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- 2021-05-14 发布
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学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
导学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.
自主梳理
1.直线与椭圆的位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆________;若Δ=0,则直线与椭圆________;若Δ<0,则直线与椭圆________.
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0.
①若a≠0,当Δ>0时,直线与双曲线________;当Δ=0时,直线与双曲线________;当Δ<0时,直线与双曲线________.
②若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点.
(3)直线与抛物线位置关系的判定方法
将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0.
①当a≠0,用Δ判定,方法同上.
②当a=0时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点.
2.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是AB的中点,则kAB=________,kAB·kOM=__________.点差法求弦的斜率的步骤是:
①将端点坐标代入方程:+=1,+=1.
②两等式对应相减:-+-=0.
③分解因式整理:kAB==-=-.
(2)运用类比的手法可以推出:已知AB是双曲线-=1的弦,中点M(x0,y0),则kAB=__________________.已知抛物线y2=2px (p>0)的弦AB的中点M(x0,y0),则kAB=____________.
3.弦长公式
直线l:y=kx+b与圆锥曲线C:F(x,y)=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则|AB|=|x1-x2|
=
或|AB|= |y1-y2|= ·.
自我检测
1.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )
A.4 B.3 C.4 D.8
2.(2011·中山调研)与抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.
C.(-1,0) D.
3.(2011·许昌模拟)已知曲线+=1和直线ax+by+1=0 (a、b
为非零实数),在同一坐标系中,它们的图形可能是( )
4.(2011·杭州模拟)过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则·的值为( )
A.- B.- C.-4 D.无法确定
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2=y,过A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.∪
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
探究点二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 如图所示,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A、B两点,
记△AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0b>0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2,
过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.
(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;
(2)求的最大值.
【答题模板】
解 (1)双曲线的渐近线为y=±x,两渐近线夹角为60°,又<1,∴∠POx=30°,
∴=tan 30°=,∴a=b.又a2+b2=22,
∴3b2+b2=4,[2分]
∴b2=1,a2=3,∴椭圆C的方程为+y2=1,
∴离心率e==.[4分]
(2)由已知,l:y=(x-c)与y=x联立,
解方程组得P.[6分]
设=λ,则=λ,∵F(c,0),设A(x0,y0),则(x0-c,y0)=λ,
∴x0=,y0=.即A.[8分]
将A点坐标代入椭圆方程,得(c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2,
等式两边同除以a4,(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1),[10分]
∴λ2==-+3
≤-2 +3=3-2=(-1)2,
∴当2-e2=,即e2=2-时,λ有最大值-1,即的最大值为-1.[12分]
【突破思维障碍】
最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容,一是在准确把握题意的基础上,建立函数、不等式模型,利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决;二是利用数形结合,考虑相切、相交的几何意义解决.
【易错点剖析】
不能把转化成向量问题,使得运算繁琐造成错误,由λ2=不会求最值或忽视e2-2<0这个隐含条件.
1.
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显见其中.因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力.
2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题.基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2+bx+c=0的方程,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=.然后再把要研究的问题转化为用x1+x2和x1x2去表示.最后,用函数、不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘,比如判别式Δ≥0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011·菏泽调研)F1、F2是椭圆+=1 (a>b>0)的两个焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.若双曲线-=1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小,抛物线y2=2px (p>0)通过点A,则p的值为( )
A. B.2 C. D.
3.(2011·武汉月考)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
4.已知直线y=k(x+2) (k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B. C. D.
5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2 B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011届合肥期末)若直线y=kx+1 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则t的范围是______________.
7.P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.
8.(2010·全国Ⅱ)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若A=M,则p=________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,求|AB|的长.
10.(12分)(2010·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且·=4,求y0的值.
11.(14分)(2011·江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
自主梳理
1.(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个
(3)②平行 一个 2.(1)- - (2)
自我检测
1.C 2.C 3.C 4.B
课堂活动区
例1 解题导引
用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,也就是用代数的方法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.
解 由得2x2+3(kx+2)2=6,
即(2+3k2)x2+12kx+6=0,
Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48.
当Δ=72k2-48>0,即k>或k<-时,直线和曲线有两个公共点;
当Δ=72k2-48=0,即k=或k=-时,直线和曲线有一个公共点;
当Δ=72k2-48<0,即-或t<-.]
例2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法.当所求弦为焦点弦时,可结合圆锥曲线的定义求解.
解 (1)设点A的坐标为(x1,b),点B的坐标为(x2,b),由+y2=1,解得x1,2=±2,
所以S=b|x1-x2|=2b≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=时,S取到最大值1.
(2)由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
Δ=16(4k2-b2+1).①
|AB|=|x1-x2|=·=2.②
又因为O到AB的距离d===1,
所以b2=k2+1.③
将③代入②并整理,得4k4-4k2+1=0,
解得k2=,b2=,代入①式检查,Δ>0.
故直线AB的方程是:y=x+或y=x-或y=-x+或y=-x-.
变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为+=1 (a>b>0),
则c=,=.∴a=2,b=1.
∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由消去y得关于x的方程:
5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0,解得m2<5.(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-m,
x1x2=,y1-y2=x1-x2,
∴|PQ|==
= =2,
解得m2=,满足(*),∴m=±.
例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看,就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题,结合判别式Δ研究,利用设而不求与整体代入等技巧与方法,从而延伸出一些复杂的参数范围的研究.
解 由 (x≤-1)
得(k2-1)x2+2kx+2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,∴10,解得k<-或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),
由方程①,x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
而A(,0),B(0,1),=(-,1).
所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2),
将②③代入上式,解得k=.
由(1)知k<-或k>,故没有符合题意的常数k.
课后练习区
1.A 2.C 3.A 4.D 5.C
6.[1,5) 7.5 8.2
9.解 设直线AB的方程为y=x+b,
由消去y得x2+x+b-3=0,(3分)
∴x1+x2=-1.
于是AB的中点M(-,-+b),
且Δ=1-4(b-3)>0,即b<.(6分)
又M(-,-+b)在直线x+y=0上,∴b=1符合.(8分)
∴x2+x-2=0.由弦长公式可得
|AB|==3.(12分)
10.解 (1)由e==,得3a2=4c2.
再由c2=a2-b2,得a=2b.
由题意可知×2a×2b=4,即ab=2.
解方程组得
所以椭圆的方程为+y2=1.(4分)
(2)由(1)可知A(-2,0),且直线l的斜率必存在.设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理,得
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.
由根与系数的关系,得-2x1=,
所以x1=,从而y1=.
设线段AB的中点为M,则M的坐标为(-,).(6分)
以下分两种情况讨论:
①当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0).
由·=4,得y0=±2.(8分)
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线的方程为
y-=-(x+).
令x=0,解得y0=-.
由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),
·=-2x1-y0(y1-y0)
=+(+)
==4,
整理得7k2=2,故k=±.
所以y0=±.(11分)
综上,y0=±2或y0=±.(12分)
11.解 (1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意有·=,(3分)
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==.(6分)
(2)联立得4x2-10cx+35b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则①
设=(x3,y3),=λ+,
即(9分)
又C为双曲线上一点,
即x-5y=5b2,有
(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.化简得
λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.②
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.(11分)
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.
(14分)