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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 1-2命题、量词、逻辑联结词课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)下列四个命题中的真命题为( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3 B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
[答案] D
[解析] ∵1<4x0<3，∴0，故选D.
(理)(2013·北京四中期中)下列命题中是假命题的是( )
A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．∀a>0，f(x)＝lnx－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ
D．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减
[答案] A
[解析] 当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x为偶函数，所以A错误，选A.
2．(文)(2013·山东临沂期中)已知命题p：∀x∈R,3x>0，则( )
A．綈p：∃x0∈R,3x0≤0
B．綈p：∀x∈R,3x≤0
C．綈p：∃x0∈R,3x0<0
D．綈p：∀x∈R,3x<0
[答案] A
[解析] 全称命题的否定是特称命题，所以綈p：∃x0∈R,3x0≤0，选A.
(理)命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( )
A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题
B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题
C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题
D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题
[答案] A
[解析] 因为x＝0时，20＋02＝1，所以“∀x∈R,2x＋x2>1”是假命题．
3．(2012·东北三校联考)已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )
A．p∧q为真 B．(綈p)∨q为真
C．p∧(綈q)为真 D．(綈p)∧q为真
[答案] C
[分析] 先判断命题p、q的真假，再按照或、且、非的定义及真值表做出判断．
[解析] ∵x∈R，∴2x>0,2－x>0，∴2x＋2－x≥2＝2，∴p为真命题；q为假命题(如y＝为奇函数，但其图象不过原点)，∴p∧q为假，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，(綈p)∧q为假，故选C.
4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
[答案] C
[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
5．(2014·开原月考)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
[答案] A
[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.
6．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为真命题
[答案] D
[解析] A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C中，命题的否定应为∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
二、填空题
7．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“非p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．
[答案] (4，＋∞)
[解析] ∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又p或q为真命题，∴q为真命题．
若a>1，由loga2<1知a>2，又f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，且p为假命题，∴a>4，因此得，a>4；
若0
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立
[答案] D
[解析] 对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0；
对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；
对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；
对于D，因为sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，且∈[－，]，所以该命题正确．
12．(2012·合肥第一次质检)下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] A
[解析] 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要log2x>0，∴x>1，故②正确；由a>b>0得0<
<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故④错误．所以选A.
13．(2013·潍坊模拟)已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12<0的解集是{x|32”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
[答案] ①②
[解析] ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③若<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
15．(2013·长沙调研)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tanx＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
[答案] ①③
[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
三、解答题
16．(文)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析] (1)证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．
∴·＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.
由得ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.
又∵x1＝y，x2＝y，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(y1y2)2＋y1y2＝3.
综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题．
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，那么直线过点T(3,0)．
该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，
直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．
(理)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log (x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] ∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，
∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，
令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
∴a>1.即若命题p真，则a>1.
又∵函数f(x)＝log (x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，u(1)>0，∴－1－1.
考纲要求
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
4．全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义．
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
补充说明
1．抓住3个考点：一是含逻辑联结词的命题真假判断；二是全称命题与特称命题的真假判断；三是含逻辑联结词的复合命题及全称(特称)命题的否定形式．
2．正确分析命题的条件与结论．
备选习题
1．已知命题p：∃x∈(0，)，sinx＝，则綈p为( )
A．∀x∈(0，)，sinx＝
B．∀x∈(0，)，sinx≠
C．∃x∈(0，)，sinx≠
D．∃x∈(0，)，sinx>
[答案] B
[解析] 特称命题的否定为全称命题，排除C、D；“＝”的否定为“≠”，排除A，故选B.
2．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] a、b、c换成平面α、β、γ，则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；
a、b换成平面α、β，则“α∥β且c⊥α⇒c⊥β”是真命题；
b、c换成平面β、γ，则“a∥β且a⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；
a、c换成平面α、γ，则“b∥α且α⊥γ⇒b⊥γ”是假命题．
3．已知命题p：“平行于同一平面的两条直线相互平行”；命题q：“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”．在p∨q，p∧q，綈p，p∧(綈q)中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] p、q都是假命题，因此綈p、綈q均为真命题，∴p∨q为假，p∧q为假，p∧(綈q)为假，故选A.
4．(2012·南通市调研)已知命题p1：函数y＝ln(x＋)是奇函数，p2：函数y＝x为偶函数，则在下列四个命题：
①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中，
真命题的序号是________．
[答案] ①④
[解析] ∵ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)，∴p1是真命题，又函数y＝x的定义域为{x|x≥0}，∴p2为假命题，∴綈p1假，綈p2真，∴p1∨p2真，p1∧p2假，(綈p1)∨p2假，p1∧(綈p2)真．
5．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若14；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则14时，方程表示双曲线，而当1t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.
6．给出下列命题：
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(3)若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0；
(4)已知a、b、c是空间三条不同的直线，若a⊥b，且a⊥c，则b∥c.
其否命题为真命题的序号是________．(写出所有符合题意的序号)
[答案] (1)(3)
[解析] (1)否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，∵Δ＝22－4q＝4(1－q)<0，∴此命题为真命题．
(2)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，∵当x＝2，y＝4时，x、y不都是奇数，但x＋y是偶数，∴此命题为假命题．
(3)否命题：若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0，这是一个真命题．
(4)否命题：已知a、b、c是空间三条不同的直线，若a与b不垂直或者a与c不垂直，则b与c不平行，这是一个假命题．因为a∥b，a∥c时，有b∥c.
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