高考数学专题数列超 14页

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  • 2021-05-14 发布

高考数学专题数列超

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高考复习序列-----‎ 高中数学 数列 一、数列的通项公式与前n项的和的关系 ‎① (注:该公式对任意数列都适用)‎ ‎② (注:该公式对任意数列都适用)‎ ‎③ (注:该公式对任意数列都适用)‎ ④sn+1-sn-1=an+1+an (注:该公式对任意数列都适用)‎ 二、等差与等比数列的基本知识 ‎1、等差数列 ⑴ ‎ 通项公式与公差:‎ 定义式:‎ 一般式:‎ 推广形式: ;‎ ‎; ‎ ⑵ 前项和与通项的关系: ‎ 前n项和公式:.‎ 前n项和公式的一般式: ‎ 应用:若已知,即可判断为某个等差数列的前n项和,并可求出首项及公差的值。‎ 与的关系:(注:该公式对任意数列都适用)‎ 例:等差数列, (直接利用通项公式作差求解)‎ ‎⑶ 常用性质:‎ ‎①若m+n=p+q ,则有 ;特别地:若的等差中项,则有2n、m、p成等差数列;‎ ‎②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等差数列;‎ ‎③为公差为d等差数列,为其前n项和,则,,...也成等差数列,‎ A、 构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=(S2m-Sm)- Sm;‎ B、 对于任意已知Sm,Sn,等差数列 公差,即也构成一个公差为等差数列。‎ ⑥若项数为偶数,设共有项,则①偶奇; ② ;‎ ⑦若项数为奇数,设共有项,则①奇偶;②。 ‎ 例:已知等差数列,其中 ‎ 解析:法一,用等差数列求和公式 求出 法二,,成等差数列,设公差为D,则:‎ 法三, ‎ ‎63. 等比数列的通项公式:‎ ‎⑴ ①一般形式:;‎ ‎②推广形式:,‎ ‎③其前n项的和公式为:,或.‎ ‎⑵数列为等比数列 ‎⑶ 常用性质:‎ ① 若m+n=p+q ,则有 ;特别地:若的等比中项,则有 n、m、p成等比数列;‎ ② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等比数列;‎ ‎③为等比数列,为其前n项和,则,,...也成等比数列(仅当当或者且不是偶数时候成立);‎ 设等比数列的前项积为,则,,成等比数列.‎ ④ 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.‎ ⑤ 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.‎ 判断或证明一个数列是等差数列的方法:‎ ①定义法:‎ 是等差数列 ②中项法:‎ 是等差数列 ③一般通项公式法:‎ 是等差数列 ④一般前项和公式法:‎ 是等差数列 判断或证明一个数列是等差数列的方法:‎ ‎(1)定义法:为等比数列;‎ ‎(2)中项法:为等比数列; ‎ ‎(3)通项公式法:为等比数列; ‎ ‎(4)前项和法:为等比数列。 ‎ 为等比数列。‎ 数列最值的求解 ‎(1),时,有最大值;,时,有最小值;‎ ‎(2)最值的求法:①若已知,的最值可求二次函数的最值;‎ 可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:‎ 若已知,则最值时的值()可如下确定或。‎ ‎ 例1:等差数列中,,则前 项的和最大。‎ ‎【解析】:‎ 例2.设等差数列的前项和为,已知 ‎ ‎ ①求出公差的范围,‎ ‎ ②指出中哪一个值最大,并说明理由。‎ ‎【解析】:‎ ① ‎ ② 由,可知,n=12是前n项和正负分界项,‎ 故所以,最大 变式:若等差数列的首项为为31,从第16项开始小于1 ,则此数列公差d的取值范围是 ‎ 解析:,但要注意此时还要一个隐含条件,联立不等式组求解。‎ ‎3、若数列的前n项和,则 ,数值最小项是第 项。‎ ‎【解析】:法一(导数法):‎ 根据等差数列前n项和的标准形式,可知该数列为等差数列,‎ 令,取得最小值,‎ 其中,可见当n=3时取得最小。‎ 法二(列举法):对于可用列举法,分别求出n=1、2…时的的值,再进行比较发现。‎ ‎4、已知数列, ‎ ‎【解析】:法一(均值不等式):由累加法:,令 法二(列举法):实在没招时使用该法。‎ ‎5、 已知等差数列的前n项和 。‎ ‎【解析】:‎ ‎6、‎ 数列通项公式的求法:‎ 类型1:等差数列型 思路:把原递推式转化为,再使用累加法(逐差相加法)求解。‎ 例,已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由得则 所以数列的通项公式为 变式: 已知数列满足,,求数列的通项公式。‎ 解: 两边除以,得,则,此时,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为 评注:本题前的系数不一致,不能直接使用前述方法,解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。‎ 类型2:等比数列型 把原递推式转化为,再使用累乘法(逐商相乘法)求解。‎ 例 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。‎ 解:因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式-①式得则;故 所以 ③‎ 由,,则,又知,则 ‎,代入③得。所以,的通项公式为 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。‎ 类型4:待定系数法处理 或型数列 把原递推式转化为转化思路:‎ 例,数列 解:令,所以即是公比为2的等比数列, =(),或令,是公比为2的等比数列,所以,‎ 变式1:已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 思路:等式两边同时除于;原递推式变成令,‎ 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,最后再求出数列的通项公式。‎ 变式2:已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 思路:将原递推式两边倒数后换元,再转化为 变式3:已知数列满足,,求数列的通项公式。‎ 思路:将原递推式两边求对数后换元,再转化为 变式4:已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 思路::换元,则,再代入原递推式,再转化为 类型5 已知递推式 求 这种类型一般利用导出,消去,得到与的递推式,再利用前面的方法求解出(知识迁移:)‎ 例,已知数列前n项和,求:(1),(2)通项。‎ 解:(1)‎ ‎(2)由上式:,‎ 令,即有,而,,‎ 所以,2,公差为2,的等差数列,‎ 类型6:求 用作商法:‎ 数列求和的常用方法 然数和公式:‎ ① ‎;‎ ② ‎;‎ ③ 一、利用等差等比数列的求和公式求和 ‎ 1、 等差数列求和公式: ‎ ‎2、等比数列求和公式:‎ ‎[例1] 已知,求的前n项和.‎ 解:由,由等比数列求和公式得 ===1-(利用等比数列求和公式) ‎ ‎[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.‎ 解:由等差数列求和公式得 , ‎ ‎ ∴ ===‎ ‎ ∴ 当 ,即n=8时,‎ 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ ‎[例3] 求和:………………………①‎ 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② ‎ ‎①-②得 (错位相减)‎ 再利用等比数列的求和公式得:‎ ‎ ∴ ‎ ‎[例4] 求数列前n项的和.‎ 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎………………………………② ‎ ① ‎-② ‎ ‎ ∴ ‎ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.‎ ‎ [例5] 求的值 解:设…………. ①‎ 将①式右边反序得 ‎…………..② ‎ 又因为 ,①+②得 ‎ ‎=89 ‎ ‎∴ S=44.5‎ 题1 已知函数 ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 ‎(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,‎ 两式相加得:‎ ‎ 所以.‎ 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.‎ ‎[例5] 求数列的前n项和:,…‎ 解:设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ ‎ 当a=1时,= ‎ ‎ 时,=‎ 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) ‎ ‎(4)‎ ⑸ ‎ ‎[例6] 求数列的前n项和.‎ 解:设 ‎ 则 ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎[例7] 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.‎ 解:   ∵ ‎ ‎   ∴ ‎ ‎∴ 数列{bn}的前n项和 ‎ ‎ ‎ = = ‎ 六、分段求和法(合并法求和)‎ 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.‎ ‎ [例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.‎ 解:设Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°‎ ‎∵ ‎ ‎∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···‎ ‎+(cos89°+ cos91°)+ cos90°= 0‎ ‎ [例9] 在各项均为正数的等比数列中,若的值.‎ 解:设 由等比数列的性质 (找特殊性质项)‎ 和对数的运算性质 得 ‎ (合并求和)‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =10‎