高考考前天冲刺数列专练理数 27页

‎2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】数列专练 ‎1．数列的前项和记为，，．‎ ‎（1）当为何值时，数列是等比数列;‎ ‎（2）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求．‎ ‎2．已知数列的首项的等比数列，其前项和中，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求 ‎3．已知数列的首项，且满足 ‎ （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前n项和 ‎4． 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项 ‎ （Ⅰ）求的通项公式。‎ ‎ （Ⅱ）令的前n项和 ‎5．已知数列的前n项和为，若 ‎ （1）求证：为等比数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎6．在数列中，已知 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）令，若恒成立，求k的取值范围。‎ ‎8．已知数列中，，，（1）求证：数列为等比数列。‎ ‎（2）设数列的前项和为，若，求正整数列的最小值。‎ ‎9．已知数列的前项和满足：（为常数，且，）． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值.‎ ‎10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．‎ ‎ 11.在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项；‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求．‎ ‎12．数列中，已知 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）令，若恒成立，求k的取值范围。‎ ‎13．已知数列的前n项和为，若 ‎ （1）求证：为等比数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎14．在数列中，， 且．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎15．已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项；‎ ‎(Ⅱ)若求数列的前项和。‎ ‎16．已知正项数列的前项和为，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求解关于的不等式；‎ ‎(Ⅲ)记数列，，证明：．‎ ‎17，已知递增的等比数列满足是的等差中项。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若是数列的前项和，求 ‎19．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和； ‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。‎ ‎20．已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎ （Ⅰ）求及；‎ ‎ （Ⅱ）令bn=（），求数列的前n项和。‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(1)求证：数列{}为等比数列，并由此求出Sn；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：b1＝，＝(n∈N*)，试求数列{bn}的通项公式．‎ ‎21．已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎22．已知在与处都取得极值。‎ ‎（I）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎23．在数列中，为其前项和，满足．‎ ‎（I）若，求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列为公比不为1的等比数列，且，求．‎ ‎24．已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎25． 已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎26．已知数列满足：；。数列的前n项和为,且。‎ ‎⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n项和为。‎ ‎27．已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).‎ 设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列.‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；‎ ‎(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎28．已知数列{ }、{ }满足：.‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)求数列{ }的通项公式；‎ ‎(3)设，求实数为何值时恒成立 ‎29．已知等比数列中，公比，且，，分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，求数列的前项和．‎ ‎30．已知数列的首项 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）证明：对任意的．‎ ‎31．设函数，数列满足。‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。‎ ‎32. 设数列{an}中，a1＝a，an＋1＋2an＝2n＋1（n∈N*）．‎ ‎ （Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求实数a的值；‎ ‎ （Ⅱ）试问数列能否为等比数列.若是等比数列，请写出相应数列{an}的通项公 式；若不能，请说明理由解．（Ⅰ），‎ ‎33..等比数列为递增数列，且，数列(n∈N※)‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2），求使成立的最小值．‎ ‎2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】数列专练 ‎1．数列的前项和记为，，．‎ ‎（1）当为何值时，数列是等比数列;‎ ‎（2）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求．‎ 解：（I）由，可得，‎ 两式相减得，‎ ‎∴当时，是等比数列， ‎ 要使时，是等比数列，则只需，从而． ‎ ‎（II）设的公差为d，由得，于是， ‎ 故可设，又，‎ 由题意可得，ks5u 解得，‎ ‎∵等差数列的前项和有最大值，∴ ‎ ‎∴．‎ ‎2．已知数列的首项的等比数列，其前项和中，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求 解：（Ⅰ）若，则不符合题意，∴， ……………………………2分 当时，由得 ‎∴ ………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）∵ ……………………………………7分 ‎∴ ………………………………………9分 ‎∴＝＝ (19) (本题满分14分) 设数列{an}中，a1＝a，an＋1＋2an＝2n＋1（n∈N*）．‎ ‎ （Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求实数a的值；‎ ‎ （Ⅱ）试问数列能否为等比数列.若是等比数列，请写出相应数列{an}的通项公 式；若不能，请说明理由解．（Ⅰ），‎ 因为，所以，得 4分 ‎（Ⅱ）方法一：因为，所以，6分 得：，故若是以为首项，－1为公比的等比数列，则必须.‎ 故时，数列为等比数列，此时，否则当时，数列的首项为0，该数列不是等比数列.‎ ‎3．已知数列的首项，且满足 ‎ （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前n项和 解：‎ ‎（Ⅰ），，，.‎ 数列是以1为首项，4为公差的等差数列．……………………………………3分 ‎，则数列的通项公式为．………………… 6分 ‎（Ⅱ）……………①‎ ‎……………… ②‎ ‎②①并化简得．‎ ‎4． 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项 ‎ （Ⅰ）求的通项公式。‎ ‎ （Ⅱ）令的前n项和 解：(Ⅰ)设公差为，公比为，则 ‎ ‎ ‎,，‎ ‎ 是单调递增的等差数列，d>0.‎ 则,,………………6分 ‎ (Ⅱ) ………………8分 当n是偶数，‎ ‎………………10分 当n是奇数，‎ ‎………………12分 综上可得 ‎5．已知数列的前n项和为，若 ‎ （1）求证：为等比数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎(1)解：由 得： ∴，即 ∴ 4分 又因为，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0， ∴是以－2为首项， 2为公比的等比数列． 6分 ‎(2)解：由(1)知，，即 8分 ∴ 10分 故 ‎6．在数列中，已知 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）令，若恒成立，求k的取值范围。‎ 解析：（1）解：因为，所以，‎ 即，………………………………………………2分 令，故是以为首项，2为公差的等差数列。‎ 所以，………………………………………………4分 因为，故。…………………………………………6分 ‎（2）因为，‎ 所以，……………………8分 所以 ‎，………………………………10分 ‎ 因为恒成立，故。‎ ‎8．已知数列中，，，（1）求证：数列为等比数列。‎ ‎（2）设数列的前项和为，若，求正整数列的最小值。‎ 解：因为 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以数列为等比数列。‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可知时满足条件。‎ ‎9．已知数列的前项和满足：（为常数，且，）． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值.‎ 解：解：（Ⅰ）因为,所以 当时，，，‎ 即以为a首项，a为公比的等比数列．‎ ‎ ∴； …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 若为等比数列，则有，‎ 而，，‎ 故，解得 ‎ 再将代入得成等比数列， 所以成立 ‎10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．‎ ‎ 解：（1）设公差为。由已知得……………………3分 解得或 (舍去) 所以，故 ……………………………6分 ‎（2）因为 所以 ……………………9分 因为对恒成立。即，，对恒成立。‎ 又 所以实数的最小值为 ‎ ‎11.在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项；‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求．‎ ‎.【解】(Ⅰ)因为点在函数的图像上, ‎ ‎ 所以,…………………………1分 ‎ 且,所以,‎ 故数列是公比的等比数列.……………………3分 ‎ 因为,所以,‎ 即,则,……………… ……………4分 所以…………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.…………………7分 所以……①………………9分 ‎……②…………………10分 ‎①-②式得…………………11分 即 ‎12．数列中，已知 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）令，若恒成立，求k的取值范围。‎ 解析：（1）解：因为，所以，‎ 即，………………………………………………2分 令，故是以为首项，2为公差的等差数列。‎ 所以，………………………………………………4分 因为，故。…………………………………………6分 ‎（2）因为，‎ 所以，……………………8分 所以 ‎，………………………………10分 ‎ 因为恒成立，故。‎ ‎13．已知数列的前n项和为，若 ‎ （1）求证：为等比数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎(1)解：由 得： ∴，即 ∴ 4分 又因为，所以a1 =－1，a1－1 =－2≠0， ∴是以－2为首项， 2为公比的等比数列． 6分 ‎(2)解：由(1)知，，即 8分 ∴ 10分 故．‎ ‎14．在数列中，， 且．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎（1）解：∵， 且，‎ ‎∴，‎ ‎．…………2分 ‎（2）证明：‎ ‎∵，‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴的通项公式为．…………8分 ‎（3）∵的通项公式为，‎ ‎∴‎ ‎．…………12分 ‎15．已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项；‎ ‎(Ⅱ)若求数列的前项和。‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ (1)-(2)得即(n)又也适合上式 ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）-（2） ‎ ‎16．已知正项数列的前项和为，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求解关于的不等式；‎ ‎(Ⅲ)记数列，，证明：．‎ 解：(Ⅰ) ．．当时，，化简得．由，得．数列是等差数列． …‎ ‎(Ⅱ)由(I)知，又由，‎ 得．，即．．‎ 又，不等式的解集为． ‎ ‎(Ⅲ)当时，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ 故 ‎ ‎17，已知递增的等比数列满足是的等差中项。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若是数列的前项和，求 解：（1）设等比数列的公比为q，有题意可得解答：q=2（舍去）‎ ‎，∴等比数列的通项公式为：‎ ‎ （2）∵ ∴anbn=（n+1）2n，用错位相减法得：‎ ‎ ‎ ‎19．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和； ‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。‎ 解：（1）设公差为，则，由性质得，‎ 因为，所以，即，‎ 又由得，解得，,‎ ‎（2）=，设，‎ 则=，所以为8的约数。‎ ‎20．已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎ （Ⅰ）求及；‎ ‎ （Ⅱ）令bn=（），求数列的前n项和。‎ 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ‎，解得， ‎ 所以；==。………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，‎ 所以==，‎ 即数列的前n项和=。‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(1)求证：数列{}为等比数列，并由此求出Sn；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：b1＝，＝(n∈N*)，试求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)证明：由nan＋1＝(n＋2)Sn，得n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，即＝2·，∴数列{}是首项为＝a1＝1，公比为2的等比数列，∴＝2n－1，Sn＝n2n－1.‎ ‎(2)由条件得＝＝＋2n－1.设cn＝，则c1＝，当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝2－1＋20＋21＋…＋2n－2＝(2n－1)，当n＝1时，也满足上式．‎ ‎∴cn＝(2n－1)(n∈N*)，从而bn＝ncn＝(2n－1)．‎ ‎21．已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎22．已知在与处都取得极值。‎ ‎（I）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎（1） 由题意知，， ，‎ ‎， ……………………………… 4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分 ‎ ， ……………………8分 ‎（2）由（1）知， ……………10分 由知，故得 ……………11分 ‎ 即 得，又，则 ‎23．在数列中，为其前项和，满足．‎ ‎（I）若，求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列为公比不为1的等比数列，且，求．‎ 解：（I）当时，所以 即，所以当时，；‎ 当时，‎ 所以数列的通项公式为．…………7分 ‎（II）当时，，所以， . ，，，‎ 由题意得，，所以．‎ 此时，，从而 因为所以，从而为公比为3的 等比数列,得,,‎ ‎24．已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎（1） 由题意知，， ，‎ ‎， ……………………………… 4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分 ‎ ， ……………………8分 ‎（2）由（1）知， ……………10分 由知，故得 ……………11分 ‎ 即 得，又，则18．（本题满分14分）‎ 等比数列为递增数列，且，数列(n∈N※)‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2），求使成立的最小值．‎ 解：（1）是等比数列，，两式相除得：‎ ‎ ，为增数列，，-------4分 ‎ --------6分 ‎ ，数列的前项和---8分 ‎（2）==‎ 即：-------12分 ‎--------14分 ‎（只要给出正确结果，不要求严格证明）‎ ‎25． 已知数列的首项，，‎ ‎ （1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；‎ ‎ （2）若对一切都成立，求的取值范围。‎ ‎（1） 由题意知，， ，‎ ‎， ……………………………… 4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列；……………5分 ‎ ， ……………………8分 ‎（2）由（1）知， ……………10分 由知，故得 ……………11分 ‎ 即 得，又，则12在数列中，为常数，，且成公比不等 于1的等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和 ‎ 解：（Ⅰ）∵为常数，∴. ………………2分 ‎ ∴.‎ ‎ 又成等比数列，∴，解得或.…4分 ‎ 当时，不合题意，舍去. ∴. …………………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………8分 ‎ ∴ …………10分 ‎ ∴‎ ‎ …………………………………………12分 ‎26．已知数列满足：；。数列的前n项和为,且。‎ ‎⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n项和为。‎ 解：（1）由已知得数列为等差数列，首项为1，公差为1.所以其通项公式为 ‎····················3分 因为，所以，所以数列为等比数列，‎ 又 所以 ‎（2）由已知得：，‎ 所以 所以 所以 ‎27．已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).‎ 设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列.‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；‎ ‎(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)由题意f(an)＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1.‎ ‎∴an＝n＋1，(2分)‎ ‎∴an＋1－an＝1，‎ ‎∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)‎ ‎(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，‎ 当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1‎ ‎∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1　①(6分)‎ ‎①式两端同乘以2，得 ‎2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2　②‎ ‎②－①并整理，得 Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝－22－＋(n＋1)·2n＋2‎ ‎＝－22＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.(9分)‎ ‎(3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，‎ 要使cn1时，lgm>0，所以n＋1m对一切n∈N*成立，‎ 因为＝1－的最小值为，所以01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.(13分)‎ ‎28．已知数列{ }、{ }满足：.‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)求数列{ }的通项公式；‎ ‎(3)设，求实数为何值时恒成立 解：（1) ‎ ‎ ∵ ∴ ……………4分 ‎ （2）∵ ∴‎ ‎ ∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分 ‎ ∴ ∴ ……………8分 ‎ (3) ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ ……………10分 ‎ 由条件可知恒成立即可满足条件设 ‎ a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 ‎ a