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- 2021-05-14 发布
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高考复习序列-----
高中数学
数列
一、数列的通项公式与前n项的和的关系
① (注:该公式对任意数列都适用)
② (注:该公式对任意数列都适用)
③ (注:该公式对任意数列都适用)
④sn+1-sn-1=an+1+an (注:该公式对任意数列都适用)
二、等差与等比数列的基本知识
1、等差数列
⑴ 通项公式与公差:
定义式:
一般式:
推广形式: ;
;
⑵ 前项和与通项的关系:
前n项和公式:.
前n项和公式的一般式:
应用:若已知,即可判断为某个等差数列的前n项和,并可求出首项及公差的值。
与的关系:(注:该公式对任意数列都适用)
例:等差数列, (直接利用通项公式作差求解)
⑶ 常用性质:
①若m+n=p+q ,则有 ;特别地:若的等差中项,则有2n、m、p成等差数列;
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等差数列;
③为公差为d等差数列,为其前n项和,则,,...也成等差数列,
A、 构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=(S2m-Sm)- Sm;
B、 对于任意已知Sm,Sn,等差数列 公差,即也构成一个公差为等差数列。
⑥若项数为偶数,设共有项,则①偶奇; ② ;
⑦若项数为奇数,设共有项,则①奇偶;②。
例:已知等差数列,其中
解析:法一,用等差数列求和公式 求出
法二,,成等差数列,设公差为D,则:
法三,
63. 等比数列的通项公式:
⑴ ①一般形式:;
②推广形式:,
③其前n项的和公式为:,或.
⑵数列为等比数列
⑶ 常用性质:
① 若m+n=p+q ,则有 ;特别地:若的等比中项,则有 n、m、p成等比数列;
② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如,)仍是等比数列;
③为等比数列,为其前n项和,则,,...也成等比数列(仅当当或者且不是偶数时候成立);
设等比数列的前项积为,则,,成等比数列.
④ 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
⑤ 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法:
是等差数列
②中项法:
是等差数列
③一般通项公式法:
是等差数列
④一般前项和公式法:
是等差数列
判断或证明一个数列是等差数列的方法:
(1)定义法:为等比数列;
(2)中项法:为等比数列;
(3)通项公式法:为等比数列;
(4)前项和法:为等比数列。
为等比数列。
数列最值的求解
(1),时,有最大值;,时,有最小值;
(2)最值的求法:①若已知,的最值可求二次函数的最值;
可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:
若已知,则最值时的值()可如下确定或。
例1:等差数列中,,则前 项的和最大。
【解析】:
例2.设等差数列的前项和为,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
【解析】:
①
② 由,可知,n=12是前n项和正负分界项,
故所以,最大
变式:若等差数列的首项为为31,从第16项开始小于1 ,则此数列公差d的取值范围是
解析:,但要注意此时还要一个隐含条件,联立不等式组求解。
3、若数列的前n项和,则 ,数值最小项是第 项。
【解析】:法一(导数法):
根据等差数列前n项和的标准形式,可知该数列为等差数列,
令,取得最小值,
其中,可见当n=3时取得最小。
法二(列举法):对于可用列举法,分别求出n=1、2…时的的值,再进行比较发现。
4、已知数列,
【解析】:法一(均值不等式):由累加法:,令
法二(列举法):实在没招时使用该法。
5、 已知等差数列的前n项和 。
【解析】:
6、
数列通项公式的求法:
类型1:等差数列型
思路:把原递推式转化为,再使用累加法(逐差相加法)求解。
例,已知数列满足,求数列的通项公式。
解:由得则
所以数列的通项公式为
变式: 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解: 两边除以,得,则,此时,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为
评注:本题前的系数不一致,不能直接使用前述方法,解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。
类型2:等比数列型
把原递推式转化为,再使用累乘法(逐商相乘法)求解。
例 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。
解:因为 ①
所以 ②
用②式-①式得则;故
所以 ③
由,,则,又知,则
,代入③得。所以,的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。
类型4:待定系数法处理 或型数列
把原递推式转化为转化思路:
例,数列
解:令,所以即是公比为2的等比数列, =(),或令,是公比为2的等比数列,所以,
变式1:已知数列满足,求数列的通项公式。
思路:等式两边同时除于;原递推式变成令,
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,最后再求出数列的通项公式。
变式2:已知数列满足,求数列的通项公式。
思路:将原递推式两边倒数后换元,再转化为
变式3:已知数列满足,,求数列的通项公式。
思路:将原递推式两边求对数后换元,再转化为
变式4:已知数列满足,求数列的通项公式。
思路::换元,则,再代入原递推式,再转化为
类型5 已知递推式 求
这种类型一般利用导出,消去,得到与的递推式,再利用前面的方法求解出(知识迁移:)
例,已知数列前n项和,求:(1),(2)通项。
解:(1)
(2)由上式:,
令,即有,而,,
所以,2,公差为2,的等差数列,
类型6:求
用作商法:
数列求和的常用方法
然数和公式:
① ;
② ;
③
一、利用等差等比数列的求和公式求和
1、 等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
[例1] 已知,求的前n项和.
解:由,由等比数列求和公式得 ===1-(利用等比数列求和公式)
[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:由等差数列求和公式得 ,
∴ ===
∴ 当 ,即n=8时,
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:………………………①
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ②
①-②得 (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
[例4] 求数列前n项的和.
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
① -②
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例5] 求的值
解:设…………. ①
将①式右边反序得
…………..②
又因为 ,①+②得
=89
∴ S=44.5
题1 已知函数
(1)证明:;
(2)求的值.
解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,
两式相加得:
所以.
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例5] 求数列的前n项和:,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
当a=1时,=
时,=
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1) (2)
(3)
(4)
⑸
[例6] 求数列的前n项和.
解:设
则
=
=
[例7] 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
解: ∵
∴
∴ 数列{bn}的前n项和
= =
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解:设Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···
+(cos89°+ cos91°)+ cos90°= 0
[例9] 在各项均为正数的等比数列中,若的值.
解:设
由等比数列的性质 (找特殊性质项)
和对数的运算性质 得
(合并求和)
=
=
=10