新课标广东高考理科数学主要知识点归纳 25页

新课标广东高考理科数学主要知识点归纳 一、集合与常用逻辑用语 ‎1、子集、真子集、交集、并集、补集 ‎(1)集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.‎ ‎2、、、的真假性判断 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 ‎3、四种命题（原、逆、否、逆否）；原命题逆否命题；逆命题否命题。‎ 原命题（若ｐ则ｑ） 同真假 逆否命题（若非ｑ则非ｐ）‎ 否命题（若非ｐ则非ｑ） 同真假 逆命题（若ｑ则ｐ）‎ ‎4、特别强调：“都是”的否定———“不都是”； “全是”的否定———“不全是”‎ ‎ “”的否定——“”‎ ‎5、，，是的充分不必要条件； ，，是的必要不充分条件；‎ ‎，，是的充要条件； ，，是的既不充分也不必要条件。‎ ‎6、全称命题：； 特称命题：。‎ ‎ “”的否定是 —— “”‎ ‎“”的否定是 —— “”‎ 二、不等式 ‎1、不等式的基本性质：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）； ‎ ‎（3）； ‎ ‎（4）； ‎ ‎2、二次函数：‎ ‎（1）解析式的三种形式： 一般式： ‎ 顶点式： 顶点坐标：‎ 零点式： ，‎ 是方程的根。韦达定理：‎ ‎（2）对称轴方程：； 顶点坐标：‎ ‎（3）最值： 当a>0时，； 当a<0时，‎ ‎（4）单调性：当时，在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎ 当时，在上单调递增；在上单调递减。‎ x x2‎ y ‎0‎ x1‎ m ‎3、根的分布问题 （主要思想方法：数形结合，联系二次函数的图像）‎ ‎ 设是方程的两个实根，则 ‎（1）， ‎ ‎（2）在内有且只有一个实根 x y m n ‎0‎ ‎（图2）‎ x y m n ‎0‎ ‎（图3）‎ x y m ‎0‎ n p q ‎（3）在内有两个不相等的实根 ‎ ‎（4）两根分别在、内 ，且 ‎ ‎ ‎ ‎4、不等式与相应函数、方程的联系。‎ ‎5、线性规划——‎ ‎（1）二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域。 （判断方法 —— 取特殊点，一般取作为特殊点）‎ ‎（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。‎ ‎ 满足线性约束条件的解叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；‎ ‎ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。‎ ‎（3）线性规划问题的解题步骤：‎ ‎① 根据题意，设出变量 ② 找出约束条件（列不等式组） ③ 确定目标函数 ‎ ‎④ 画出可行域 （不等式组表示的区域的公共部分）‎ ‎⑤ 令，作直线，再进行直线的平移 ⑥ 观察图形，找到最优解，确定答案。‎ ‎6、基本不等式：‎ ‎（1）若，那么≥（时等号成立）。 ‎ ‎（2）若是正数，那么≥（时等号成立） “一正，二定，三相等”‎ ‎（3）最值定理：若积是定值，则和有最小值；若和是定值，则积有最大值。‎ ‎7、（1）解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的 解集为“大两边，小中间”.如:当,；‎ ‎.‎ ‎（2）含有绝对值的不等式：‎ ⅰ、当时，有：①；‎ ‎ ②或.‎ ⅱ、当时，有：①；‎ ‎ ②‎ ⅲ、不等式的常用解法：①利用绝对值的几何意义的数形结合思想；‎ ‎②零点区间法的分类讨论思想；③构造函数法的函数与方程的思想 ⅳ、绝对值的三角不等式 ‎①定理1 若为实数，则，当且仅当时，等号成立；‎ ‎②推论1 ；‎ ‎（3）分式不等式：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3） ； （4）.‎ ‎（5）指数不等式与对数不等式 ‎ (1)当时,；.‎ ‎(2)当时,；‎ ‎8、不等式的证明方法 ‎(1)比较法：要证明，只要证明，要证明，只要证明，这种证明不等式的方法叫做比较法 ‎（2）分析法：“执果索因” （3）综合法：“由因导果” （4）放缩法 三、函数 ‎1、函数的奇偶性：‎ ‎（1）如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么称函数为奇函数。‎ 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么称函数为偶函数。‎ ‎（2）性质1：奇、偶函数的定义域关于原点对称。‎ ‎ 性质2：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称。‎ ‎ 性质3：若奇函数的定义域包括0 ，则有。‎ ‎（3）利用定义判断函数奇偶性的方法、步骤：‎ ‎ ① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称。‎ ‎ ② 确定与的关系。 ③ 作出相应结论。‎ ‎2、函数的单调性：‎ ‎（1）定义：如果函数在区间D内的任意，‎ 当时，都有，则称是区间D上的增函数；‎ 当时，都有，则称是区间D上的减函数。‎ ‎（2）结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反。‎ ‎（3）导数与单调性的关系：‎ ‎ 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；‎ ‎ 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递减。‎ ‎3、函数的周期性定义：对于函数，若存在非零常数T，使得在定义域内总有，则称函数为周期函数，常数T为函数的周期。‎ ‎（1）三角函数的周期：① ；② ；③；‎ ‎④ ；⑤‎ ‎(2)与周期有关的结论：‎ 或或或的周期为 区别对称轴：的对称轴为 ‎4、指数式与对数式：‎ ‎（1）根式：当n为奇数时，； 当n为偶数时， 。‎ ‎（2）幂的性质：（）； ； ； ； ； ； ； ‎ ‎（3）指数式与对数式的互换：，（且，）‎ ‎（4）对数性质： ； ； ；‎ ‎； ； ‎ ‎（5）换底公式： ； （或写成：）‎ ‎5、指数函数：（且）的图像与性质：‎ 图 像 x y ‎0‎ ‎1‎ ‎ ‎ y ‎1‎ ‎0‎ x 性[来源:学,科,网]‎ ‎[来源:学科网][来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 质[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 定义域：R[来源:Zxxk.Com]‎ 值域：‎ 恒过点 （ ∵）‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 ‎6、对数函数: （且）的图像与性质：‎ 图 像 x ‎0‎ ‎1‎ y x y ‎0‎ ‎1‎ 性 质 定义域： ‎ 值域：R 恒过点 （∵）‎ 在上是增函数 在上是减函数 ‎7、幂函数 ‎（1）定义：形如（）的函数称为幂函数。‎ ‎（2）幂函数在第一象限的图像：‎ y y y y ‎ ‎ ‎0‎ x x ‎0‎ ‎0‎ x x ‎0‎ ‎（3）几个课标要求掌握的幂函数的图像： ‎ ‎ ‎ y y y ‎ ‎ ‎0‎ x ‎0‎ x x ‎0‎ ‎0‎ y ‎0‎ x y ‎ ‎ x ‎（4）结论：幂函数的图像不过第四象限。‎ ‎8、图像变换的规律：平移变换、翻折变换 ‎（1）水平平移： 左加右减 竖直平移： 上加下减 ‎（2）：把在轴下方的图像沿着轴翻折到上方；‎ ‎：偶函数，图像关于轴对称。‎ ‎9、函数与方程 ‎（1）方程的根（实数）就是函数的零点。‎ ‎（2）函数的零点 方程的实数根 函数的图像与轴的交点的横坐标。‎ ‎（3）方程有几个实数根函数的图像与轴有几个交点函数有几个零点 ‎（4）方程有几个实数根函数的图像与的图像有几个交点 ‎（5）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条直线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点。‎ ‎（6）二分法：对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 ‎ ‎（7）用二分法求函数的零点近似值的步骤：------《必修1》的第90页 ‎10、定义域：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 与中且，列不等式求解 ‎11、值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；‎ ‎⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、‎ 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩ 导数法 四、导数 ‎1、函数在点处的导数的物理意义 —— 就是物体在这一时刻的瞬时速度。‎ ‎2、函数在点处的导数的几何意义 —— 就是曲线在点处的切线的斜率。‎ ‎3、常用的导数公式：‎ ‎（1） （2） （3） （4） ‎ ‎（5） （6） （7）‎ 不太常用的两个： （8） （9） ‎ ‎4、导数的运算法则：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎5、用导数求函数单调区间的一般步骤：‎ ‎① 求； ② 的解集与定义域的交集所对应的区间为增区间；‎ ‎ 的解集与定义域的交集所对应的区间为减区间。‎ ‎6、极值判别法：‎ 如果，并且在附近的左侧，右侧，那么是极大值；‎ 如果，并且在附近的左侧，右侧，那么是极小值。‎ ‎7、求函数极值的步骤：‎ ‎（1）求导数； （2）求导数的根；‎ ‎（3）列表，用根判断在根左右的值的符号；‎ ‎（4）确定在这个根处是取极大值还是取极小值。‎ ‎8、求函数在上的最大值与最小值的步骤：‎ ‎（1）求出在内的极值； （2）求出、的值；‎ ‎（3）将各极值与、比较，最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。‎ 注：恒成立问题：对于恒成立问题一般可以化为最值问题，若恒成立，则；若恒成立，则。‎ ‎9、求切线方程：利用导数求切线：注意：（1）ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？‎ ‎（2）求切线方程时，常设出切点，则有切线的斜率为，且切点既在切线上，又在曲线上。‎ ‎10、定积分：‎ ‎（1）一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做问积分基本定理。即 ‎（2）有关性质：‎ ⅰ、（为常数）‎ ⅱ、‎ ⅲ、（其中）‎ 注：（为什么呢？）请思考 五、平面向量 ‎1、向量的概念：（1）既有大小又有方向的量叫做向量，记作:，或 。‎ ‎（2）长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量。‎ ‎（3）方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫共线向量。‎ ‎（4）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。‎ ‎（5）向量的长度，也叫大小，也叫模，记作：（6）规定：与任何向量平行。‎ A B C D ‎2、向量的加法法则：（1）三角形法则 —— 首尾相接。 如：‎ ‎（2）平行四边形法则 —— 同一起点。 如 ；‎ ‎3、向量的减法法则： 三角形法则 —— 同一起点。 如： ‎ ‎4、两向量共线的充要条件：‎ 向量与非零向量共线 唯一的实数，使得。‎ ‎5、平面向量的坐标运算：（1）若 、， 则 ‎ ‎（2）若 、 ，则 ‎ ‎（3）若 ，则 ‎ ‎6、平面向量共线的坐标表示：‎ ‎ 若 、，则 ∥ ‎ ‎7、数量积 ‎（1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则 叫做与的数量积。‎ ‎（2）投影： ——称为向量在方向上的投影；且 ‎ ‎ ——称为向量在方向上的投影，且 ‎ ‎（3）运算公式及运算律：① ， ② ‎ ‎③ ‎ ‎④ ； ； ‎ ‎（4）数量积的坐标运算： 若 、，则 。‎ ‎（5）非零向量与的夹角：作，，则 ，其中 ，‎ 非零向量与同向时，夹角； 反向时，夹角；垂直时，。 ‎ ‎（6）两个非零向量垂直的充要条件： ‎ ‎（7）模的运算公式： 或 ‎ ‎8、三点共线的充要条件：P，A，B三点共线。‎ 六、三角函数 ‎1、任意角和弧度制 ‎（1）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成集合 ‎（2）角度弧度： 弧度 ； 弧长（其中，为圆心角的弧度数）， 扇形面积 ‎（3）三角函数的定义：在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为r ‎（），那么： ； ； ；‎ ‎ 三角函数的符号：一全，二正弦，三正切，四余弦。‎ ‎（6）特殊角的三角函数值：‎ 角 ‎00‎ ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1800‎ ‎2700‎ ‎3600‎ 弧度制 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎0‎ 不存在 ‎0‎ ‎2、同角三角函数的基本关系式： ； ‎ ‎3、诱导公式：（1）公式一：，，‎ 公式二：， ， ‎ 公式三：， ， ‎ 公式四：， ， ‎ ‎， ， ‎ 公式五：， ‎ 公式六：， ‎ ‎4、两角和与差公式：‎ 辅助角公式：（其中，）‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎ ， ‎ ‎5、二倍角公式：， ‎ ‎ ‎ ‎ 降幂公式： ， ‎ ‎6、正弦、余弦、正切函数的在一个周期内的图像与性质：‎ ‎1‎ y y ‎（1） ‎ ‎1‎ x ‎0‎ x ‎0‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎ ‎ y y ‎1‎ ‎1‎ x x ‎0‎ ‎0‎ x ‎-1‎ ‎-1‎ ‎0‎ x ‎（2）性质：‎ 定义域 值域 最值 当，‎ 当，‎ 当，‎ 当，‎ 最小正周期 单调性 增区间：‎ 减区间：‎ 增区间：‎ 减区间：‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域 值域 最值 无 最小正周期 单调性 增区间： （）‎ 减区间：无 奇偶性 奇函数 ‎7、函数（）‎ ‎（1）函数的物理意义：振幅：A ，周期， 相位：， 初相：‎ ‎（2）图像变换： ： 左加右减 ‎ ： 当时，横坐标缩短；当时，横坐标伸长。‎ ‎： 当时，纵坐标伸长；当时，纵坐标缩短。‎ ‎（3）由函数的图像求的解析式的步骤：‎ ‎ ① 求A ， ； ②求B， ；‎ ‎③ 求T ，从而求得 ； ④ 求，通常是利用图像上的已知点。‎ 七、正弦定理、余弦定理 ‎1、正弦定理： （R为外接圆半径）‎ 变形1：（边角），，，‎ 变形2：（角边），，‎ 变形3： ‎ 2、 余弦定理 ‎， ， ‎ 变形：（角边）‎ ‎， ， ‎ 3、 三角形中常用角的变换：‎ ‎， ， ‎ ‎， ， ‎ ‎， ， ‎ ‎， ， ‎ ‎4、面积公式：‎ 八、数列：1、与的关系： ‎ ‎2、求数列的通项公式的常用方法：‎ ‎（1）若满足等差数列或等比数列的定义，可直接用通项公式；‎ ‎（2）若，且可以求和，可用累加法；‎ ‎（3）若，且可以求积，可用累积法；‎ ‎（4）若（为常数），可用待定系数法转化为等比数列求通项。‎ ‎（5）间接法（例如：）‎ ‎（6）取导数法（例如：）‎ ‎3、等差数列与等比数列：‎ ‎（1）公式对比：‎ 等差数列 等比数列 定义 ‎（，）‎ ‎（，，）‎ 通项公式 两个求和公式 当时， ；‎ 当时，‎ 性质一 性质二 若 ，‎ 则 ‎ 若 ，‎ 则 ‎ 性质三 若 ，‎ ‎ 则 ‎ 若 ，‎ ‎ 则 ‎ ‎（2）等差中项：如果成等差数列，那么叫作与的等差中项，且 如果成等比数列，那么叫作与的等比中项，且，‎ ‎4、数列求和的方法：‎ ‎（1）公式法：等差数列、等比数列的前n项和公式；‎ ‎（2）分组求和法：拆开之后构成等差或等比数列；‎ ‎（3）裂项相消法： （其中为等差数列，）‎ 常见的拆项公式： ； ； ‎ ‎（4）错位相减法：适用于，其中是等差数列，是等比数列。‎ ‎（5）构造法：把不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决。‎ ‎5、等差数列的常用判定方法：‎ ‎① 定义法： （是常数） ② 中项公式法： ‎ ‎③ 通项公式法：（关于n的一次函数） ‎ ‎④ 前n项和公式法：（A ，B为常数）‎ ‎6、等比数列的常用判定方法：‎ ‎ ① 定义法：（是不等于0的常数） ② 中项公式法： ‎ ‎ ③ 通项公式法：（关于n的一次函数） ‎ 九、直线与方程 1、 直线的有关概念 ‎（1）倾斜角: ‎ ‎（2）斜率：① （）；当倾斜角时，直线的斜率不存在。‎ ‎ ② 过两点、的斜率公式： ‎ 直线的方向向量，则直线的斜率为=.‎ ‎（3）截距：直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距 ；‎ ‎ 直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距 。‎ ‎（4）中点坐标公式：、两点的中点满足： ‎ 1、 直线方程的基本形式：‎ ‎（1）点斜式： ；当不存在时，‎ ‎（2）斜截式：，（是直线在轴上的截距） ‎ ‎（3）截距式：（） ，分别是直线在轴、轴上的截距。 ‎ ‎（4）一般式：，（A,B不全为0）‎ 3、 两直线的位置关系：‎ ‎（1）平行：∥且 ； 垂直： ‎ ‎ （注：当直线的斜率不存在时，要特殊处理。）‎ ‎（2）直线， ‎ 平行：∥ ； 垂直： ‎ ‎（3）两点间距离：若、，则 ‎（4）点到直线 的距离： ‎ ‎（5）两平行线间的距离： 直线，， ‎ 4、 直线系的有关结论：‎ ‎（1）与直线平行的直线方程可设为：（）‎ ‎（2）与直线平行的直线方程可设为：（）‎ ‎（3）与直线垂直的直线方程可设为：‎ ‎5、几种特殊的对称：‎ ‎（1）点关于轴对称的点的坐标为：‎ ‎（2）点关于轴对称的点的坐标为：‎ ‎（3）点关于原点对称的点的坐标为：‎ ‎6、点与点对称的坐标关系：‎ 设点关于点的对称点的坐标是，则：‎ ‎7、点关于直线对称的坐标关系：‎ 设点，关于直线对称，则：‎ 十、圆与方程 ‎1、圆的方程：‎ ‎（1）圆心为，半径为的圆的标准方程：‎ ‎ 特殊：圆心在坐标原点，‎ ‎（2）圆的一般方程： （表示圆的充要条件：）‎ 其中，圆心坐标是， 半径是 ‎ ‎2、点和圆的位置关系： 若点P与圆心C的距离为 ，圆的半径为r ，则：‎ 点在圆外 ； 点在圆上 ； 点在圆内 对于点和圆或，则：‎ ‎（1）点在圆内 ‎（2）点在圆上 ‎（3）点在圆外 ‎3、直线与圆的位置关系：‎ ‎（1）判断方法： ① 几何法 直线与圆相离； 直线与圆相切； 直线与圆相交 ‎② 代数法： 联立方程组，得 ‎ 消去y得一元二次方程，则：‎ A r d ‎0‎ B ‎·‎ 直线与圆相离； 直线与圆相切； 直线与圆相交 ‎（2）圆的切线的几何特征：① 过切点的半径垂直切线； ‎ ‎② 圆心到切线的距离等于半径（）。‎ ‎（3）直线被圆截得的弦长：‎ ‎ ‎ ‎（即：半径、弦心距、半径长构成一个直角三角形。）‎ ‎4、圆与圆的位置关系的判断： 若两圆的半径分别为、，圆心距为 ‎ x y ‎0‎ 外离 ； 外切； 相交 ；‎ 内切； 内含 ‎ 十一、圆锥曲线 ‎1、椭圆：（1）定义：平面内与两个定点的距离的和等于 常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。‎ 即： ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 方程 范围 ‎，‎ ‎·‎ ‎·‎ x y ‎，‎ 图像 ‎·‎ ‎·‎ y ‎0‎ x ‎0‎ 焦点 ‎，‎ ‎，‎ 顶点 ‎、‎ ‎、‎ ‎、‎ ‎、‎ 离心率 对称轴 关于轴，轴，原点对称 长轴长； 短轴长； 焦距 ‎（4）两种标准方程的一般形式： ‎ ‎2、双曲线：（1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。 即： 注意：，表示双曲线的一支。‎ ‎（2） ‎ ‎（3）几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 方程 范围 或 ‎ y 或 图像 y ‎·‎ ‎0‎ x x ‎0‎ 焦点 ‎，‎ ‎，‎ 顶点 ‎、‎ ‎、 ‎ 渐进线 离心率 对称性 关于轴，轴，原点对称 实轴长； 虚轴长； 焦距 ‎（4）两种标准方程的一般形式： ‎ 1、 抛物线：（1）定义：平面内一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。‎ ‎ 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 （即：）‎ ‎ （2）性质： 离心率 y 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 顶点 对称性 x ‎0‎ y x轴 x ‎0‎ x轴 y x ‎0‎ y y轴 ‎0‎ x y轴 ‎4、求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。 ‎ ‎5、直线与圆锥曲线的位置关系 ‎（1）判断方法：① 联立直线与圆锥曲线方程，构成方程组。 ‎ ‎② 消去y（或x）得到一个一元二次方程。‎ ‎③ 若，则直线与圆锥曲线有2个交点； 若，则直线与圆锥曲线有1个交点；‎ 若，则直线与圆锥曲线没有交点。‎ ‎6、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为,则 ‎,或, 或 ‎7、直线与圆锥曲线问题解法：‎ ‎⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。‎ 注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时 考虑了吗？③判别式验证了吗？‎ ‎⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。‎ 十二、立体几何 ‎1、空间几何体的结构：（1）柱体：棱柱、圆柱 （正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。）‎ ‎（2）锥体：棱锥、圆锥（正棱锥：底面是正多边形并且各侧面是全等的等腰三角形。） ‎ ‎（3）台体：棱台、圆台（正棱台：各侧面是全等的等腰梯形。）‎ ‎2、空间几何体的表面积和体积：‎ ‎（1）侧面积公式：‎ ‎① 直棱柱（为底面周长，为高） ② 正棱锥（为底面周长，为斜高） ‎ ‎ ③ 正棱台（分别为上下底面的周长，为斜高）‎ ‎ ④ 圆柱（为底面半径，为高） ⑤ 圆锥（为底面半径，为母线长）‎ ‎⑥ 圆台（分别为上下底面半径，为母线长）‎ ‎（2）体积公式： ① 棱柱（S为底面积，为高） ② 棱锥（S为底面积，为高）‎ ‎③ 棱台（分别为上下底面积，为高） ‎ ‎④ 圆柱（S为底面积，r为底面半径，为高）‎ ‎⑤ 圆锥（S为底面积，r为底面半径，为高）‎ ‎⑥ 圆台（分别为上下底面积，为高）‎ ‎3、球：（1）球的表面积公式： （2）球的体积公式： （表示球的半径）‎ ‎（3）球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R，截面圆的半径是r，‎ 截面圆的圆心与球心的连线长为d，则：。‎ 2、 空间几何体的直观图和三视图：‎ ‎（1）三视图：正视图（自前面向后投射）、侧视图（自左面向右投射）、俯视图（自上面向下投射）‎ ‎（2）直观图——斜二测画法：① ； ②平行于x轴或y轴的线段，在直观图中仍保持平行；‎ ‎ ③ 平行于x轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半。‎ 3、 空间点、直线、平面之间的位置关系：‎ ‎（1）平面的基本性质：‎ ‎① 公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内。‎ ‎② 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。（即：可以确定一个平面）‎ ‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。‎ ‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。‎ ‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。‎ ‎③ 公理3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过这个点的公共直线。‎ ‎④ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。‎ ‎⑤ 定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。‎ ‎（2）空间直线的位置关系： ① 空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面 ‎ ② 异面直线所成的角：过空间任意一点作与这两条异面直线平行的两直线所称的锐角或直角。‎ ‎（3）直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、‎ 直线和平面平行（没有公共点）。‎ ‎（4）两个平面的位置关系：相交（有一条公共直线）、平行（没有公共点）。‎ ‎7、空间中的平行关系：‎ ‎（1）直线和平面平行：‎ ‎① 线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，‎ 那么该直线与此平面平行。 （ 符号语言： ）‎ ‎② 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么过该直线的 任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。‎ ‎（ 符号语言： ）‎ ‎（2）平面和平面平行：‎ ‎① 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。‎ ‎（ 符号语言： ）‎ ‎② 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，‎ 那么它们的交线平行。‎ ‎( 符号语言： )‎ ‎③ 面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线平行于另一个平面。‎ ‎( 符号语言： )‎ 8、 空间中的垂直关系：‎ ‎（1）直线和平面垂直：‎ ‎① 定义：如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。‎ ‎② 线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。‎ ‎（ 符号语言： ）‎ ‎③ 性质定理1：垂直于平面的直线，则垂直该平面内的任意直线。‎ ‎（ 符号语言： ）‎ 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。‎ ‎（ 符号语言： ）‎ ‎（2）平面与平面垂直：‎ ‎① 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，‎ ‎ 那么这两个平面互相垂直。(符号语言：)‎ ‎② 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。‎ ‎( 符号语言： )‎ ‎9、其它结论：（1）平行于同一个平面的两个平面平行。 ‎ ‎（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。‎ ‎（3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。‎ ‎（4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。 ‎ ‎10.空间角（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）‎ ‎⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形； ②用向量法 ‎ 空间两个向量的夹角公式:，其中，. 异面直线所成角的求法：‎ ‎⑵直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；②用向量法 直线与平面所成角满足:,其中为面的法向量.‎ ‎（3）二面角的平面角满足: ,其中、为平面、的法向量. ‎ ‎11空间距离 ‎(1)空间两点间的距离公式:若,则 ‎.‎ ‎(2).点Q到直线的距离:,点P在直线上,直线的方向向量,向量.‎ ‎(3).点B到平面的距离:,为平面的法向量,是面的一条斜线,.‎ 十三、概率与统计 1、 抽样方法和数据统计：（1）抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。‎ ‎① 简单随机抽样（主要有抽签法、随机数表法），特点：不放回逐个抽取，每个个体被抽到的可能性相同。‎ ‎② 系统抽样（也叫等距抽样）特点：将总体分成均衡的若干部分，等距地从每一部分抽取一个个体。 ‎ ‎③ 分层抽样特点：按各层在总体中所占的比例进行抽取。‎ ‎（2）统计图表：‎ ‎① 频率分布表：表格主要有分组、频数、频率等三个项目。‎ ‎② 频率分布直方图：横坐标表示数据的分组区间，纵坐标表示频率/组距，小矩形的面积是相应分组的频率。‎ ‎③ 频率折线图：把频率分布直方图各个矩形上边的中点用线连接起来，所得的折线图叫做频率分布折线图。‎ ‎④ 茎叶图：竖线的左边表示十位数，竖线的右边表示个位数。‎ ‎（3）数字特征： ①众数：出现次数最多的数据。‎ ‎②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做中位数。‎ ‎③平均数 ④方差与标准差 方差：； 标准差：‎ ‎2、用样本的数字特征估计总体的数字特征：‎ ‎（1）反映数据的集中趋势的数字特征主要有：中位数、众数和平均数。‎ ‎（2）反映数据的离散程度的数字特征主要有：方差和标准差。（标准差越小，表示数据越稳定。）‎ ‎3、两个相关变量的回归分析：（以下的公式不用记忆）‎ ‎ （1）作出两个变量的散点图，若所有的点看上去都在一条直线附近波动，则称变量线性相关；否则，称变量非线性相关。‎ ‎（2）建立回归方程：若变量线性相关，则可用最小二乘法求出回归直线方程 ，‎ 计算公式是： ， ‎ ‎（3）回归模型好坏的评价： ① 相关系数： ‎ 若，则表明两个变量正相关；若，则表明两个变量负相关；的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，的绝对值越接近0，表明两个变量的线性相关性越弱。通常当时，认为两个变量有很强的线性相关关系。‎ 总计 总计 ‎② 相关指数： ，越接近1，表明回归效果越好。‎ ‎4、两个分类变量的独立性检验的一般步骤：‎ ‎（1）列出两个分类变量的列联表：‎ ‎（2）假设两个分类变量无关系；‎ ‎（3）计算 ；‎ ‎（4）把的值与临界值比较，确定有关的程度或无关系。‎ 临界值附表：‎ ‎0.5‎ ‎0.4‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 例如：当时，有的把握认为“有关系”；‎ 特别：当时，认为没有足够的证据显示“有关系”。‎ ‎5、随机事件的概率：‎ ‎（1）事件：必然事件、随机事件、不可能事件。‎ ‎（2）频率：在相同条件下，重复做n次试验，如果某一事件A在这n次试验中出现了m次，则称事件A出现的比例为事件A出现的频率。（频率 = 频数÷总数）‎ ‎（3）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，即事件A发生的频率具有稳定性，这时把这个常数叫做事件A的概率，记作。（ 性质： ）‎ ‎（4）事件的关系与运算：‎ ‎① 互斥事件：一次试验中不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件。‎ ‎② 对立事件：一次试验中不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。‎ ‎ 事件A的对立事件记作；对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。‎ ‎③ 事件的和：事件A与事件B至少有一个发生，则称事件A与事件B的和，记为。‎ ‎④ 概率加法公式：若A、B互斥，则；若A、B对立，则。‎ ‎6、古典概型：‎ ‎（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件。‎ ‎（2）古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概型。‎ ‎① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ② 每个基本事件出现的可能性相同。‎ ‎（3）计算公式：若试验的所有基本事件数为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，则。‎ ‎7、几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积成比例，则称这样的概率模型为几何概型。‎ ‎（1）基本特征：① 试验中所有可能出现的结果有无限个； ② 每个基本事件出现的可能性相同。‎ ‎（2）计算公式：若构成事件A的区域长度（面积或体积）用表示，试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）用表示，则。‎ ‎8、二项式定理 (1)．二项式定理：.‎ 展开式具有以下特点： ① 项数：共有项；②系数：依次为组合数 ‎③ 每一项的次数是一样的，即为次，展开式依的降幂排列，的升幂排列展开.‎ ‎(2)．二项展开式的通项：展开式中的第项为：‎ ‎9、（1）排列数公式 ==.(，∈N*，且)．‎ 注:规定.‎ ‎（3）. 组合数公式 ‎ ‎===(∈N*，，且).‎ 注：组合数的两个性质：(1)= ;(2) +=‎ ‎10、分布列 ‎⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥ 0, i=1,2,3，…； p1+p2+…=1;‎ ‎②离散型随机变量：‎ X x1‎ X2‎ ‎…‎ X n ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ P n ‎…‎ 均值（又称期望）：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xn pn + … ; ‎ 方差：DX＝ ;‎ 注：；‎ ① 二项分布（独立重复试验）：一般地，在次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验事件A发生的概率为，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生 次的概率为 ‎。此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n , p），并称为成功概率。‎ 若X～B（n , p）,则。‎ ‎④超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为，（其中 称分布列 ‎0‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎…‎ P ‎…‎ 为超几何分布。如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布。‎ ‎0‎ ‎1‎ ① 两点分布：若随机变量的分布列是 像这样的分布列称为两点分布。‎ ‎⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0P（B|A）1‎ ‎⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。‎ ‎⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）EX与标准差；‎ ⑸正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ① 当一定时，曲线随值的变化沿x轴平移；‎ ② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；‎ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。‎ 注：P=0.6826；P=0.9544‎ P=0.9974‎ 十四、推理与证明 ‎1、合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理。‎ ‎（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理。‎ ‎（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理。‎ ‎2、演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理。‎ 基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论。‎ ‎3、直接证明：综合法、分析法 ‎（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。‎ ‎（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法。‎ ‎4、反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。‎ 十五、复数 ‎1、复数的相关概念：‎ ‎（1）形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。复数集用集合C表示。‎ ‎（2）复数的分类：对于复数 ‎① 当时，是实数； ② 当时，是虚数；③ 当且时，是纯虚数。‎ ‎（3）复数相等：若，，则的充要条件是且。 特别地：若的充要条件是。‎ ‎2、复数的几何意义：‎ ‎（1）复平面：x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。‎ ‎（2）复数与复平面内的点一 一对应。‎ ‎（3）复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一 一对应。‎ ‎（4）复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且。‎ ‎3、复数的四则运算：‎ ‎（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数。若，则它的共轭复数。‎ ‎（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：‎ 除法法则：‎ ‎4、重要性质：， ， ， ‎ ‎ ， ， ， ‎ 十六、极坐标与参数方程 ‎1、极坐标系：极点、极轴 ‎（1）点的极坐标：，‎ ‎（2）极坐标与表示同一个点。‎ ‎（3）如果规定，，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示。‎ ‎2、极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴。‎ ‎（1）把直角坐标化为极坐标： ， ‎ ‎（2）把极坐标化为直角坐标： ， ‎ ‎3、参数方程：‎ 参数方程与普通方程的互化：在互化过程中，必须使的取值范围保持前后一致。‎ ‎4、常用曲线的直角坐标方程和参数方程：‎ ‎（1）直线：直角坐标方程：； 参数方程：（t为参数）‎ ‎（2）圆：直角坐标方程：； 参数方程：（为参数）‎ ‎（3）椭圆：直角坐标方程：； 参数方程：（为参数）‎ 十七、几何证明选讲 ‎1、相似三角形的判定：初中方法 ‎2、相似三角形的性质定理：‎ ‎（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。‎ ‎（2）相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比。‎ ‎（3）相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方。‎ B C D A ‎3、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；‎ ‎ 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。‎ ‎ ‎ ‎4、圆周角：‎ ‎（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ ‎（2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。‎ ‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。‎ ‎5、圆内接四边形：‎ ‎（1）圆内接四边形的性质定理1：圆的内接四边形的对角互补。‎ ‎ 圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。‎ ‎（2）圆内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。‎ ‎ 圆内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。‎ ‎6、圆的切线：‎ ‎（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 ‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。‎ ‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ ‎（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。‎ ‎7、圆的割线：‎ ‎（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。‎ ‎（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。‎ A ‎（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ P C B B D A P A C D C P B ‎ ‎ P A ‎ （4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ ‎ , ‎ B