2016年高考理科数学全国3卷(附答案) 10页

‎12B-SX-0000015 ‎ 学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________‎ - ‎- - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -‎ 绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国III卷 ‎（全卷共10页）‎ ‎(适用地区：广西、云南、四川)‎ 注意事项：‎ 1． 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。‎ 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。‎ 第I卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合 ，则ST=‎ ‎(A) [2，3] (B)（-，2] [3,+）‎ ‎(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）‎ ‎（2）若z=1+2i，则 ‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) i (D) -i ‎（3）已知向量 , 则ABC=‎ ‎(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200‎ ‎（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎ ‎(D) 平均气温高于200C的月份有5个 ‎（5）若 ，则 ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎（6）已知，，，则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（7）执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的 ‎（A）3‎ ‎（B）4‎ ‎（C）5‎ ‎（D）6‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎（8）在中，，BC边上的高等于,则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎ ‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C）90 ‎ ‎（D）81‎ ‎(10) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是 ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎ (11) 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(12) 定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎(13) 若满足约束条件 则的最大值为____________.‎ ‎(14) 函数的图像可由函数的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎(15) 已知为偶函数，当时，，则曲线 在点处的切线方程是_______________。‎ ‎(16) 已知直线：与圆交于两点，过 分别做的垂线与轴交于两点，若，则 __________________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若 ，求．‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ ‎ （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：，，，≈2.646.‎ 参考公式：‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.‎ ‎（I）证明MN∥平面PAB;‎ ‎（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交 于两点，交的准线于两点．‎ ‎（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数，其中，记的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）求； ‎ ‎（Ⅲ）证明．‎ 请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）‎ 选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.‎ ‎（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎（24）（本小题满分10分）‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数当时，，求的取值范围.‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国III卷 答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13） （14） （15） （16）4 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即.由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎，，.‎ 设为平面的法向量，则，即，可取，‎ 于是.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：‎ 由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则 ‎.‎ 所以. ......5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 因此，． ………4分 当时，将变形为．‎ 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．‎ 令，解得（舍去），．‎ ‎（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．‎ ‎（ⅱ）当时，由，知．‎ 又，所以．‎ 综上，．　　　………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得.‎ 当时，.‎ 当时，，所以.‎ 当时，，所以.‎ 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：‎ ‎（Ⅰ）连结，则.‎ 因为，所以，又，所以.‎ ‎- 19 - - 20 -‎ ‎12B-SX-0000015 ‎ 又，所以， 因此.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，由此知 四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：‎ ‎（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，‎ 即为到的距离的最小值，‎ ‎. ‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：‎ ‎（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是. ‎ ‎- 19 - - 20 -‎