线面垂直面面垂直的知识点地总结经典例的题目及解析汇报高考的题目练习及问题详解 14页

‎ 直线、平面垂直的判定与性质 ‎【考纲说明】‎ ‎1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。‎ ‎2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。‎ ‎【知识梳理】‎ 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 ‎（1）定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直，记作⊥α，直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。‎ ‎（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。‎ 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.‎ ‎（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即.‎ 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。‎ 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是的角。‎ 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为，那么两个面分别为的二面角记作.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：. ‎ 二、平面与平面垂直的判定与性质 ‎1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.‎ ‎2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作.‎ ‎3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作.‎ ‎【经典例题】‎ ‎【例1】（2012浙江文）设是直线,a,β是两个不同的平面 （　　）‎ A．若∥a,∥β,则a∥β B．若∥a,⊥β,则a⊥β ‎ C．若a⊥β,⊥a,则⊥β D．若a⊥β, ∥a,则⊥β ‎【答案】B ‎ ‎【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵∥a,⊥β,则a⊥β.如选项A:∥a,∥β时, a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,⊥a,∥β或;选项D:若若a⊥β, ⊥a,∥β或⊥β. ‎ ‎【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确. ‎ ‎【例3】（2012山东）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 （　　）‎ A．①②③ B．①④‎ C．①②④ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图1，当直线m或直线n在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C. ‎ ‎【例4】（2012四川理）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________.‎ ‎【答案】90º ‎ ‎【解析】方法一:连接D‎1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D‎1M, ‎ 所以,DN⊥平面A1MD1, ‎ 又A‎1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90º ‎ 方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) ‎ 故, ‎ 所以,cos< = 0,故DN⊥D‎1M,所以夹角为90º ‎ ‎【例5】（2012大纲理）三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有,‎ 则 ‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC.‎ 又E是AD的中点，∴F是DC的中点．‎ ‎∴EF＝AC＝. ‎ ‎【例7】（2012年山东文）如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）若∠,M为线段AE的中点,‎ 求证:∥平面.‎ ‎【解析】（1）设中点为O,连接OC,OE,则由知, ‎ 又已知,所以平面OCE. ‎ 所以,即OE是BD的垂直平分线,所以. ‎ ‎（2）取AB中点N,连接,∵M是AE的中点,∴∥, ‎ ‎∵△是等边三角形,∴.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, ‎ 所以∠ABC=60°+30°=90°,即,所以ND∥BC, ‎ 所以平面MND∥平面BEC,又DM 平面MND,故DM∥平面BEC. ‎ 另证:延长相交于点,连接EF.因为CB=CD,. ‎ 因为△为正三角形,所以,则, ‎ 所以,又, ‎ 所以D是线段AF的中点,连接DM, ‎ 又由点M是线段AE的中点知, ‎ 而平面BEC, 平面BEC,故DM∥平面BEC. ‎ ‎【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：PB∥平面ACM； ‎ ‎（2）证明：AD⊥平面PAC；‎ ‎（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ ‎【解析】（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.‎ ‎（2）证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.‎ ‎（3）取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝‎ eq f( (5),2)，从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，‎ tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎（1）证明:BD⊥PC;‎ ‎（2）若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）因为 ‎ 又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC, ‎ 而平面PAC,所以. ‎ ‎（2）设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC, ‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而. ‎ 由BD平面PAC,平面PAC,知. ‎ 在中,由,得PD=2OD. ‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形, ‎ 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 ‎ ‎ ‎ 在等腰三角形AOD中, ‎ 所以 ‎ 故四棱锥的体积为. ‎ ‎【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱中,,是棱的中点,‎ ‎（1）证明:‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【解析】（1）在中, ‎ 得: ‎ 同理: ‎ 得:面 ‎ ‎（2）面 ‎ 取的中点,过点作于点,连接 ‎ ‎,面面面 ‎ ‎ 得:点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设,则, ‎ 既二面角的大小为 ‎ ‎【课堂练习】‎ ．（2012浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中 （　　）‎ A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 ‎ B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 ‎ C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 ‎ D．对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(　　)‎ A．只有1个　　　　　　 B．恰有3个 C．恰有4个 D．有无穷多个 ‎4．（2012上海）已知空间三条直线l，m，n若l与m异面,且l与n异面,则 （　　）‎ A．m与n异面. B．m与n相交.‎ C．m与n平行. D．m与n异面、相交、平行均有可能.‎ ‎5．（2011烟台）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎6．（2011潍坊）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β ‎7.（2010全国卷文）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8.（2010全国卷）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎10.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A．B．C．D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.（2010江西理）过正方体的顶点A作直线L，使L与棱，，所成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎12.（2012大纲）已知正方形中,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为___ _.‎ ‎13.（2010上海文）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 .‎ ‎14.（2010四川卷）如图，二面角的大小是60°，线段.‎ ‎，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 . ‎ A D B C A1 D1‎ B‎1 C1‎ E ‎15.（江西卷文）长方体的顶点均在同一个球面上， ，，则，两点间的球面距离为 ‎ ‎16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点。‎ ‎（1）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；‎ ‎（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。‎ ‎17.（2012四川文）如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上.‎ ‎（1）求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎18.（2012陕西文）直三棱柱ABC- A1B‎1C1中,AB=A A1 ,=‎ ‎（1）证明;[‎ ‎（2）已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积. ‎ ‎19.（2012课标文）如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.‎ ‎（1）证明:平面⊥平面 ‎（2）平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ ‎20.（2012福建文）如图,在长方体中,为棱上的一点.‎ ‎（1）求三棱锥的体积;‎ ‎（2）当取得最小值时,求证:平面.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1.（2012大纲全国）已知正四棱柱中，为的中点，则直线与 ‎ 平面的距离为（ ）‎ A．2 B. C. D. 1‎ ‎2.（2010湖北文）用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若∥，∥，则∥； ②若⊥，⊥，则⊥；‎ ‎③若∥，∥，则∥； ④若⊥，⊥，则∥.‎ 其中正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎3．（2011日照）若l、m、n为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β D．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β ‎4．（2011山东）正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．150°‎ ‎5.（2010全国Ⅱ卷）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.（2010重庆卷理）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）‎ A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎7.（2009四川）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎8.（2008海南宁夏）已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）‎ A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β ‎9.（2007江苏）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ ‎10.（2011全国）已知直二面角，点C为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于 （ ）‎ A． B. C. D. 1‎ ‎11.（2009浙江）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎12.（2010上海）各棱长为1的正四棱锥的体积V=____________。‎ ‎13．下面给出四个命题：‎ ‎①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB＝CD；‎ ‎②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线 ‎③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；‎ ‎④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；‎ 其中正确的命题是________(只填命题号) .‎ ‎14.（2009江苏）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： ‎ ‎（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；‎ ‎（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；‎ ‎（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；‎ ‎（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. w.‎ ‎15．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． ‎ ‎16．（2012重庆文）已知直三棱柱中,,,为的中点.‎ ‎（1）求异面直线和的距离;‎ ‎（2）若,求二面角的平面角的余弦值.‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ F1‎ ‎17. （2009山东）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 证明:平面D‎1AC⊥平面BB‎1C1C.‎ A B C M P D ‎18．（2008山东）如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ ‎19．（2011北京）如图，在四面体P－ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面BCP；‎ ‎（2）求证：四边形DEFG为矩形；‎ ‎（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．‎ ‎20．（2012天津理）如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,‎ ‎,.‎ ‎（1）证明丄;‎ ‎（2）求二面角的正弦值;‎ ‎（3）设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1-11、BCDDB DCDABD ‎ ‎12、90º ‎ ‎13、96‎ ‎14、‎ ‎15、‎ ‎16、‎ ‎17、,‎ ‎18、‎ ‎19、(1)设知BC⊥,BC⊥AC,,∴面, 又∵面,∴, ‎ 由题设知,∴=,即, ‎ 又∵, ∴⊥面, ∵面, ‎ ‎∴面⊥面; ‎ ‎(2) ‎ ‎20、(1) ‎ ‎(2) 将侧面绕逆时针转动90°展开,与侧面共面.当,M,C共线时, ‎ ‎+MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M为的中点连接M在中,=MC=,=2, ‎ ‎∴=+ , ∴∠=90°,CM⊥, ‎ ‎∵⊥平面,∴⊥CM ∵AM∩MC=C ‎ ‎∴CM⊥平面,同理可证⊥AM ∴⊥平面MAC ‎ ‎【课后作业】‎ ‎1-11、DCBAD DDDCCC ‎ ‎12、‎ ‎13、①④‎ ‎14、(1)(2)‎ ‎15、2‎ ‎16、‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎17、（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，‎ 连接A1D，C‎1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，‎ 所以CDA‎1F1为平行四边形，所以CF1//A1D，‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，‎ 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，‎ 所以直线EE//平面FCC.‎ ‎（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,‎ 所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,‎ ‎ F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，‎ ‎,△ACF为等腰三角形，且 所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB‎1C1C内且交于点C,‎ 所以AC⊥平面BB‎1C1C,而平面D‎1AC,‎ 所以平面D‎1AC⊥平面BB1C1C.‎ ‎18、（1）在中，‎ 由于，，，‎ 所以．‎ 故．‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 故平面平面．‎ ‎（2）‎ ‎19、（1）证明：因为D，E分别为AP、AC的中点，‎ 所以DE∥PC.‎ 又因为DE⊄平面BCP，‎ 所以DE∥平面BCP.‎ ‎（2）证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，‎ 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 所以四边形DEFG为平行四边形．‎ 又因为PC⊥AB，‎ 所以DE⊥DG.‎ 所以四边形DEFG为矩形．‎ ‎（3）存在点Q满足条件，理由如下：‎ 连接DF，EG，设Q为EG的中点．‎ 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，‎ 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.‎ 与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG.‎ 所以Q为满足条件的点．‎ ‎20、（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系 则 ‎（2）‎ ‎（3）‎