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- 2021-05-14 发布
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解析几何中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:,动点M到圆C的切线长与的比等于常数(如图),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
1解:设M(x,y),直线MN切圆C于N,则有,即,.整理得,这就是动点M的轨迹方程.
若,方程化为,它表示过点和x轴垂直的一条直线;
若λ≠1,方程化为, 它表示以为圆心,为半径的圆.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.
C
B
y
x
O
A
例2 已知中,、、的对边分别为、、,若依次构成等差数列,且,,求顶点的轨迹方程.
2解:如右图,以直线为轴,线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意,构成等差数列,(两定点的距离等于定长—椭圆),即,又,的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,,,故的轨迹方程为.
三、点差法
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。
例3 抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满足的条件,从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点、,过、作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线()的顶点作两条互相垂直的弦、,求弦的中点的轨迹方程.
例6 设椭圆中心为原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴的长度之比为t.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,点P在该直线上,且,当t变化时,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.
x
A1
A2
O
y
N
M
P
例7 如右图,垂直于轴的直线交双曲线于、两点,为双曲线的左、右顶点,求直线与的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.
例8 已知两点以及一条直线:y=x,设长为的线段AB在直线上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程.
七、代入法
当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法.
y
Q
O
x
N
P
例9 如图,从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程.
例10 已知抛物线,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线.
3解: 设弦端点,中点为,则
因为所以
4解:由平面几何知识可知,当为直角三角形时,点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点,半径为,方程为. 故的轨迹方程为.
5解:设,直线的斜率为,则直线的斜率为.直线OA的方程为,由解得,即,同理可得.
由中点坐标公式,得,消去,得,此即点的轨迹方程.
6解:(1)设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为.
(2)设点解方程组得 由和得
其中t>1.消去t,得点P轨迹方程为和.其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分.
7解:设及,又,可得
直线的方程为------①;
直线的方程为------②.
由①x②得---------③.
又 ,代入③得,化简得,此即点的轨迹方程.
当时,点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆;
当时,点的轨迹是椭圆.
8解: PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设,则PA:QB:
消去t,得当t=-2,或t=-1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是
9解:设,则. 因为在直线上,
----① 又得即.---②
联解①②得.又点在双曲线上,,化简整理得:,此即动点的轨迹方程.
10解:设,由题设,P分线段AB的比,∴ 解得.又点B在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴ 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线.