高考数学知识点总结 35页

高中数学知识点总结 ‎ 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。‎ 中元素各表示什么？‎ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。‎ 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。‎ ‎ 3. 注意下列性质：‎ ‎（3）德摩根定律：‎ ‎ 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）‎ 的取值范围。‎ ‎ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？‎ ‎（互为逆否关系的命题是等价命题。）‎ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。‎ ‎ 7. ‎ 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？‎ ‎（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）‎ ‎ 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？‎ ‎（定义域、对应法则、值域）‎ ‎ 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？‎ ‎ 10. 如何求复合函数的定义域？‎ 义域是_____________。‎ ‎ 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？‎ ‎ 12. 反函数存在的条件是什么？‎ ‎（一一对应函数）‎ 求反函数的步骤掌握了吗？‎ ‎（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）‎ ‎ 13. 反函数的性质有哪些？‎ ‎①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；‎ ‎②保存了原来函数的单调性、奇函数性；‎ ‎ 14. 如何用定义证明函数的单调性？‎ ‎（取值、作差、判正负）‎ 如何判断复合函数的单调性？‎ ‎∴……）‎ ‎ 15. 如何利用导数判断函数的单调性？‎ 值是（）‎ ‎ A. 0 B. ‎1 ‎ C. 2 D. 3‎ ‎∴a的最大值为3）‎ ‎ 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？‎ ‎（f(x)定义域关于原点对称）‎ 注意如下结论：‎ ‎（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。‎ ‎ 17. 你熟悉周期函数的定义吗？‎ 函数，T是一个周期。）‎ 如：‎ ‎ 18. 你掌握常用的图象变换了吗？‎ 注意如下“翻折”变换：‎ ‎ 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？‎ 的双曲线。‎ 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ‎②求闭区间［m，n］上的最值。‎ ‎③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。‎ ‎④一元二次方程根的分布问题。‎ 由图象记性质！（注意底数的限定！）‎ 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？‎ ‎ 20. 你在基本运算上常出现错误吗？‎ ‎ 21. 如何解抽象函数问题？‎ ‎（赋值法、结构变换法）‎ ‎ 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？‎ ‎（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）‎ 如求下列函数的最值：‎ ‎ 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？‎ ‎ 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 ‎ 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？‎ ‎（x，y）作图象。‎ ‎ 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。‎ ‎ 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？‎ ‎ 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？‎ ‎（平移变换、伸缩变换）‎ 平移公式：‎ 图象？‎ ‎ 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？‎ ‎“奇”、“偶”指k取奇、偶数。‎ ‎ A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值 ‎ 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？‎ 理解公式之间的联系：‎ 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）‎ 具体方法：‎ ‎（2）名的变换：化弦或化切 ‎（3）次数的变换：升、降幂公式 ‎（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。‎ ‎ 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？‎ ‎（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）‎ ‎ 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。‎ ‎ 34. 不等式的性质有哪些？‎ 答案：C ‎ 35. 利用均值不等式：‎ 值？（一正、二定、三相等）‎ 注意如下结论：‎ ‎ 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？‎ ‎（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）‎ 并注意简单放缩法的应用。‎ ‎（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）‎ ‎ 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 ‎ 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 ‎ 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？‎ ‎（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）‎ 证明：‎ ‎（按不等号方向放缩）‎ ‎ 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）‎ ‎ 43. 等差数列的定义与性质 ‎0的二次函数）‎ 项，即：‎ ‎ 44. 等比数列的定义与性质 ‎ 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？‎ 例如：（1）求差（商）法 解：‎ ‎［练习］‎ ‎（2）叠乘法 解：‎ ‎（3）等差型递推公式 ‎［练习］‎ ‎（4）等比型递推公式 ‎［练习］‎ ‎（5）倒数法 ‎ 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？‎ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。‎ 解：‎ ‎［练习］‎ ‎（2）错位相减法：‎ ‎（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。‎ ‎［练习］‎ ‎ 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？‎ ‎△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：‎ 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：‎ ‎△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）‎ 若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 ‎ p——贷款数，r——利率，n——还款期数 ‎ 49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。‎ ‎（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 ‎（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不 ‎ 50. 解排列与组合问题的规律是：‎ 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。‎ 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）‎ ‎ A. 24 B. ‎15 ‎ C. 12 D. 10‎ 解析：可分成两类：‎ ‎（2）中间两个分数相等 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。‎ ‎∴共有5＋10＝15（种）情况 ‎ 51. 二项式定理 性质：‎ ‎（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 表示）‎ ‎ 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？‎ 的和（并）。‎ ‎（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。‎ ‎（6）对立事件（互逆事件）：‎ ‎（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。‎ ‎ 53. 对某一事件概率的求法：‎ 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 ‎（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。‎ ‎（1）从中任取2件都是次品；‎ ‎（2）从中任取5件恰有2件次品；‎ ‎（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；‎ 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103‎ 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”‎ ‎（4）从中依次取5件恰有2件次品。‎ 解析：∵一件一件抽取（有顺序）‎ 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。‎ ‎ 54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。‎ ‎ 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。‎ 要熟悉样本频率直方图的作法：‎ ‎（2）决定组距和组数；‎ ‎（3）决定分点；‎ ‎（4）列频率分布表；‎ ‎（5）画频率直方图。‎ 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。‎ ‎ 56. 你对向量的有关概念清楚吗？‎ ‎（1）向量——既有大小又有方向的量。‎ 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。‎ ‎（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。‎ 规定零向量与任意向量平行。‎ ‎（7）向量的加、减法如图：‎ ‎（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）‎ 的一组基底。‎ ‎（9）向量的坐标表示 表示。‎ ‎ 57. 平面向量的数量积 数量积的几何意义：‎ ‎（2）数量积的运算法则 ‎［练习］‎ 答案：‎ 答案：2‎ 答案：‎ ‎ 58. 线段的定比分点 ‎※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？‎ ‎ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？‎ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：‎ 线面平行的判定：‎ 线面平行的性质：‎ 三垂线定理（及逆定理）：‎ 线面垂直：‎ 面面垂直：‎ ‎ 60. 三类角的定义及求法 ‎（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°‎ ‎（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°‎ ‎（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）‎ 三类角的求法：‎ ‎①找出或作出有关的角。‎ ‎②证明其符合定义，并指出所求作的角。‎ ‎③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。‎ ‎［练习］‎ ‎（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。‎ ‎（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。‎ ‎①求BD1和底面ABCD所成的角；‎ ‎②求异面直线BD1和AD所成的角；‎ ‎③求二面角C1—BD1—B1的大小。‎ ‎（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。‎ ‎（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）‎ ‎ 61. 空间有几种距离？如何求距离？‎ 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。‎ 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。‎ 如：正方形ABCD—A1B‎1C1D1中，棱长为a，则：‎ ‎（1）点C到面AB‎1C1的距离为___________；‎ ‎（2）点B到面ACB1的距离为____________；‎ ‎（3）直线A1D1到面AB‎1C1的距离为____________；‎ ‎（4）面AB‎1C与面A1DC1的距离为____________；‎ ‎（5）点B到直线A‎1C1的距离为_____________。‎ ‎ 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？‎ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。‎ 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：‎ 它们各包含哪些元素？‎ ‎ 63. 球有哪些性质？‎ ‎（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！‎ ‎（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。‎ ‎（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。‎ 积为（）‎ 答案：A ‎ 64. 熟记下列公式了吗？‎ ‎（2）直线方程：‎ ‎ 65. 如何判断两直线平行、垂直？‎ ‎ 66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？‎ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。‎ 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。‎ ‎ 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？‎ ‎ 68. 分清圆锥曲线的定义 ‎ 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）‎ ‎ 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？‎ 如：‎ 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。‎ ‎ 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。‎ 答案：‎ ‎ 73. 如何求解“对称”问题？‎ ‎（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。‎ ‎ 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。‎ ‎（直接法、定义法、转移法、参数法）‎ ‎ 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。‎