高考数学立体几何理科专题02 二面角 12页

‎2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 ‎1．如图，在三棱柱中， 侧面底面.‎ ‎ (1)求证： 平面；‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且 ‎，,，，平面平面，点为的中点．‎ ‎（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，且，求二面角的大小.‎ ‎4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.‎ ‎5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面 平面，点、分别为、中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .‎ ‎（Ⅰ）若点是棱的中点,求证: 平面;‎ ‎（Ⅱ）求证:平面平面;‎ ‎（Ⅲ）若二面角为,设,试确定的值.‎ ‎2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角（教师版）‎ ‎1．如图，在三棱柱中， 侧面底面.‎ ‎ (1)求证： 平面；‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 侧面底面，侧面，.‎ 又,平面.‎ ‎(2)在中， ,又菱形中， ，为正三角形.‎ 设为平面的方向量，则 令,得为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量，‎ ‎.二面角的余弦值为.‎ ‎2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．‎ ‎（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ 试题解析：（1）取的中点，的中点，连接、、，‎ 如图所示．则平面平面，平面即为所求的平面． ‎ 理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，‎ 所以，在中，点分别是的中点，所以． ‎ 显然，，所以平面平面，亦即平面 平面． ‎ ‎（2）不妨设,,，故,．‎ 在平行四边形中，，所以．‎ 取的中点，则．又平面平面，平面平面，所以平面． ‎ 连接，因为，，所以，又，所以．‎ 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，,，．‎ 所以，，，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则由，即，整理得．令，．所以．‎ 所以．‎ ‎3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，且，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：（1）证明：∵，∴，∴，∴.‎ 又∵底面，∴.∵，∴平面.‎ 而平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知， 平面，‎ ‎∴，∴.故， .‎ 设平面的法向量为，则，即，令，得.‎ 易知平面的一个法向量为，则，∴二面角的大小为.‎ ‎4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 又棱台中，‎ ‎∴‎ ‎ (2)建立空间直角坐标系如图所示， 则，， ，，，， 所以，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则,‎ ‎∴，.令，得， ∴；‎ 设平面的法向量为，则,‎ ‎∴，令，得，， ∴， ‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则，‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ‎ ‎5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面 平面，点、分别为、中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：（I）证明：取中点，连接．在△中，有 分别为、中点 ‎ 而平面， 平面 平面 ‎ ‎（II）取中点，连接，设. 四边形是矩形 ‎ ‎ 平面 平面,平面 平面= ， 平面 ‎ 平面 又 ， ， 为中点 ‎ ， ， .‎ 故可建立空间直角坐标系，如图所示，则 ‎， ， ， ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ 设是平面的一个法向量，则，‎ 即不妨设，则．‎ 易知向量为平面的一个法向量．‎ ‎ ‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ‎ ‎6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .‎ ‎（Ⅰ）若点是棱的中点,求证: 平面;‎ ‎（Ⅱ）求证:平面平面;‎ ‎（Ⅲ）若二面角为,设,试确定的值.‎ 试题解析：‎ 因为平面, 平面所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为为中点,‎ 所以四边形为平行四边形,所以.‎ 因为,所以,即.‎ 又因为平面平面,且平面平面,‎ 所以平面,因为平面,所以平面平面.‎ ‎（Ⅲ）因为为的中点,所以.‎ 又因为平面平面,且平面平面,所以平面 以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则点, , , ,平面的一个法向量.‎ 设,则,,因为 所以 在平面中, ,‎ 因为二面角为,所以,所以.‎