高考数学大一轮复习向量的数量积和运算律向量的应用试题理含2014模拟试题 35页

‎2015届高考数学大一轮复习 向量的数量积和运算律、向量的应用精品试题 理（含2014模拟试题）‎ ‎1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，，，，. 则（   ）‎ ‎（A）         （B）         （C）         （D）‎ ‎[解析] 1.  因为＝，∴；又因为，可得, 所以DE⊥AC; ，则可得, 所以可得.‎ ‎2.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，2) 已知垂直，则的夹角是（   ）‎ ‎（A）600　　　　（B）900　　　　（C）1350　　　　　（D）1200‎ ‎[解析] 2.  由题意可得, 得, 所以又因为, 得.‎ ‎3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，5) 已知点是的重心，若，，则的最小值为（    ）‎ ‎   A. ‎ B.             ‎ C.         ‎ D. 2‎ ‎[解析] 3.  设中角，所对的边分别为，因为，，‎ 所以，即，‎ 由是的重心，所以，‎ 所以，，当且仅当时等号成立.‎ ‎4. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，11) , 分别是的中线，若，且与的夹角为120°，则（    ）‎ ‎[解析] 4.  由已知可得：, 所以,‎ 所以, 选C. ‎ ‎5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 7) 如图，在矩形ABCD中， BC=2，点E为BC的中点，点F在CD上，的值是（    ）‎ A.‎ B.  2        ‎ C.  0　　  ‎ D.  1‎ ‎[解析] 5.==, 所以=1.‎ 所以，==+=.‎ ‎6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，10) 若所在的平面内的点，且. 给出下列说法：‎ ‎①；‎ ‎②的最小值一定是；‎ ‎③点A、在一条直线上；‎ ‎④向量的方向上的投影必相等.‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A. 1个　　　　B. 2个　　　　C. 3个　　　　D. 4个 ‎[解析] 6.  由可得，所以，即，有此可知点在过点且垂直与的直线上，所以③④正确. 选B.‎ ‎7. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，3）如图，在中，，则     (    ) ‎ A. 1           ‎ B.  ‎ C. 2       ‎ D. ‎ ‎[解析] 7. .‎ ‎8. (2014北京东城高三第二学期教学检测，5) 设，是两个非零向量. 则下列命题为真命题的是（    ）‎ A. 若||＝||－||，则 B. 若，则||＝||－||‎ C. 若||＝||－||，则存在实数，使得 D. 若存在实数，使得，则||＝||－||‎ ‎[解析] 8.  若等价于反向共线且，所以存在实数，使得，选C.‎ ‎9. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，10) 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （     ）‎ A.      B.      C.       D. ‎ ‎[解析] 9.   因为，，所以四点共线，‎ 以所在的直线为轴，以的中垂线为轴，建立直角坐标系，‎ 设，，则，‎ 因为恒有，所以，‎ 即恒成立，‎ 所以判别式，解得，所以，即点在的中垂线上，‎ 故.‎ ‎10.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，10）定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：‎ ‎①；     ②；‎ ‎③；④若，则. 恒成立的有（     ）‎ A．①③          B. ①④    　    C. ②③          D. ②④‎ ‎[解析] 10.  根据定义可得，，故①正确；此时可排除选项C、D；故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时，可得，显然的值为正值，故③的说法错误，故选B.‎ ‎11. (2014广西桂林中学高三2月月考，6) 若，则向量与的夹角为（    ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎[解析] 11.  设向量与的夹角为，因为，所以，‎ 由，所以，‎ 所以，所以.‎ ‎12.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，8）如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则（ ）‎ A．　　　　       B．　　       C．         D．‎ ‎[解析] 12.  过点C作线段AB的垂线，垂足为D，则根据圆的性质可得AD=，，根据平面向量的数量积可得.‎ ‎13.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 7) 已知在△ABC中，，且，则函数的最小值为(  )‎ ‎ (A) 　　 (B) 　　(C)          (D) ‎ ‎[解析] 13.  令，因为，由题意可得得，又因为，得. 所以，当时，有最小值.‎ ‎14.(2014湖北武汉高三2月调研测试，3) 已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为 A．30°      B．60°      C．120°      D．150°‎ ‎[解析] 14.  由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, ‎ ‎, ‎ ‎=‎ ‎, 又因为故选C.‎ ‎15. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），5) 已知点，为坐标原点，动点满足，则点所构成的平面区域的面积是(       ) ‎ A. 12‎ B. 16‎ C. 32‎ D. 64‎ ‎[解析] 15.    ，，为坐标原点，动点，，，，由，即，他表示的可行域为边长为的正方形，如图，围成的区域的面积是.‎ ‎16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，‎ 是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（    ）‎ A. 2         ‎ B.         ‎ C. 4         ‎ D. ‎ ‎[解析] 16. 是互相垂直的单位向量，设，，，‎ 由，，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，当且仅当时取等号，‎ ‎，故的最小值为.‎ ‎17. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 10) 已知向量，，满足，，则的最小值为（）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎[解析] 17.由得：，建立直角坐标系可设，代入化简得：，又表示圆 上的点到点的距离，由图像可得最小距离为，故选A.‎ ‎18. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设，向量，，，且，，则（    ）‎ A.         ‎ B.            ‎ C.        ‎ D. 10‎ ‎[解析] 18.  ，，即，又，，即，，，‎ ‎，故.‎ ‎19.(2014广州高三调研测试, 3) 已知向量，，，若，则实数的值为（    ）‎ A．　　  B．　　  C．　　  D．‎ ‎[解析] 19.  依题意，，又，，即.‎ ‎20. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足 ‎，，，且，则的值为（   ‎ ‎ ）‎ A.            ‎ B.            ‎ C.            ‎ D.   ‎ ‎[解析] 20.  ，而，‎ ‎，‎ ‎，又，即，‎ 在的角平分线上，由此得是的内心，过作于，为圆心，为半径，作的内切圆，如图，分别切、于、，，‎ ‎，，‎ 在中，，.‎ ‎.‎ ‎21. (2014湖北黄冈高三期末考试) 函数的部分图象如图所示，若 ‎，则（    ）‎ A.            ‎ B.            ‎ C.            ‎ D.   ‎ ‎[解析] 21.  由图知，函数的周期为，设，则，，又，，解得.‎ ‎22.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量a，b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ=              ‎ ‎[解析] 22.  设，则由题意可得，解得. 所以，又因为，结合平方关系式可得sinθ= .‎ ‎23. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，14) 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，‎ ‎[解析] 23.  ‎ 可得点O位线段BC的中点，又因点O为△ABC的外接圆的圆心，由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形，且，根据勾股定理可得，所以，根据投影的定义可知方向上的投影为.‎ ‎24. (2014山西太原高三模拟考试（一），15) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若，则实数m=        . (用表示) ‎ ‎[解析] 24.  设外接圆半径为R，则：  可化为：  （*）. 易知与的夹角为2∠C，与的夹角为2∠B，与的夹角为0， ||=||=||=R. 则对（*）式左右分别与作数量积，可得：. 即    R2  （cos‎2C－1）+•R2（cos2B－1）=－2mR2. ∴－2sinCcosB+（－2sinBcosC）=－‎2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m. 因为sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，所以，m=sinA=sinθ.‎ ‎25. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），14) 若向量, 是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为__________. ‎ ‎[解析] 25.  依题意，投影为.‎ ‎26. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，15) 已知, ‎ 动点满足, 则的最大值为________. ‎ ‎[解析] 26.  设动点，因为，，，，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍，因为圆心到坐标原点的距离为2，圆的半径为1，‎ 所以的最大值为.,‎ ‎27.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，14）已知是上一动点, 线段是的一条动直径(是直径的两端点), 则的取值范围是__________________．‎ ‎[解析] 27.  因为，又因为|AB|=2，所以①，又因为，两边同时平方得  ② ①②两式相加得，由①得，由圆的性质可得，所以的取值范围是[15,35].‎ ‎28. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量，，则向量在向量上的投影为            . ‎ ‎[解析] 28.  向量在向量上的投影为.‎ ‎29. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，，，则的最小值是          . ‎ ‎[解析] 29.  由已知得 ，，‎ ‎，即，‎ 而.‎ ‎30.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为   ▲   ．‎ ‎[解析] 30.  如图所示，设直线与相交于，由题意知，‎ 令，则由，可得，，‎ 故为等边三角形，‎ 在中，由余弦定理求得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎31.  (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 14) 已知直角中, 为斜边的中点，则向量在上的投影为           . ‎ ‎[解析] 31.   在直角中，，，为斜边的中点，如图，‎ 过点作，垂足为，则是向量在上的投影，，‎ ‎，，‎ 向量在上的投影为.‎ ‎32. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，15) 设⊙O为不等边的外接圆，内角，，所对边的长分别为, , ，是所在平面内的一点，且满足（与不重合）， 为所在平面外一点，. 有下列命题：‎ ‎①若，，则点在平面上的射影恰在直线上；‎ ‎ ②若，则；‎ ‎  ③若，，则；‎ ‎  ④若，则在内部的概率为（、分别表示与圆的面积）.‎ 其中不正确的命题有            （写出所有不正确命题的序号）．‎ ‎[解析] 32.  , ,‎ ‎，，‎ ‎，即是的平分线，‎ ‎，在平面上的射影是的外心，‎ ‎，是不等边三角形，‎ 点在平面上的射影恰在直线上不正确，故①错误；‎ ‎，为弧的中点，，‎ 是在平面上的射影，，‎ ‎，故②正确；‎ 由于，则点在圆内，，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故③不正确；‎ 若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.‎ 故不正确的为 ①③④.‎ ‎33.(2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量，则是的（    ）‎ ‎   A . 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件 ‎ ‎   C. 充分必要条件　　  D. 既不充分也必要条件   ‎ ‎[解析] 33.  设向量的夹角为，若，则；‎ 若，则，从而，是的充分必要条件.‎ ‎34. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量，. ‎ ‎    （Ⅰ）若，求的值；‎ ‎    （Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎[解析] 34.    解析  （Ⅰ）由可知，，所以，‎ 所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）由可得，‎ ‎，‎ 即，  ①  （10分）‎ 又，且  ②，由①②可解得，，‎ 所以. （14分）‎ ‎35. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图中，已知点在边上，满足，. ‎ ‎    （Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎[解析] 35.  （Ⅰ） 因为，所以,‎ 即，‎ 在中，由余弦定理可知，‎ 即，解之得或 由于，所以         （7分）‎ ‎    （Ⅱ） 在中，由正弦定理可知，‎ 又由可知，‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以　　      （12分）‎ ‎36. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 16) 如图，平面四边形中，，，，，. ‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）设，求、的值.‎ ‎[解析] 36.  （Ⅰ）设，，则，，‎ ‎.     （6分）‎ ‎（Ⅱ）由得 ，‎ ‎   ，解得，.  （ 12分）‎ ‎37. (2014兰州高三第一次诊断考试, 17) 已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量 ‎，，且.‎ ‎    （Ⅰ）求角的大小；‎ ‎    （Ⅱ）若，求的范围.‎ ‎[解析] 37.    解析  （Ⅰ）∵ ，，且.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，而，‎ 故.    （6分）‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得 ， 当且仅当时，取等号.‎ ‎， ，‎ 又， .           （12分）‎ ‎38. (2014湖北黄冈高三期末考试)设向量，，，函数 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，，，求的值.‎ ‎[解析] 38.（1）‎ ‎,‎ 所以，函数的.          (5分)‎ ‎（2）,‎ ‎，,‎ ‎,‎ 答案和解析 理数 ‎[答案] 1.  D ‎[解析] 1.  因为＝，∴；又因为，可得, 所以DE⊥AC; ‎ ‎，则可得, 所以可得.‎ ‎[答案] 2.  D ‎[解析] 2.  由题意可得, 得, 所以又因为, 得.‎ ‎[答案] 3.  B ‎[解析] 3.  设中角，所对的边分别为，因为，，‎ 所以，即，‎ 由是的重心，所以，‎ 所以，，当且仅当时等号成立.‎ ‎[答案] 4.  C ‎ ‎[解析] 4.  由已知可得：, 所以,‎ 所以, 选C. ‎ ‎[答案] 5.A ‎[解析] 5.==, 所以=1.‎ 所以，==+=.‎ ‎[答案] 6.B ‎ ‎[解析] 6.  由可得，所以，即，有此可知点在过点且垂直与的直线上，所以③④正确. 选B.‎ ‎[答案] 7.D ‎ ‎[解析] 7. .‎ ‎[答案] 8.C ‎[解析] 8.  若等价于反向共线且，所以存在实数，使得，选C.‎ ‎[答案] 9.C ‎[解析] 9.   因为，，所以四点共线，‎ 以所在的直线为轴，以的中垂线为轴，建立直角坐标系，‎ 设，，则，‎ 因为恒有，所以，‎ 即恒成立，‎ 所以判别式，解得，所以，即点在 的中垂线上，‎ 故.‎ ‎[答案] 10.  B ‎[解析] 10.  根据定义可得，，故①正确；此时可排除选项C、D；故只需判断命题③和④的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时，可得，显然的值为正值，故③的说法错误，故选B.‎ ‎[答案] 11.  A ‎[解析] 11.  设向量与的夹角为，因为，所以，‎ 由，所以，‎ 所以，所以.‎ ‎[答案] 12.  B ‎[解析] 12.  过点C作线段AB的垂线，垂足为D，则根据圆的性质可得AD=，，根据平面向量的数量积可得.‎ ‎[答案] 13.  B ‎[解析] 13.  令，因为，由题意可得得，又因为，得. 所以 ‎，当时，有最小值.‎ ‎[答案] 14.  C ‎[解析] 14.  由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, ‎ ‎, ‎ ‎=‎ ‎, 又因为故选C.‎ ‎[答案] 15.  C ‎[解析] 15.    ，，为坐标原点，动点，，，，由，即，他表示的可行域为边长为的正方形，如图，围成的区域的面积是.‎ ‎[答案] 16.  B ‎[解析] 16. 是互相垂直的单位向量，设，，，‎ 由，，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，当且仅当时取等号，‎ ‎，故的最小值为.‎ ‎[答案] 17.A ‎[解析] 17.由得：，建立直角坐标系可设，代入化简得：，又表示圆上的点到点的距离，由图像可得最小距离为，故选A.‎ ‎[答案] 18.  B ‎[解析] 18.  ，，即，又，，即，，，‎ ‎，故.‎ ‎[答案] 19.  A ‎[解析] 19.  依题意，，又，，即.‎ ‎[答案] 20.  C ‎[解析] 20.  ，而，‎ ‎，‎ ‎，又，即，‎ 在的角平分线上，由此得是的内心，过作于，为圆心，为半径，作的内切圆，如图，分别切、于、，，‎ ‎，，‎ 在中，，.‎ ‎.‎ ‎[答案] 21.  C ‎[解析] 21.  由图知，函数的周期为，设，则，，又，，解得.‎ ‎[答案] 22.  ‎ ‎[解析] 22.  设，则由题意可得，解得. 所以，又因为，结合平方关系式可得sinθ= .‎ ‎[答案] 23.  3‎ ‎[解析] 23.  可得点O位线段BC的中点，又因点O为△ABC的外接圆的圆心，由此可得△ABC为以BC为斜边的直角三角形，且，根据勾股定理可得，所以，根据投影的定义可知方向上的投影为.‎ ‎[答案] 24.  ‎ ‎[解析] 24.  设外接圆半径为R，则：  可化为：  （*）. 易知与的夹角为2∠C，与的夹角为2∠B，与的夹角为0， ||=||=||=R. 则对（*）式左右分别与作数量积，可得：. 即    R2  （cos‎2C－1）+•R2（cos2B－1）=－2mR2. ∴－2sinCcosB+（－2sinBcosC）=－‎2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m. 因为sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，所以，m=sinA=sinθ.‎ ‎[答案] 25.‎ ‎[解析] 25.  依题意，投影为.‎ ‎[答案] 26.  6‎ ‎[解析] 26.  设动点，因为，，，，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，即为圆上的点到坐标原点的距离的2倍，因为圆心到坐标原点的距离为2，圆的半径为1，‎ 所以的最大值为.,‎ ‎[答案] 27.  [15,35]‎ ‎[解析] 27.  因为，又因为|AB|=2，所以①，又因为，两边同时平方得  ② ①②两式相加得，由①得，由圆的性质可得，所以的取值范围是[15,35].‎ ‎[答案] 28.  ‎ ‎[解析] 28.  向量在向量上的投影为.‎ ‎[答案] 29.  18‎ ‎[解析] 29.  由已知得 ，，‎ ‎，即，‎ 而.‎ ‎[答案] 30.  7‎ ‎[解析] 30.  如图所示，设直线与相交于，由题意知，‎ 令，则由，可得，，‎ 故为等边三角形，‎ 在中，由余弦定理求得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎[答案] 31.  ‎ ‎[解析] 31.   在直角中，，，为斜边的中点，如图，‎ 过点作，垂足为，则是向量在上的投影，，‎ ‎，，‎ 向量在上的投影为.‎ ‎[答案] 32.  ①③④‎ ‎[解析] 32.  , ,‎ ‎，，‎ ‎，即是的平分线，‎ ‎，在平面上的射影是的外心，‎ ‎，是不等边三角形，‎ 点在平面上的射影恰在直线上不正确，故①错误；‎ ‎，为弧的中点，，‎ 是在平面上的射影，，‎ ‎，故②正确；‎ 由于，则点在圆内，，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故③不正确；‎ 若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.‎ 故不正确的为 ①③④.‎ ‎[答案] 33.  C ‎[解析] 33.  设向量的夹角为，若，则；‎ 若，则，从而，是的充分必要条件.‎ ‎[答案] 34.查看解析 ‎[解析] 34.    解析  （Ⅰ）由可知，，所以，‎ 所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）由可得，‎ ‎，‎ 即，  ①  （10分）‎ 又，且  ②，由①②可解得，，‎ 所以. （14分）‎ ‎[答案] 35.查看解析 ‎[解析] 35.  （Ⅰ） 因为，所以,‎ 即，‎ 在中，由余弦定理可知，‎ 即，解之得或 由于，所以         （7分）‎ ‎    （Ⅱ） 在中，由正弦定理可知，‎ 又由可知，‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以　　      （12分）‎ ‎[答案] 36.查看解析 ‎[解析] 36.  （Ⅰ）设，，则，，‎ ‎.     （6分）‎ ‎（Ⅱ）由得 ，‎ ‎   ，解得，.  （ 12分）‎ ‎[答案] 37.查看解析 ‎[解析] 37.    解析  （Ⅰ）∵ ，，且.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，而，‎ 故.    （6分）‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得 ， 当且仅当时，取等号.‎ ‎， ，‎ 又， .           （12分）‎ ‎[答案] 38.查看解析 ‎[解析] 38.（1）‎ ‎,‎ 所以，函数的.          (5分)‎ ‎（2）,‎ ‎，,‎ ‎,‎