成都理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测计数原理 4页

成都理工大学附中 2019 高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷( 非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷 (选择题　共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．若变量 满足约束条件 ， ，则 取最小值时， 二项展开式中的常数项为( ) A． B． C． D． 【答案】A 2．25 人排成 5×5 方阵，从中选出 3 人，要求其中任意 2 人既不同行也不同列，则不同的选 法 为( ) A．60 种 B．100 种 C．300 种 D．600 种 【答案】D 3．在 的展开式中， 的系数是( ) A．－55 B．45 C． －25 D．25 【答案】A 4．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a0＋a1＋a3＋a5＝( ) A． 122 B． 123 C． 243 D． 244 【答案】B 5．由 ， ， ， 组成没有重复数字的三位数的个数为( ) A． 3 6 B． 24 C． 12 D．6 【答案】B 6．自然数 1，2，3，…， 按照一定的顺序排成一个数列： .若满足 ，则称数列 为一个“优数列”.当 时，这样的“优数列” 共有( ) A．24 个 B．23 个 C．18 个 D．16 个 【答案】A 7．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )[来源:学_科_网][来源:学.科.网 Z.X.X.K] A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种 【答案】C 8．将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组 由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有( ) 种[来源:学*科*网] A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 9．庆“元旦”的文艺晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位， 节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序 的编排方案 共有( ) A．36 种； B．42 种； C．48 种； D．54 种 【答案】B 10．已知两个实数集合 A={a1, a2, … , a100}与 B={b1, b2, … , b50}，若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象，且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有( )[来源:1] ,a b 6 3 2 1 a b a b a + ≤  − ≤ −  ≥ 2 3n a b= + n 2 12 n x x  −   -80 80 40 -20 ( ) ( )xx −− 21 6 3x 1 2 3 4 n 1 2 na a a…， ， ， 1 2a a- 1 + - 2 4na n− ≤+ + 1 2 na a a…， ， ， 6n = 2 4 2 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 11．若 的展开式中各项系数之和为 125,则展开式中的常数项为( ) A．-27 B．-48 C．27 D．48 【答案】D 12．从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能 从事工作 A，则不同的选派方案共有( ) A．96 种 B．180 种 C．240 种 D．280 种 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 13 ．今有 2 个红球、4 个黄球，同色球不加以区分，将这 6 个球排成一列有____种不同的方法 （用数字作答）． 【答案】15 14． 展开式中 的系数是 。 【答案】 15．在 (x－1)11 的展开式中，系数最小的项的系数为 ________(结果用数值表示)。 【答案】－462 16．从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的 取法有____________种. 【答案】51 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知 的展开式中 x 的系数为 19， 求 的展开式中 的系数的最小值． 【答案】 由题意 ， ． 项的系数为 ． ，根据二次函数知识，当 或 10 时，上式有最小值，也就是当 ， 或 ， 时， 项的系数取得最小值，最小值为 81． 18 ．已知二项式 （n∈N ）的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 56：3 . (1）求 的值；（2）求展开式中的常数项 【答案】（1） (2）180 50 100C 50 90C 49 100C 49 99C n1(4 x )x + 62 )2 1( xx − 6x 4 15 ( ) (1 ) (1 ) ( )m nf x x x m n ∗= + + + ∈N， ( )f x 2x 1 2 2 1 2 2( ) 1 1m m n n m m m n n nf x C x C x C x C x C x C x= + + + + + + + + +  19m n+ = m n ∗∈N， 2x∴ 2 2 2 ( 1) ( 1) 19 19 17 2 2 2 4m n m m n nC C m − − × + = + = − +   ∵ m n ∗∈N， 9m = 9m = 10n = 10m = 9n = 2x n xx )2( 2 − * n 10=n 19．从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的 不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? 【答案】（1）即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 种； (2）至少有一名女生的不同选法共有 种； (3）男、女生都要有的不同的选法共有 种。 20．用 0，1，2，3，4，5 这六个数字： (1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2）能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数？ (3）能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数？ 【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0 在个位时有 个； 第二类：2 在个位时，首位从 1，3，4，5 中选定 1 个（有 种）,十位和百位从余下的数字中选 （有 种），于是有 个； 第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有 个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个． (2）符合要求的五位数中 5 的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是 0 的五位数有 个；个 位数上的数字是 5 的五位数有 个．故满足条件的五位数的个数共有 个． (3）符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类： 第一类：形如 2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个； 第二类：形如 14□□，15□□，共有 个； 第三类：形如 134□，135□，共 有 个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比 1325 大的四位数共有： 个 21．（1）在 的展开式中，若第 项与第 项系数相等，且 等于多 少？ (2） 的展开式奇数项的二项式系数之 和为 ，则求展开式中二项式系数最大 项。 【答案】（1）由已知得 3 7 35C = 1 2 2 1 3 3 4 3 4 3 31CC C C C+ + = 3 3 3 7 4 3 30C C C− − = 3 5A 1 4A 2 4A 1 2 4 4A A· 1 2 4 4A A· 3 1 2 1 2 5 4 4 4 4 156A A A A A+ + =· · 4 5A 1 3 4 4A A· 4 1 3 5 4 4 216A A A+ =· 1 3 4 5A A· 1 2 2 4A A· 1 1 2 3A A· 1 3 1 2 1 1 4 5 2 4 2 3 270A A A A A A+ + =· · · n（1+x） 3 6 n 3 1 n x x x  +   128 2 5 7n nC C n= ⇒ = (2）由已知得 ，而展开式中 二项式 系数最大项是 。 22．已知 （ ）， (1）当 时，求 的值； (2）设 ，试用数学归纳法证明：当 时， 。 【答案】（1）记 ， 则 (2）设 ，则原展开式变为： ， 则 所以 当 时， ，结论成立 假设 时成立，即 那么 时， ，结论成立。 所以当 时， 。 [来源:1] 1 3 5 1... 128,2 128, 8n n n nC C C n−+ + + = = = 34 4 4 4 2 4 1 8 3 1( ) ( ) 70T C x x x x x+ = = ( ) ( ) ( ) ( )n n n xaxaxaax 1111 2 210 −++−+−+=+  *,2 Nnn ∈≥ 5=n 54321 aaaaa ++++ nnnn bbbTab +++== − 323 2 ,2 2≥n ( )( ) 3 11 −+= nnnTn ( ) ( )51+= xxf ( ) ( ) 55 54321 2312 −=−=++++ ffaaaaa yx =−1 ( ) n n n yayayaay ++++=+ ...2 2 210 22 2 2 −= n nCa ( )12 3 2 −== − nnab nn 2=n 2,2 22 == bT kn = ( )( ) 3 11 −+= kkkTk 1+= kn ( ) ( )[ ]( )[ ] 3 11111 −++++= kkk 2≥n ( )( ) 3 11 −+= nnnTn