精做 三角函数与解三角形学易试题君之大题精做高考数学理解析版 21页

精做01 ‎ 三角函数与解三角形 ‎1．已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，当，即时，取得最小值，‎ 所以在区间上的最小值为.‎ ‎2．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求，的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴即 ‎∴或 ‎3．设的内角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小；学！科网 ‎（2）若，求的周长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知得，即，‎ 又，‎ 又，‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 故的周长的取值范围是．‎ ‎4．设函数，其中.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若在区间上为增函数，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）因为在上为增函数，‎ 所以在上为增函数.‎ 依题意知对某个成立，此时必有，‎ 于是，解得，‎ 故的最大值为.‎ ‎5．在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为2，此时 ‎【解析】（1）由正弦定理得 因为 所以从而 又 所以则.‎ ‎（2）由（1）知 于是 从而当即时，取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎6．如图，在中，，且，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）已知在线段上，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）记，‎ ‎∵，且，‎ ‎∵，且,‎ ‎∴，即.‎ 在中，，解得，‎ 故的面积.‎ ‎（2）依题意,，‎ 又，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎1．（【全国百强校】安徽省六安市第一中学2019届高三下学期适应性考试数学）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.‎ ‎【答案】(1)，；（2）.‎ ‎（2），，‎ 因为，所以，，‎ 所以，则，又上的中线长为，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，①‎ 由余弦定理得，所以，②‎ 由①②得：，‎ 所以.‎ ‎【名师点睛】与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求三角形的面积．对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．‎ ‎(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．‎ ‎2．（【全国百强校】北京市十一学校2019届高三三模数学试题）已知函数，的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，若，求的大小.‎ ‎【答案】（1）,和；（2）.‎ ‎【解析】（1）由相邻两条对称轴的距离为可得其最小正周期，所以.‎ 又的图象过点，且，得.所以.‎ 又，所以在上的单调递增区间为和.‎ ‎（2）由，可得，‎ 则，得.‎ 由于，则.‎ ‎，∴.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定函数的解析式是解决本题的关键.‎ ‎3．（【全国百强校】河北省石家庄二中2019届高三三模文科数学试题（A））已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，已知，且的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若是边上的一点，且，求及的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 故.‎ 在中，由正弦定理得，‎ 即，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ ‎【名师点睛】（1）本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角形的面积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力；(2)解答本题的关键是计算出.‎ ‎4．（河南省安阳35中2019届高三核心押题卷一数学试题）的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎(2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】(1)在中，因为 ，所以.‎ 所以 ，‎ 化简可得.‎ 因为，所以.‎ 因为 ，所以.‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以.‎ 因为.‎ 所以.‎ 在中，由正弦定理可得.‎ 所以.‎ 故的面积为2.‎ ‎【名师点睛】（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；‎ ‎（2）已知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，已知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理.‎ ‎5．（【全国百强校】湖北省黄冈中学2019届高三5月第三次模拟考试数学试题）在中，角对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）3.‎ ‎【解析】（1）∵，∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎6．（【全国市级联考】山东省日照市2019届高三校际联考理科数学试题）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1） ;（2） ．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得， ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴ ，∴． ‎ ‎（2）由 可得． ‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎7．（【全国百强校】宁夏回族自治区银川一中2019届高三考前适应性训练数学试题）已知为△的内角，当时，函数取得最大值．△内角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】（1）‎ ‎． ‎ 由题意知，因为，故． ‎ ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． ‎ 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为． ‎ ‎【名师点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. （2）解答第2问时，可以整体求bc的值，也可以分别求b和c的值，本题使用的是整体求值. ‎ ‎8．（【全国校级联考】浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题）已知函数 ‎ ‎（1）求的最小正周期；1‎ ‎（2）在中，，的面积为，AB=，求BC的长．‎ ‎【答案】（1） ；（2）2或.‎ ‎【解析】函数．‎ 化简可得：=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）.‎ ‎（1）的最小正周期T=；‎ ‎（2）由，即2sin（A+）=，‎ ‎∴sin（A+）=，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴＜A+<．‎ 可得：（A+）=或.‎ 则A= 或A=．‎ 当则A=时，ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，‎ ‎∴b=AC=2.‎ 由余弦定理：BC2=22+（2）2−2×2×2×cos，‎ 解得：BC=.‎ 当A=时，ABC的面积为=bc，AB=c=，‎ ‎∴b=AC=1.‎ 由直角三角形性质可得BC2=12+（2）2，‎ 解得：BC=．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎1．（2019新课标I理）在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 所以.‎ ‎2．（2019北京理）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–． （1）求∠A；‎ ‎（2）求AC边上的高．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．‎ 由正弦定理得=，∴sinA=．‎ ‎∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．‎ ‎（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．‎ 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，‎ ‎∴AC边上的高为．‎ ‎3．（2019天津理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）b=，=.‎ ‎【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．‎ 由，可得．因为a0)．‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．‎ 代入+=中，有+=，‎ 变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．‎ 在中，由A+B+C=π，得sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，‎ 所以sin Asin B=sin C．‎ ‎【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个定理，否则难以得出结论．‎ ‎13．（2019·浙江卷理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（1）证明：A=2B；‎ ‎（2）若的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，‎ 所以或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ ‎（2）由得，故有，‎ 因为，所以．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ ‎【思路点睛】（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（2）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小．‎ ‎14．（2019·天津卷理）在中，内角所对的边分别为．已知，，．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）的值为，的值为；（2）.‎ ‎【解析】（1）在中，因为，故由，可得．‎ 由已知及余弦定理，有，所以．‎ 由正弦定理，得．‎ 所以，的值为，的值为．‎ ‎（2）由（1）及，得，‎ 所以，．‎ 故．‎ ‎【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．‎ ‎15．（2019·新课标Ⅱ卷理）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题设及，可得，‎ 故．‎ 上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．‎ ‎（2）由得，‎ 故．‎ 又，则．‎ 由余弦定理及得：‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．‎ ‎16．（2019·新课标Ⅰ卷理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知及正弦定理得，‎ 即．‎ 故．‎ 可得，所以．‎ ‎（2）由已知，．‎ 又，所以．‎ 由已知及余弦定理得，．‎ 故，从而．‎ 所以的周长为．‎ ‎【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式， ‎ ‎，这是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.‎