2013年高考数学试题分类汇编——不等式 16页

‎2013年高考数学试题分类汇编——不等式 ‎·一、选择题 ‎1、（2010上海文数）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （ ）‎ ‎（A）1. （B）. （C）2. （D）3.‎ 解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2‎ ‎2、（2010浙江理数）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数 ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎3、（2010全国卷2理数）（5）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.‎ ‎【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C ‎4、（2010全国卷2文数）(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 ‎（A）1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】C：本题考查了线性规划的知识。‎ ‎∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时 ‎5、（2010全国卷2文数）（2）不等式＜0的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ‎ ∵ ，∴ ，故选A ‎6、（2010江西理数）3.不等式 的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。‎ 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。‎ ‎7、（2010安徽文数）（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是 ‎（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8‎ ‎8.C ‎【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数 在取最大值6。‎ ‎【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.‎ ‎（2010重庆文数）（7）设变量满足约束条件则的最大值为 ‎（A）0 （B）2‎ ‎（C）4 （D）6‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 当直线过点、B时，在y轴上截距最小，z最大 由B（2,2）知4‎ ‎8、‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎9、（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. ‎ 解析：考察均值不等式 ‎，整理得 ‎ 即，又，‎ ‎10、（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 A.—2 B. 4 C. 6 D. 8 ‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6‎ ‎11、（2010北京理数）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ 答案：A ‎12、（2010四川理数）（12）设，则的最 小值是 ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ 解析：‎ ‎＝ ‎ ‎＝‎ ‎≥0＋2＋2＝4‎ 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件.‎ 答案：B y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎13、（2010四川理数）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ 答案：B ‎ ‎14、（2010天津文数）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为 ‎（A）12 （B）10 （C）8 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.‎ ‎（2010福建文数）‎ ‎15、（2010全国卷1文数）（10）设则 ‎（A）（B） (C) (D) ‎ ‎10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.‎ ‎【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎15.【答案】CD DE ‎【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.‎ ‎37、（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。。‎ ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ 三、解答题 ‎38、（2010广东理数）19.（本小题满分12分）‎ ‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ ‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？‎ 解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。‎ ‎ 可行域为 ‎12 x+8 y ≥64‎ ‎6 x+6 y ≥42‎ ‎6 x+10 y ≥54‎ x≥0， x∈N ‎ y≥0， y∈N ‎ 即 ‎3 x+2 y ≥16‎ ‎ x+ y ≥7‎ ‎3 x+5 y ≥27‎ x≥0， x∈N ‎ y≥0， y∈N ‎ 作出可行域如图所示：‎ ‎ 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元．‎ ‎39、（2010广东文数）19.（本题满分12分）‎ 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ 解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知：‎ 画出可行域：‎ 变换目标函数：‎ ‎40、（2010湖北理数）15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎15.【答案】CD DE ‎【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.‎