2012高考北京理科数学试题及答案高清版 10页

2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共 150 分．考试时长 120 分钟． 第一部分(选择题　共 40 分) 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项． 1．已知集合 A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则 A∩B＝(　　) A．(－∞，－1) B．{－1， } C．( ，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数 对应的点的坐标为(　　) A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则(　　) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　) 2 3 − 2 3 − 10i 3 i+ A． B． C． D． 8．某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，m 的值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 第二部分(非选择题　共 110 分) 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．直线 (t 为参数)与曲线 (α 为参数)的交点个数为________． 10．已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 ，S2＝a3，则 a2＝________，Sn＝ ________． 11．在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7， ，则 b＝________． 12．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A， B 两点，其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为________， 的最大值为________． 14．已知 f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同时满足条件： ① x∈R，f(x)＜0 或 g(x)＜0； ② x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0． 则 m 的取值范围是________． 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数 ． (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． 16．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6．D，E 分别是 AC，AB 上的 点，且 DE∥BC，DE＝2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD，如图 2． 28 6 5+ 30 6 5+ 56 12 5+ 60 12 5+ 2 , 1 x t y t = +  = − − 3cos 3sin x y α α =  = 1 1 2a = 1cos 4B = − DE CB⋅  DE DC⋅  (sin cos )sin2( ) sin x x xf x x −= 图 1 图 2 (1)求证：A1C⊥平面 BCDE； (2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； (3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由． 17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和 其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾．数据统计如下(单位：吨)： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率； (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a，b，c，其中 a＞0，a＋b＋c＝600，当数据 a，b，c 的方差 s2 最大时，写出 a，b，c 的 值(结论不要求证明)，并求此时 s2 的值． (求：s2＝ ［(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2］，其中 为数据 x1，x2，…，xn 的平 均数) 18．已知函数 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx． (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a2＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1］上的最大 值． 19．已知曲线 C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)． (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围； (2)设 m＝4，曲线 C 与 y 轴的交点为 A，B(点 A 位于点 B 的上方)，直线 y＝kx＋4 与曲 线 C 交于不同的两点 M，N，直线 y＝1 与直线 BM 交于点 G．求证：A，G，N 三点共线． 20．设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1， 且所有数的和为零．记 S(m，n)为所有这样的数表构成的集合． 对于 A∈S(m，n)，记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1≤i≤m)，cj(A)为 A 的第 j 列各数之 和(1≤j≤n)； 记 k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，…，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|cn(A)|中的最小值． (1)对如下数表 A，求 k(A)的值； 1 1 －0.8 0.1 －0.3 －1 1 n x x x x (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 1 c a b －1 求 k(A)的最大值； (3)给定正整数 t，对于所有的 A∈S(2,2t＋1)，求 k(A)的最大值． 1．D　由题意得，A＝{x|x＞ }，B＝{x|x＜－1 或 x＞3}，所以 A∩B＝(3，＋∞)． 2． D　由题意知此概型为几何概型，设所求事件为 A，如图所示，边长为 2 的正方形 区域为总度量μΩ，满足事件 A 的是阴影部分区域μA，故由几何概型的概率公式得： ． 3． B　由已知得，“a＋bi 是纯虚数” “a＝0”，但“a＝0” “复数 a＋bi 是纯 虚数”，因此“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． 4．C　初始：k＝0，S＝1， 第一次循环：由 0＜3，得 S＝1×20＝1，k＝1； 第二次循环：由 1＜3，得 S＝1×21＝2，k＝2； 第三次循环：由 2＜3，得 S＝2×22＝8，k＝3． 经判断此时要跳出循环，因此输出的 S 值为 8． 5． A　由切割线定理得，CD2＝CE·CB， 又在 Rt△CAB 中，△ACD∽△CBD， ∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB ． 6． B　先分成两类：(一)从 0,2 中选数字 2，从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字 的三位数中奇数的个数为 ； (二)从 0,2 中选数字 0，从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数 为 ． 故满足条件的奇数的总个数为 12＋6＝18． 7．B　根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为 此几何体为一个底面为直角三角形，高为 4 的三棱锥，因此表面积为 S＝ ×(2＋3)×4 ＋ ×4×5＋ ×4×(2＋3)＋ ． 2 3 − ( ) 2 2 2 12 π 2 4 π4 2 4P A − × × −= = 2 3C 4 12× ＝ 2 3C 2 6× ＝ 1 2 1 2 1 2 1 2 5 41 5 30 6 52 × × − = + 8．C　结合 Sn 与 n 的关系图象可知，前 2 年的产量均为 0，显然 为最小，在第 3 年～第 9 年期间，Sn 的增长呈现持续稳定性，但在第 9 年之后，Sn 的增速骤然降低．因为当 n ＝9 时， 的值为最大，故 m 值为 9． 9．答案：2 解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为 x＋y－1＝0，x2＋y2＝9，进而求出 圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 ，∴交点个数为 2． 10．答案：1　 解析：由 ，S2＝a3 得， a1＋a2＝a3，即 a3－a2＝ ， ∴{an}是一个以 为首项，以 为公差的等差数列． ∴ ． ∴a2＝1， ． 11．答案：4 解析：由余弦定理得， ，解得 b＝4． 12．答案： 解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线 l 的方程为 y＝tan 60°(x－1)，即 ， 联立得 由①得 ，③ 将③代入②并整理得 ， 解得 或 ． 又点 A 在 x 轴上方， ∴A(3, )． ∴ ． 13．答案：1　1 解析： · ＝( ＋ )· ＝( ＋ )· ＝| | 2＋ · ． 因为 ⊥ ，所以 · ＝0． 所以 · ＝12＋0＝1． 2 02 S = 9 9 S 1 2 322 d = = < 21 ( )4 n n+ 1 1 2a = 1 2 1 1 2a = 1 2 1 1 1( 1)2 2 2na n n×＝ ＋ － ＝ 2 2 1 1 1 1( ) ( )2 4 4 4n n nS a a n n n n= + = + = + 2 2 2 2 24 (7 ) 1cos 2 2 2 (7 ) 4 a c b b bB ac b + − + − −= = = −× × − 3 3 3y x= − 2 3 3, 4 . y x y x  = − = ① ② 3 13x y= + 2 4 3 4 03y y− − = 1 2 3y = 2 2 33y = − 2 3 1 1 1| || | 1 2 3 32 2OAFS OF y∆ = ⋅ ⋅ = × × = DE CB DA AE CB CB AE CB CB AE CB AE CB AE CB DE CB · ＝( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝λ| | 2(0≤λ≤1)， ∴ · 的最大值为 1． 14．答案：(－4，－2) 解析：(一)由题意可知，m≥0 时不能保证对 x∈R，f(x)＜0 或 g(x)＜0 成立． (1)当 m＝－1 时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，此时显然满足条件①； (2)当－1＜m＜0 时，2m＞－(m＋3)，要使其满足条件①， 则需 解得－1＜m＜0； (3)当 m＜－1 时，－(m＋3)＞2m，要使其满足条件①， 则需 解得－4＜m＜－1． 因此满足条件①的 m 的取值范围为(－4,0)． (二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的 m 的取值范围． (1)当 m＝－1 时，在(－∞，－4)上，f(x)与 g(x)均小于 0，不合题意； (2)当 m＜－1 时，则需 2m＜－4，即 m＜－2，所以－4＜m＜－2； (3)当－1＜m＜0 时，则需－(m＋3)＜－4，即 m＞1，此时无解． 综上所述满足①②两个条件的 m 的取值范围为(－4，－2)． 15．解：(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝ ， 所以 f(x)的最小正周期 ． (2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为 ［2kπ－ ，2kπ＋ ］(k∈Z)． 由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为［kπ－ ，kπ)和(kπ，kπ＋ ］(k∈Z)． 16．解：(1)因为 AC⊥BC，DE∥BC， 所以 DE⊥AC．所以 DE⊥A1D，DE⊥CD． 所以 DE⊥平面 A1DC． 所以 DE⊥A1C． 又因为 A1C⊥CD，所以 A1C⊥平面 BCDE． (2)如图，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 C－xyz， DE DC DA AE DC DA DC AE DC DC DE DC 1 0, 2 1, m m − < <  < 1, ( 3) 1, m m < − − + < (sin cos )sin2( ) sin x x xf x x −= π2sin(2 ) 14x − − 2π π2T = = π 2 π 2 π 2 π 4 π 2 π 8 3π 8 π 8 3π 8 则 A1(0,0, )，D(0,2,0)，M(0,1， )，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x，y，z)， 则 n· =0，n· =0． 又 =(3,0， )， =(－1,2,0)， 所以 令 y=1，则 x=2， ． 所以 n=(2,1， )． 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ． 因为 =(0,1， )， 所以 ， 所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 ． (3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直． 理由如下： 假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p∈［0,3］． 设平面 A1DP 的法向量为 m=(x，y，z)， 则 m· =0，m· =0． 又 =(0,2， )， =(p，－2,0)， 所以 令 x=2，则 y=p， ． 所以 m=(2，p， )． 平面 A1DP⊥平面 A1BE，当且仅当 m·n=0， 即 4+p+p=0． 解得 p=－2，与 p∈［0,3］矛盾． 所以线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直． 17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ． (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 表示生活垃圾投放正确． 事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其 2 3 3 1A B BE 1A B 2 3− BE 3 2 3 0, 2 0. x z x y  − =− + = 3z = 3 CM 3 4 2sin cos , 28 4 CMCM CM θ ⋅= = = = ×   nn n π 4 1A D DP 1A D 2 3− DP 2 2 3 0, 2 0. y z px y  − = − = 3 pz = 3 p 400 2= 400 100 100 3 =+ + “ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量 A A 他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量， 即 P( )约为 ， 所以 P(A)约为 1－0.7＝0.3． (3)当 a＝600，b＝c＝0 时，s2 取得最大值． 因为 ＝ (a＋b＋c)＝200， 所以 s2＝ ×［(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2］＝80 000． 18．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b． 因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以 f(1)＝g(1)，且 f′(1)＝g′(1)． 即 a＋1＝1＋b，且 2a＝3＋b． 解得 a＝3，b＝3． (2)记 h(x)＝f(x)＋g(x)， 当 b＝ a2 时，h(x)＝x3＋ax2＋ a2x＋1， h′(x)＝3x2＋2ax＋ a2． 令 h′(x)＝0，得 ， ． a＞0 时，h(x)与 h′(x)的情况如下： x (－∞， ) ( ， ) ( ，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 所以函数 h(x)的单调递增区间为(－∞， )和( ，＋∞)； 单调递减区间为( ， )． 当 ≥－1，即 0＜a≤2 时， 函数 h(x)在区间(－∞，－1］上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1］上的最大值为 h(－1) ＝a－ a2． 当 ＜－1，且 ≥－1，即 2＜a≤6 时， 函数 h(x)在区间(－∞， )内单调递增，在区间( ，－1］上单调递减，h(x)在区间 (－∞，－1］上的最大值为 ． 当 ＜－1，即 a＞6 时， 函数 h(x)在区间(－∞， )内单调递增，在区间( ， )内单调递减，在区间( ， A 400 240 60 0.71000 + + = x 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 2 ax = − 2 6 ax = − 2 a− 2 a− 2 a− 6 a− 6 a− 6 a− 2 a− 6 a− 2 a− 6 a− 2 a− 1 4 2 a− 6 a− 2 a− 2 a− ( ) 12 ah − = 6 a− 2 a− 2 a− 6 a− 6 a− －1］上单调递增， 又因为 h( )－h(－1)＝1－a＋ a2＝ (a－2)2＞0， 所以 h(x)在区间(－∞，－1］上的最大值为 ． 19．解：(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 当且仅当 解得 ＜m＜5，所以 m 的取值范围是( ，5)． (2)当 m＝4 时，曲线 C 的方程为 x2＋2y2＝8，点 A，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 由 得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0． 因为直线与曲线 C 交于不同的两点， 所以 ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即 ． 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4， x1＋x2＝ ，x1x2＝ ． 直线 BM 的方程为 ，点 G 的坐标为( ，1)． 因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 ， ， 所以 kAN－kAG＝ ＝ ， 即 kAN＝kAG． 故 A，G，N 三点共线． 20．解：(1)因为 r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8， 所以 k(A)＝0.7． (2)不妨设 a≤b．由题意得 c＝－1－a－b． 又因为 c≥－1，所以 a＋b≤0．于是 a≤0． r1(A)＝2＋c≥1，r2(A)＝－r1(A)≤－1， c1(A)＝1＋a，c2(A)＝1＋b，c3(A)＝－(1＋a)－(1＋b)≤－(1＋a)． 所以 k(A)＝1＋a≤1． 当 a＝b＝0 且 c＝－1 时，k(A)取得最大值 1． (3)对于给定的正整数 t，任给数表 A∈S(2,2t＋1)如下： a1 a2 … a2t＋1 b1 b2 … b2t＋1 2 a− 1 4 1 4 ( ) 12 ah − = 5 0 2 0 8 8 5 2 m m m m   − >  − >   >− − ， ， ， 7 2 7 2 2 2 4 2 8 y kx x y = +  + = ， ， ∆ 2 3 2k > 2 16 1 2 k k − + 2 24 1 2k+ 1 1 22 yy xx ++ = 1 1 3 2 x y + 2 2 2 AN yk x −= 1 1 2 3AG yk x += − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 3 3 y y kx kx x x x x − + + ++ = + 2 1 2 1 2 2 1622 ( )4 4 1 2 =0243 3 1 2 k x x kk kx x k −×× + ++ = + + 任意改变 A 的行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数表 A*∈S(2,2t＋1)，并且 k(A)＝k(A*)． 因此，不妨设 r1(A)≥0，且 cj(A)≥0(j＝1,2，…，t＋1)． 由 k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤cj(A)(j＝1,2，…，t＋1)． 又因为 c1(A)＋c2(A)＋…＋c2t＋1(A)＝0， 所以(t＋2)k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＋…＋ct＋1(A) ＝r1(A)－ct＋2(A)－…－c2t＋1(A)＝ ≤(t＋1)－t×(－1)＝2t＋1． 所以 ． 对数表 A0： 第 1 列　第 2 列　…　第 t＋1 列 第 t＋2 列　 …　第 2t＋1 列 1 1 … 1 … … －1 … －1 则 A0∈S(2,2t＋1)，且 ． 综上，对于所有的 A∈S(2,2t＋1)，k(A)的最大值为 ． 1 2 1 1 2 t t j j j j t a b + + = = + −∑ ∑ 2 1( ) 2 tk A t +≤ + 11 ( 2) t t t −− + + 11 ( 2) t t t −− + + 1 2 t t − + 1 2 t t − + 1 2 t t − + 0 2 1( ) 2 tk A t += + 2 1 2 t t + +