概率为1﹣0.001=0.999‎ ‎（3）这60件抽样产品中，不合格产品有60×（0.1+0.15）=15件，合格产品有45件．ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题综合考查了概率的求解，应用求解平均数、众数和中位数，[96，98），分布列及数学期望等相关知识．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•河南模拟）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成茎叶图如图（单位：cm）若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）结合排列组合知识求解，（2）先求出随机变量X的值，再分别求出概率，得出分布列，运用数学期望的公式求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图知，“生长良好”的有12株，“非生长良好”的有18株．‎ 用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是，‎ ‎“生长良好”的有株，“非生长良好”的有株．‎ 用事件A表示“至少有一株‘生长良好’的被选中”，‎ 则，‎ 因此从5株树苗中选2株，至少有一株“生长良好”的概率是，‎ ‎（Ⅱ）依题意，一共有12株生长良好，其中A种树苗有8株，B种树苗有4株，则X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎；．‎ 因此X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望：0×=1‎ ‎【点评】本考查了实际问题和概率问题，统计知识与古典概率的求解，属于难题．‎ ‎　‎ ‎24．（2012•泸州一模）甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为面试和文化测试，只有面试通过后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格．因为甲．乙．丙三人各有优势，甲．乙．丙三人面试通过的概率分别为0.5，0.6，0.4；面试通过后，甲．乙．丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，设甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A、B、C，如果获取入选资格，则需要先后通过面试和文化测试，由相互独立事件概率乘法公式，计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，分析可得，甲、乙、丙三人中至少有两人获得入选资格包括两种情况，即①，三人中有两人获得资格，②，三人全部取得资格，分别计算其概率，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）分别记甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格为事件A、B、C，‎ 则P（A）=0.5×0.6=0.3‎ P（B）=0.6×0.5=0.3‎ P（C）=0.4×0.75=0.3‎ ‎（Ⅱ）甲、乙、丙三人中至少有两人获得入选资格包括两种情况，‎ ‎①三人中有两人获得资格，其概率P1=P（）P（B）P（C）+P（A）P（）P（C）+P（A）P（B）P（）=0.189，‎ ‎②三人全部取得资格，其概率P2=P（A）P（B）P（C）=0.027，‎ 则甲、乙、丙三人中至少有两人获得入选资格的概率P=P1+P2=0.216；‎ 故三人中至少有两人获得入选资格的概率为0.216．‎ ‎【点评】本题考查相互独立事件概率的乘法公式与互斥事件概率的加法公式的运用，解题时首先要明确事件之间的关系．‎ ‎　‎ ‎25．（2011•成都一模）第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．‎ ‎（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；‎ ‎（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（I）由已知中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀，是“志愿者甲、乙、两三人中没有考核为优秀”，这个事件的对立事件，利用对立事件概率减法公式，即可求出答案．‎ ‎（II）根据甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，则ξ的可能取值为、2、、3，分别计算出对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙、丙考核为优秀依次为事件A、B、C，‎ ‎“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，‎ 事件A、B、C相互独立，‎ 事件与E是对立事件；‎ P（E）=1﹣P（）=1﹣=；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为、2、、3，‎ P（ξ=）=P（）=，‎ P（ξ=2）=P（）+P（）+P（）=，‎ P（ξ=）=P（）+P（）+P（）=，‎ P（ξ=3）=P（A•B•C）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴Eξ=+=‎ ‎【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，在计算随机变量ξ的分布列时，一定要注意分类时要不重分，不漏分．‎ ‎　‎ ‎26．（2014秋•成都月考）某公司为了测试某款电脑游戏软件的性能，要举行一种叫“电脑闯关比赛”的有奖活动，在一次“电脑闯关比赛”中，甲、乙两位选手在同等的条件下闯关成功的概率分别为和．设甲、乙两位选手手闯关相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求至少有一位选手闯关成功的概率；‎ ‎（Ⅱ）公司根据以往参赛选手对这项活动支持的程度规定：若甲闯关成功可获得奖励300元，若乙闯关成功可获得奖励250元，求该公司奖励的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用独立事件同时发生的概率，和对立事件的概率求解，‎ ‎（Ⅱ）首先分析该公司奖励的数值为：ξ=0，250，300，550，再分别求解概率，列出分布列，求出数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设甲闯关成功的事件为A，乙闯关成功的事件为B，‎ 则P（A）=，P（B）=，‎ ‎∴至少有一位选手闯关成功的概率为：1﹣（1﹣）（1﹣）=，‎ ‎（Ⅱ）∵该公司奖励的数值为：ξ=0，250，300，550，‎ ‎∴P（ξ=0）=×=，P（ξ=250）=×=，‎ P（ξ=300）=×=，P（ξ=550）=×=‎ ‎∴该公司奖励的分布列：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎ 550‎ ‎ p ξ的数学期望0×+250×=350‎ ‎【点评】本题考察了古典概率的求解，分布列，数学期望的求解，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎27．（2013•广元二模）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．‎ ‎（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？‎ ‎（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；‎ ‎（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8（0分）”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，‎ ‎ 由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，解x=4，‎ ‎ 由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．‎ ‎（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，‎ 随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），‎ ‎，其k=0、1、2、3．‎ 所以变ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点评】此题考查了平均数，古典概率公式，随机变量的定义及其分布列，二项分布及二项分布的期望公式．‎ ‎　‎ ‎28．（2012秋•麒麟区校级月考）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．‎ ‎（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；‎ ‎（2）随机抽取8位同学，‎ 数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；‎ 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，‎ ‎①若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 根据上表数据可知，变量y与x之间具有较强的线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：，其中，；参考数据：，，，，，，）‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，做出女生和男生在总人数中所占的比例，用比例乘以要抽取的样本容量，得到结果．‎ ‎（2）①这是这是一个古典概率，由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有2人，根据等可能事件的概率公式得到结果．‎ ‎②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析 故抽取男生数人，，‎ 则共有个不同样本；‎ ‎（2）ξ的所有可能取值为0，1，2‎ ‎，，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ‎；‎ ‎（3）b≈0.655，a≈34.11（a≈34.09或a≈34.10也算正确）‎ 则线性回归方程为：y=0.655x+34.11‎ ‎【点评】本题考查线性回归分析的初步应用，考查分层抽样，考查条件概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用数学知识解决实际问题的能力，是一个比较好的综合题目．‎ ‎　‎ ‎29．（2011•潍坊一模）某校高一年级共有学生320人．为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成教师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）‎ ‎（Ⅲ）问卷调查完成后，学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈，了解各学科的作业布置情况，并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人，设第3组中学生被聘的人数是X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06，则n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．‎ ‎（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别是pi和xi，由图知p1=0.02，p2=0.06，p3=0.3，p4=0.4，p5=0.12，p6=0.08，p7=0.02‎ 则由xi=50×pi，可得x1=1，x2=3，x3=15，x4=20，x5=6，x6=4，x7=1．由此能求出高一学生每天平均自主支配时间．（Ⅲ）第3组和第4组的频数分别是15和20，用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽人，第4组应抽人．由题意知X=0，1，2，由此能求出X的分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06‎ 则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50‎ ‎（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别是pi和xi，由图知p1=0.02，p2=0.06，p3=0.3，p4=0.4，p5=0.12，p6=0.08，p7=0.02‎ 则由xi=50×pi，可得x1=1，x2=3，x3=15，x4=20，x5=6，x6=4，x7=1‎ 则高一学生每天平均自主支配时间是：‎ 则学校需要减少作业量．‎ ‎（Ⅲ）第3组和第4组的频数分别是15和20，用分层抽样的方法抽取7人，则第3组应抽（人），第4组应抽（人）‎ 由题意知X=0，1，2，且，，‎ 则X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则 ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要认真审题，仔细读图，注意数形结合思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎30．（2010春•开福区校级月考）上海迪斯尼乐园的具体建设在紧锣密鼓的推进之中，要形成一定规模的主题乐园至少还需要四到五年的时间，其中有三名工人准备参与建设“动物王国”、“魔幻影城”和“梦幻世界”三个主题公园，规划中3个主题公园所含工程项目的个数分别占总工程个数的，现在这3名工人独立从中任选一个项目参与建设．‎ ‎（1）求他们选择的项目互不相同的概率．‎ ‎（2）记ξ为3人中选择的项目属于“魔幻影城”或“梦幻世界”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】第i名工人选择“动物王国”、“魔幻影城”和“梦幻世界”分别为事件Ai，Bi，Ci（i=1，2，3）．‎ 知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，‎ 且P（Ai）=，P（Bi）=，P（Ci）=‎ ‎（1）他们选择的项目互不相同的概率P=6P（A1B2C3），代入可求 ‎（2）第i名工人选择的项目属于“魔幻影城”或“梦幻世界”为事件Di，‎ P（Di）=P（Bi+Ci）=P（Bi）+P（Ci），代入分别求出概率后，列出分布列，求出期望即可 ‎【解答】解：记第i名工人选择“动物王国”、“魔幻影城”和“梦幻世界”分别为事件Ai，Bi，Ci（i=1，2，3）．‎ 知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，‎ 且P（Ai）=，P（Bi）=，P（Ci）=‎ ‎（1）他们选择的项目互不相同的概率P=6P（A1B2C3）=6×××=‎ ‎（2）第i名工人选择的项目属于“魔幻影城”或“梦幻世界”为事件Di（i=1，2，3）．‎ 知D1，D2，D3相互独立，且P（Di）=P（Bi+Ci）=P（Bi）+P（Ci）=+=，所以，ξ﹣B（3，）‎ 即P（ξ=k）=C3k（k=0，1，2，3）故ξ的分布列是：‎ Eξ=‎ ‎【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的运用，随机变量的分布列，数学期望，求解 的关键是要能对题目中较为复杂的事件进行分解，从而代入公式进行求解．‎ ‎　‎